Velocidad terminal

Velocidad más alta alcanzable por un objeto que cae

La fuerza de gravedad hacia abajo ( F _g ) es igual a la fuerza de arrastre restrictiva ( F _d ) más la flotabilidad. La fuerza neta sobre el objeto es cero y el resultado es que la velocidad del objeto permanece constante.

La velocidad terminal es la velocidad máxima que puede alcanzar un objeto cuando cae a través de un fluido ( el aire es el ejemplo más común). Ocurre cuando la suma de la fuerza de arrastre ( F _d ) y la flotabilidad es igual a la fuerza de gravedad hacia abajo ( F _G ) que actúa sobre el objeto. Como la fuerza neta sobre el objeto es cero, el objeto tiene aceleración cero . ^[1] Para objetos que caen a través del aire normal, la fuerza de flotación generalmente se descarta y no se tiene en cuenta, ya que sus efectos son insignificantes. ^{[ cita necesaria ]}

En dinámica de fluidos, un objeto se mueve a su velocidad terminal si su velocidad es constante debido a la fuerza restrictiva ejercida por el fluido a través del cual se mueve. ^[2]

A medida que aumenta la velocidad de un objeto, también aumenta la fuerza de arrastre que actúa sobre él, que también depende de la sustancia que atraviesa (por ejemplo, aire o agua). A cierta velocidad, el arrastre o fuerza de resistencia será igual a la atracción gravitacional sobre el objeto. En este punto el objeto deja de acelerar y continúa cayendo a una velocidad constante llamada velocidad terminal (también llamada velocidad de asentamiento ). Un objeto que se mueve hacia abajo más rápido que la velocidad terminal (por ejemplo, porque fue lanzado hacia abajo, cayó desde una parte más delgada de la atmósfera o cambió de forma) disminuirá su velocidad hasta alcanzar la velocidad terminal. El arrastre depende del área proyectada , aquí representada por la sección transversal o silueta del objeto en un plano horizontal. Un objeto con un área proyectada grande en relación con su masa, como un paracaídas, tiene una velocidad terminal menor que uno con un área proyectada pequeña en relación con su masa, como un dardo. En general, para la misma forma y material, la velocidad terminal de un objeto aumenta con el tamaño. Esto se debe a que la fuerza hacia abajo (peso) es proporcional al cubo de la dimensión lineal, pero la resistencia del aire es aproximadamente proporcional al área de la sección transversal que aumenta solo con el cuadrado de la dimensión lineal. Para objetos muy pequeños, como el polvo y la niebla, la velocidad terminal se supera fácilmente mediante corrientes de convección que pueden impedir que lleguen al suelo y, por lo tanto, pueden permanecer suspendidos en el aire durante períodos indefinidos. La contaminación del aire y la niebla son ejemplos.

Ejemplos

Gráfica de velocidad versus tiempo de un paracaidista que alcanza una velocidad terminal.

Basado en la resistencia del aire, por ejemplo, la velocidad terminal de un paracaidista en una posición de caída libre boca abajo es de aproximadamente 55 m/s (180 pies/s). ^[3] Esta velocidad es el valor límite asintótico de la velocidad, y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se equilibran cada vez más a medida que se acerca a la velocidad terminal. En este ejemplo, se alcanza una velocidad del 50% de la velocidad del terminal después de sólo unos 3 segundos, mientras que se necesitan 8 segundos para alcanzar el 90%, 15 segundos para alcanzar el 99% y así sucesivamente.

