Paquete de ondas

Breve "ráfaga" o "envolvente" de acción de onda restringida que viaja como una unidad

Una animación en bucle de un paquete de ondas que se propaga sin dispersión: la envolvente se mantiene incluso cuando cambia la fase.

En física , un paquete de ondas (también conocido como tren de ondas o grupo de ondas ) es una breve ráfaga de acción de ondas localizadas que viaja como una unidad, delineada por una envoltura . Un paquete de ondas se puede analizar o sintetizar a partir de un conjunto potencialmente infinito de ondas sinusoidales componentes de diferentes números de onda , con fases y amplitudes tales que interfieren de manera constructiva solo en una pequeña región del espacio y de manera destructiva en el resto. ^[1] Cualquier señal de un ancho limitado en el tiempo o el espacio requiere muchos componentes de frecuencia alrededor de una frecuencia central dentro de un ancho de banda inversamente proporcional a ese ancho; incluso una función gaussiana se considera un paquete de ondas porque su transformada de Fourier es un "paquete" de ondas de frecuencias agrupadas alrededor de una frecuencia central. ^[2] Cada función de onda componente y, por lo tanto, el paquete de ondas, son soluciones de una ecuación de onda . Dependiendo de la ecuación de onda, el perfil del paquete de ondas puede permanecer constante (sin dispersión) o puede cambiar (dispersión) mientras se propaga.

Antecedentes históricos

Las ideas relacionadas con los paquetes de ondas ( modulación , ondas portadoras , velocidad de fase y velocidad de grupo ) datan de mediados del siglo XIX. La idea de una velocidad de grupo distinta de la velocidad de fase de una onda fue propuesta por primera vez por WR Hamilton en 1839, y el primer tratamiento completo fue realizado por Rayleigh en su "Teoría del sonido" en 1877. ^[3]

Erwin Schrödinger introdujo la idea de los paquetes de ondas justo después de publicar su famosa ecuación de onda . ^[4] Resolvió su ecuación de onda para un oscilador armónico cuántico , introdujo el principio de superposición y lo utilizó para demostrar que un estado compacto podía persistir. Si bien este trabajo dio como resultado el importante concepto de estados coherentes , el concepto de paquete de ondas no perduró. El año después del artículo de Schrödinger, Werner Heisenberg publicó su artículo sobre el principio de incertidumbre , mostrando en el proceso que los resultados de Schrödinger solo se aplicaban a los osciladores armónicos cuánticos , no, por ejemplo, al potencial de Coulomb característico de los átomos. ^{[4] : 829}

Al año siguiente, 1927, Charles Galton Darwin exploró la ecuación de Schrödinger para un electrón no ligado en el espacio libre, suponiendo un paquete de ondas gaussiano inicial. ^[5] Darwin demostró que, tiempo después, la posición del paquete que viaja a velocidad sería ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$

¿Dónde está la incertidumbre en la posición inicial? ${\displaystyle \sigma }$

Más tarde, en 1927, Paul Ehrenfest demostró que el tiempo necesario para que un paquete de ondas de materia de ancho y masa se expanda por un factor de 2 era . Como es tan pequeño, los paquetes de ondas en la escala de objetos macroscópicos, con gran ancho y masa, se duplican solo en escalas de tiempo cósmicas. ^{[4] : 830} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle T\approx \Delta x{\sqrt {m/\hbar }}}$ ${\displaystyle \hbar }$

Importancia en la mecánica cuántica

La mecánica cuántica describe la naturaleza de los sistemas atómicos y subatómicos utilizando la ecuación de onda de Schrödinger . El límite clásico de la mecánica cuántica y muchas formulaciones de dispersión cuántica utilizan paquetes de ondas formados a partir de varias soluciones de esta ecuación. Los perfiles de los paquetes de ondas cuánticas cambian mientras se propagan; muestran dispersión. Los físicos han llegado a la conclusión de que "los paquetes de ondas no servirían como representaciones de partículas subatómicas". ^{[4] : 829}

Paquetes de ondas y el límite clásico

Schrödinger desarrolló los paquetes de ondas con la esperanza de interpretar las soluciones de ondas cuánticas como grupos de ondas localmente compactos. ^[4] Estos paquetes compensan la localización de la posición por la propagación del momento. En la representación de coordenadas de la onda (como el sistema de coordenadas cartesianas ), la posición de la probabilidad localizada de la partícula está especificada por la posición de la solución del paquete. Cuanto más estrecho sea el paquete de ondas espacial y, por lo tanto, cuanto mejor localizada esté la posición del paquete de ondas, mayor será la dispersión en el momento de la onda. Este equilibrio entre la dispersión en la posición y la dispersión en el momento es un rasgo característico del principio de incertidumbre de Heisenberg.