Se pueden alcanzar velocidades más altas si el paracaidista retrae sus extremidades (ver también vuelo libre ). En este caso, la velocidad terminal aumenta a aproximadamente 90 m/s (300 pies/s), ^[3] que es casi la velocidad terminal del halcón peregrino que se lanza sobre su presa. ^[4] La misma velocidad terminal se alcanza para una típica bala .30-06 que cae hacia abajo (cuando regresa al suelo después de haber sido disparada hacia arriba o caída desde una torre), según un estudio de artillería del ejército de EE. UU. de 1920. ^[5]

Los paracaidistas de velocidad de competición vuelan con la cabeza hacia abajo y pueden alcanzar velocidades de 150 m/s (490 pies/s). ^{[ cita necesaria ]} El récord actual lo ostenta Felix Baumgartner , quien saltó desde una altitud de 38,887 m (127,582 pies) y alcanzó 380 m / s (1200 pies / s), aunque logró esta velocidad a gran altitud donde la densidad del el aire es mucho más bajo que en la superficie de la Tierra, lo que produce una fuerza de arrastre correspondientemente menor. ^[6]

El biólogo JBS Haldane escribió:

Para el ratón y cualquier animal más pequeño [la gravedad] prácticamente no presenta ningún peligro. Puedes dejar caer un ratón por el pozo de una mina de mil metros; y, al llegar abajo, recibe un ligero susto y se aleja. Se mata una rata, se rompe un hombre, un caballo chapotea. Porque la resistencia que presenta el movimiento del aire es proporcional a la superficie del objeto en movimiento. Divida el largo, el ancho y la altura de un animal por diez; su peso se reduce a una milésima, pero su superficie sólo a una centésima. Así, la resistencia a la caída en el caso del animal pequeño es relativamente diez veces mayor que la fuerza motriz. ^[7]

Física

Usando términos matemáticos, la velocidad terminal, sin considerar los efectos de flotabilidad , está dada por

$${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$

• ${\displaystyle V_{t}}$representa la velocidad terminal,
• ${\displaystyle m}$es la masa del objeto que cae,
• ${\displaystyle g}$es la aceleración debida a la gravedad ,
• ${\displaystyle C_{d}}$es el coeficiente de arrastre ,
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido a través del cual cae el objeto, y
• ${\displaystyle A}$es el área proyectada del objeto. ^[8]

En realidad, un objeto se acerca asintóticamente a su velocidad terminal .

Los efectos de flotabilidad, debidos a la fuerza hacia arriba del objeto por parte del fluido circundante, se pueden tener en cuenta utilizando el principio de Arquímedes : la masa debe reducirse por la masa del fluido desplazado , con el volumen del objeto. Entonces, en lugar de utilizar la masa reducida en esta y siguientes fórmulas. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \rho V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{r}=m-\rho V}$

La velocidad terminal de un objeto cambia debido a las propiedades del fluido, la masa del objeto y su superficie transversal proyectada .

La densidad del aire aumenta al disminuir la altitud, aproximadamente un 1% por 80 metros (260 pies) (ver fórmula barométrica ). Para los objetos que caen a través de la atmósfera, por cada 160 metros (520 pies) de caída, la velocidad terminal disminuye un 1%. Después de alcanzar la velocidad terminal local, mientras continúa la caída, la velocidad disminuye para cambiar con la velocidad terminal local.

Usando términos matemáticos, definiéndolo como positivo, la fuerza neta que actúa sobre un objeto que cae cerca de la superficie de la Tierra es (según la ecuación de arrastre ):

$${\displaystyle F_{\text{net}}=ma=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d},}$$

siendo v ( t ) la velocidad del objeto en función del tiempo t .

En el equilibrio , la fuerza neta es cero ( F _net = 0) ^[9] y la velocidad se convierte en la velocidad terminal lim _{t →∞} v ( t ) = V _t :

$${\displaystyle mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.}$$

Resolviendo para V _t se obtiene:

La ecuación de arrastre es, suponiendo que ρ , g y C _d sean constantes:

$${\displaystyle ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.}$$

Aunque se trata de una ecuación de Riccati que se puede resolver mediante reducción a una ecuación diferencial lineal de segundo orden, es más fácil separar variables .

Se puede obtener una forma más práctica de esta ecuación haciendo la sustitución α ² =ρAC _d/2 mg.