Un tipo de compromiso óptimo minimiza el producto de la incertidumbre de la posición y la incertidumbre del momento . ^{[6] : 60} Si colocamos un paquete de este tipo en reposo, permanece en reposo: el valor promedio de la posición y el momento coinciden con una partícula clásica. Sin embargo, se propaga en todas las direcciones con una velocidad dada por la incertidumbre óptima del momento . La propagación es tan rápida que en la distancia de una vez alrededor de un átomo, el paquete de ondas es irreconocible. ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p_{x}}$ ${\displaystyle \Delta p_{x}}$

Paquetes de ondas y dispersión cuántica

Las interacciones entre partículas se denominan dispersión en física; las matemáticas de los paquetes de ondas desempeñan un papel importante en los enfoques de dispersión cuántica . Una fuente monocromática (momento único) produce dificultades de convergencia en los modelos de dispersión. ^{[7] : 150} Los problemas de dispersión también tienen límites clásicos. Siempre que el objetivo de dispersión (por ejemplo, un átomo) tiene un tamaño mucho menor que el paquete de ondas, el centro del paquete de ondas sigue trayectorias clásicas de dispersión. En otros casos, el paquete de ondas se distorsiona y se dispersa a medida que interactúa con el objetivo. ^{[8] : 295}

Comportamientos básicos

No dispersivo

Un paquete de ondas sin dispersión (parte real o imaginaria)

Sin dispersión, el paquete de ondas mantiene su forma a medida que se propaga. Como ejemplo de propagación sin dispersión , considere las soluciones ondulatorias de la siguiente ecuación de onda de la física clásica $${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\,\nabla ^{2}u,}$$

donde c es la velocidad de propagación de la onda en un medio dado.

Usando la convención de tiempo de la física, e ^{− iωt} , la ecuación de onda tiene soluciones de ondas planas. $${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x} }-\omega (\mathbf {k} )t)},}$$

donde la relación entre la frecuencia angular ω y el vector de onda angular k está dada por la relación de dispersión : tal que . Esta relación debería ser válida para que la onda plana sea una solución de la ecuación de onda. Como la relación es lineal , se dice que la ecuación de onda es no dispersiva . $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )=\pm |\mathbf {k} |c=\pm {\frac {2\pi c}{\lambda }},}$$ ${\displaystyle \omega ^{2}/|\mathbf {k} |^{2}=c^{2}}$

Para simplificar, considere la ecuación de onda unidimensional con ω(k) = ±kc . Entonces, la solución general es donde el primer y el segundo término representan una onda que se propaga en la dirección x positiva y negativa respectivamente . $${\displaystyle u(x,t)=Ae^{ik(x-ct)}+Be^{ik(x+ct)},}$$

Un paquete de ondas es una perturbación localizada que resulta de la suma de muchas formas de onda diferentes . Si el paquete está fuertemente localizado, se necesitan más frecuencias para permitir la superposición constructiva en la región de localización y la superposición destructiva fuera de la región. ^[9] A partir de las soluciones básicas de ondas planas unidimensionales, una forma general de un paquete de ondas se puede expresar como donde la amplitud A ( k ) , que contiene los coeficientes de la superposición de ondas , se desprende de tomar la transformada de Fourier inversa de u ( x , t ) evaluada en t = 0 : y proviene de las convenciones de la transformada de Fourier . $${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,dk.}$$ $${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~e^{-ikx}\,dx.}$$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

Por ejemplo, elegir $${\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x},}$$

Nosotros obtenemos $${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}},}$$

Y finalmente $${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}}$$

La propagación no dispersiva de la parte real o imaginaria de este paquete de ondas se presenta en la animación anterior.

Dispersivo

Un paquete de ondas con dispersión. Observe que la onda se expande y su amplitud se reduce.

Densidad de probabilidad en el espacio de posición de un estado inicialmente gaussiano que se mueve en una dimensión con un momento constante y mínimamente incierto en el espacio libre.

Por el contrario, en el caso de la dispersión, una onda cambia de forma durante la propagación. Por ejemplo, la ecuación libre de Schrödinger , tiene soluciones de ondas planas de la forma: donde es una constante y la relación de dispersión satisface ^{[10] [11]} con los subíndices que denotan la notación de vector unitario . Como la relación de dispersión no es lineal, la ecuación libre de Schrödinger es dispersiva . $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ,}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i{[\mathbf {k\cdot r} }-\omega (\mathbf {k} )t]},}$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}}={\frac {\hbar }{2m}}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}),}$$

En este caso, el paquete de ondas viene dado por: donde una vez más es simplemente la transformada de Fourier de . Si (y por lo tanto ) es una función gaussiana , el paquete de ondas se denomina paquete de ondas gaussiano . ^[12] $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int g(\mathbf {k} )e^{i{[\mathbf {k\cdot r} }-\omega (\mathbf {k} )t]}d^{3}k}$$ ${\displaystyle g(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)}$ ${\displaystyle g(\mathbf {k} )}$

Por ejemplo, la solución de la ecuación de Schrödinger libre unidimensional (con 2Δ x , m y ħ fijados en uno) que satisface la condición inicial que representa un paquete de ondas localizado en el espacio en el origen como una función gaussiana, se ve que es $${\displaystyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}}$$

Una impresión del comportamiento dispersivo de este paquete de ondas se obtiene observando la densidad de probabilidad: Es evidente que este paquete de ondas dispersivo, mientras se mueve con velocidad de grupo constante k _o , se deslocaliza rápidamente: tiene un ancho que aumenta con el tiempo como √ 1 + 4 t ² → 2 t , por lo que finalmente se difunde a una región ilimitada del espacio. $${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi }}{\sqrt {1+4t^{2}}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}~.}$$

Paquetes de ondas gaussianas en mecánica cuántica

Superposición de ondas planas unidimensionales (azules) que se suman para formar un paquete de ondas gaussianas (rojas) que se propagan hacia la derecha mientras se expanden. Los puntos azules siguen la velocidad de fase de cada onda plana, mientras que la línea roja sigue la velocidad del grupo central.

Paquete de ondas gaussianas unidimensionales, mostrado en el plano complejo, para a = 2 y k = 4

El paquete de ondas gaussianas dispersivas anterior, no normalizado y centrado justo en el origen, en cambio, en t = 0, ahora se puede escribir en 3D, ahora en unidades estándar: ^{[13] [14]} La transformada de Fourier también es gaussiana en términos del número de onda, el vector k , con a y su inversa adhiriéndose a la relación de incertidumbre tal que puede considerarse el cuadrado del ancho del paquete de ondas , mientras que su inversa se puede escribir como $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.}$$ $${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,}$$ $${\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2},}$$ $${\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2}.}$$

Paquete de ondas gaussianas unidimensionales, mostrado en el plano complejo, para . La velocidad de grupo es cero. En , la función de onda tiene fase cero y ancho mínimo. Para , la función de onda tiene fase cuadrática, ancho decreciente. Para , la función de onda tiene fase cuadrática, ancho creciente. ${\displaystyle a=1,\hbar =1,k_{0}=0,m=1}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle t>0}$

Cada onda separada solo rota en fase en el tiempo, de modo que la solución transformada de Fourier dependiente del tiempo es

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {k} ,t)&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}e^{-iEt/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2-i(\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2m)t/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-(a+i\hbar t/m)\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.\end{aligned}}}$

Paquete de ondas gaussianas unidimensionales, mostrado en el plano complejo, para . La velocidad general del grupo es positiva y el paquete de ondas se mueve a medida que se dispersa. ${\displaystyle a=1,\hbar =1,k_{0}=1,m=1}$

La transformada de Fourier inversa sigue siendo gaussiana, pero ahora el parámetro a se ha vuelto complejo y hay un factor de normalización general.

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\left({a \over a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}e^{-{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over 2(a+i\hbar t/m)}}.}$

La integral de Ψ en todo el espacio es invariante, porque es el producto interno de Ψ con el estado de energía cero, que es una onda con longitud de onda infinita, una función constante del espacio. Para cualquier estado propio de energía η ( x ) , el producto interno, solo cambia en el tiempo de una manera simple: su fase rota con una frecuencia determinada por la energía de η . Cuando η tiene energía cero, como la onda de longitud de onda infinita, no cambia en absoluto. $${\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$$

Para un determinado , la fase de la función de onda varía con la posición como . Varía cuadráticamente con la posición, lo que significa que es diferente de la multiplicación por un factor de fase lineal como es el caso de impartir un momento constante al paquete de ondas. En general, la fase de un paquete de ondas gaussianas tiene un término lineal y un término cuadrático. El coeficiente del término cuadrático comienza aumentando de hacia a medida que el paquete de ondas gaussianas se vuelve más nítido, luego, en el momento de máxima nitidez, la fase de la función de onda varía linealmente con la posición. Luego, el coeficiente del término cuadrático aumenta de hacia , a medida que el paquete de ondas gaussianas se extiende nuevamente. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\frac {\hbar t/m}{2(a^{2}+(\hbar t/m)^{2})}}\|\mathbf {r} \|^{2}}$ ${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +\infty }$