Dividiendo ambos lados por m da

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).}$$

La ecuación se puede reordenar en

$${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}.}$$

Tomando la integral de ambos lados se obtiene

$${\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathrm {d} t'}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v'}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.}$$

Después de la integración, esto se convierte en

$${\displaystyle t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v') \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v')}{2\alpha }}+C\right]_{v'=0}^{v'=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v'}{1-\alpha v'}} \over 2\alpha }+C\right]_{v'=0}^{v'=v}}$$

o en una forma más simple

$${\displaystyle t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {artanh} (\alpha v)}{\alpha g}},}$$

tangente hiperbólica inversa

Alternativamente,

$${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,}$$

tangente hiperbólicagαv

$${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).}$$

Usando la fórmula para la velocidad terminal

$${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$

$${\displaystyle v=V_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{V_{t}}}\right).}$$

Cuando el tiempo tiende al infinito ( t → ∞), la tangente hiperbólica tiende a 1, lo que da como resultado la velocidad terminal

$${\displaystyle V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$$

Flujo rastrero a través de una esfera: líneas de corriente , fuerza de arrastre F _d y fuerza de gravedad F _g

Para un movimiento muy lento del fluido, las fuerzas de inercia del fluido son insignificantes (suponiendo que el fluido no tenga masa) en comparación con otras fuerzas. Dichos flujos se denominan flujos progresivos o flujos de Stokes y la condición que debe cumplirse para que los flujos sean flujos progresivos es el número de Reynolds . La ecuación de movimiento para el flujo rastrero ( ecuación simplificada de Navier-Stokes ) viene dada por: ${\displaystyle Re\ll 1}$

$${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }}$$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es el campo vectorial de velocidad del fluido,
• ${\displaystyle p}$es el campo de presión del fluido,
• ${\displaystyle \mu }$es la viscosidad líquido/fluido .

La solución analítica para el flujo progresivo alrededor de una esfera fue dada por primera vez por Stokes en 1851. ^[10] A partir de la solución de Stokes, la fuerza de arrastre que actúa sobre la esfera de diámetro se puede obtener como ${\displaystyle d}$

donde el número de Reynolds, . La expresión para la fuerza de arrastre dada por la ecuación ( 6 ) se llama ley de Stokes . ${\displaystyle Re={\frac {\rho d}{\mu }}V}$

Cuando se sustituye el valor de en la ecuación ( 5 ), obtenemos la expresión para la velocidad terminal de un objeto esférico que se mueve en condiciones de flujo progresivo: ^[11] ${\displaystyle C_{d}}$

$${\displaystyle V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),}$$

${\displaystyle \rho _{s}}$

Aplicaciones

Los resultados del flujo progresivo se pueden aplicar para estudiar la sedimentación cerca del fondo del océano y la caída de gotas de humedad en la atmósfera. El principio también se aplica en el viscosímetro de esfera descendente , un dispositivo experimental utilizado para medir la viscosidad de fluidos altamente viscosos, por ejemplo, petróleo, parafina, alquitrán, etc.

Velocidad terminal en presencia de fuerza de flotación.

Velocidad de sedimentación W _s de un grano de arena (diámetro d, densidad 2650 kg/m ³ ) en agua a 20 °C, calculada con la fórmula de Soulsby (1997).

Cuando se tienen en cuenta los efectos de flotabilidad, un objeto que cae a través de un fluido por su propio peso puede alcanzar una velocidad terminal (velocidad de asentamiento) si la fuerza neta que actúa sobre el objeto se vuelve cero. Cuando se alcanza la velocidad terminal, el peso del objeto queda exactamente equilibrado por la fuerza de flotabilidad hacia arriba y la fuerza de arrastre. Eso es

dónde

• ${\displaystyle W}$es el peso del objeto,
• ${\displaystyle F_{b}}$es la fuerza de flotación que actúa sobre el objeto, y
• ${\displaystyle D}$es la fuerza de arrastre que actúa sobre el objeto.

Si el objeto que cae tiene forma esférica, la expresión de las tres fuerzas se da a continuación:

dónde

• ${\displaystyle d}$es el diámetro del objeto esférico,
• ${\displaystyle g}$es la aceleración gravitacional,
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido,
• ${\displaystyle \rho _{s}}$es la densidad del objeto,
• ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}}$es el área proyectada de la esfera,
• ${\displaystyle C_{d}}$es el coeficiente de arrastre, y
• ${\displaystyle V}$es la velocidad característica (tomada como velocidad terminal, ). ${\displaystyle V_{t}}$

Sustituyendo las ecuaciones ( 2 – 4 ) en la ecuación ( 1 ) y resolviendo la velocidad terminal, se obtiene la siguiente expresión ${\displaystyle V_{t}}$

En la ecuación ( 1 ), se supone que el objeto es más denso que el fluido. De lo contrario, el signo de la fuerza de arrastre debe hacerse negativo ya que el objeto se moverá hacia arriba, en contra de la gravedad. Algunos ejemplos son las burbujas que se forman en el fondo de una copa de champán y los globos de helio. La velocidad terminal en tales casos tendrá un valor negativo, correspondiente a la velocidad de ascenso.

Ver también

• ley de stokes
• balística terminal

Referencias

1. "6.4 Fuerza de arrastre y velocidad terminal - Física universitaria Volumen 1 | OpenStax". openstax.org . 19 de septiembre de 2016 . Consultado el 15 de julio de 2023 .
2. Riazi, A.; Türker, U. (enero de 2019). "El coeficiente de arrastre y la velocidad de sedimentación de las partículas de sedimentos naturales". Mecánica Computacional de Partículas . 6 (3): 427–437. Código Bib : 2019CPM......6..427R. doi :10.1007/s40571-019-00223-6. S2CID  127789299.
3. Huang, Jian (1998). Elert, Glenn (ed.). "Velocidad de un paracaidista (velocidad terminal)". El libro de datos de física . Consultado el 25 de enero de 2022 .
4. "Todo sobre el halcón peregrino". Servicio de Pesca y Vida Silvestre de EE. UU. 20 de diciembre de 2007. Archivado desde el original el 8 de marzo de 2010.
5. The Ballistician (marzo de 2001). "Balas en el cielo". W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston, Texas 77089. Archivado desde el original el 31 de marzo de 2008.
6. Garbino, Alejandro; Azul, Rebecca S.; Pattarini, James M.; Ley, Jennifer; Clark, Jonathan B. (febrero de 2014). "Análisis y seguimiento fisiológico de un programa de prueba de globos estratosféricos tripulados". Medicina aeronáutica, espacial y ambiental . 85 (2): 177–178. doi : 10.3357/ASEM.3744.2014 . PMID  24597163.
7. Haldane, JBS (marzo de 1926). "Sobre tener el tamaño adecuado". Revista Harper . Marzo de 1926. Archivado desde el original el 15 de abril de 2015.URL alternativa
8. Cousens, Roger; Dytham, Calvino; Ley, Richard (2008). Dispersión de plantas: una perspectiva poblacional. Prensa de la Universidad de Oxford . págs. 26 y 27. ISBN 978-0-19-929911-9.
9. Massel, Stanisław R. (1999). Mecánica de fluidos para ecologistas marinos. Springer Ciencia + Medios comerciales . pag. 22.doi : 10.1007 /978-3-642-60209-2. ISBN 978-3-642-60209-2.
10. Alimenta, GG (1851). "Sobre el efecto de la fricción interna de fluidos sobre el movimiento de péndulos". Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 9, parte ii: 8–106. Código Bib : 1851TCaPS...9....8S. La fórmula para la velocidad terminal ( V )] aparece en la p. [52], ecuación (127).
11. Cordero, H. (1994). Hidrodinámica (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 599.ISBN _ 978-0-521-45868-9.Publicada originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.

enlaces externos

• Velocidad terminal - Sitio de la NASA
• Video a bordo de los propulsores de cohetes sólidos del transbordador espacial desacelerando rápidamente hasta la velocidad terminal al ingresar a la atmósfera más espesa, desde 2,900 millas por hora (Mach 3.8) a las 5:15 en el video, hasta 220 mph a las 6:45 cuando los paracaídas se despliegan 90 Segundos después: vídeo y sonido de la NASA, @ io9.com.
• Velocidad de asentamiento terminal de una esfera con números de Reynolds realistas, según el enfoque de las tablas de Heywood.