La integral ∫ |Ψ| ² d ³ r también es invariante, lo que es una declaración de la conservación de la probabilidad. ^[15] Explícitamente, donde r es la distancia desde el origen, la velocidad de la partícula es cero y el ancho dado por es √ a en el tiempo (arbitrariamente elegido) t = 0 mientras que eventualmente crece linealmente en el tiempo, como ħt /( m √ a ) , lo que indica la propagación del paquete de ondas . ^[16] $${\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},}$$ $${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}},}$$

Por ejemplo, si un paquete de ondas de electrones se localiza inicialmente en una región de dimensiones atómicas (es decir, 10 ⁻¹⁰ m), entonces el ancho del paquete se duplica en aproximadamente 10 ⁻¹⁶ s. Claramente, los paquetes de ondas de partículas se propagan muy rápidamente (en el espacio libre): ^[17] Por ejemplo, después de 1 ms, el ancho habrá crecido a aproximadamente un kilómetro.

Este crecimiento lineal es un reflejo de la incertidumbre del momento (invariante en el tiempo): el paquete de ondas está confinado a un estrecho Δ x = √ a /2 , y por lo tanto tiene un momento que es incierto (según el principio de incertidumbre) por la cantidad ħ / √ 2 a , una dispersión en velocidad de ħ/m √ 2 a , y por lo tanto en la posición futura por ħt /m √ 2 a . La relación de incertidumbre es entonces una desigualdad estricta, ¡muy lejos de la saturación, de hecho! La incertidumbre inicial Δ x Δ p = ħ /2 ahora ha aumentado por un factor de ħt/ma (para t grande ).

El caso 2D

Un paquete de ondas cuánticas gaussianas en 2D. El color (amarillo , verde y azul) indica la fase de la función de onda y su brillo indica ... ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle |\psi |^{2}/|\psi |_{max}^{2}}$ ${\displaystyle k_{0x}=k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0y}=0}$

Una función de onda cuántica gaussiana 2D:

${\displaystyle \psi (x,y,t)=\psi (x,t)\psi (y,t)}$

${\displaystyle \psi (x,t)=({\frac {2a^{2}}{\pi }})^{1/4}{\frac {e^{i\phi }}{(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}})^{1/4}}}e^{ik_{0}x}\exp[-{\frac {(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}{m}}}}]}$

donde ^[18]

${\displaystyle \phi =-\theta -{\frac {\hbar k_{0}^{2}}{2m}}t}$

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\hbar t}{ma^{2}}}}$

El tren de ondas Airy

En contraste con el paquete de ondas gaussianas anterior, que se mueve a una velocidad de grupo constante y siempre se dispersa, existe una función de onda basada en funciones de Airy , que se propaga libremente sin dispersión de envolvente, manteniendo su forma y acelera en el espacio libre: ^[19] donde, por simplicidad (y no dimensionalización ), al elegir ħ = 1 , m = 1/2 y B una constante arbitraria, se obtiene $${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} \left[{\frac {B}{\hbar ^{2/3}}}\left(x-{\frac {B^{3}t^{2}}{4m^{2}}}\right)\right]e^{(iB^{3}t/2m\hbar )[x-(B^{3}t^{2}/6m^{2})]},}$$ $${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} [B(x-B^{3}t^{2})]\,e^{iB^{3}t(x-{\tfrac {2}{3}}B^{3}t^{2})}\,.}$$

No hay disonancia con el teorema de Ehrenfest en esta situación libre de fuerza, porque el estado no es normalizable y tiene un ⟨ x ⟩ indefinido (infinito) para todos los tiempos. (En la medida en que pudiera definirse, ⟨ p ⟩ = 0 para todos los tiempos, a pesar de la aceleración aparente del frente).

El tren de ondas de Airy es la única onda sin dispersión en el espacio libre unidimensional. ^[20] En dimensiones superiores, son posibles otras ondas sin dispersión. ^[21]

El tren de ondas de Airy en el espacio de fases. Su forma es una serie de parábolas con el mismo eje, pero que oscilan según la función de Airy. Su evolución temporal es un corte a lo largo de la dirección . Cada parábola conserva su forma bajo este corte, y su vértice realiza una traslación a lo largo de otra parábola. Por lo tanto, el tren de ondas de Airy no se dispersa y el movimiento grupal del tren de ondas sufre una aceleración constante. ${\displaystyle x}$

En el espacio de fases , esto es evidente en la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner en estado puro de este tren de ondas, cuya forma en x y p es invariante a medida que avanza el tiempo, pero cuyas características se aceleran hacia la derecha, en parábolas aceleradas. La función de Wigner satisface Las tres igualdades demuestran tres hechos: $${\displaystyle {\begin{aligned}W(x,p;t)&=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)\\&={\frac {1}{2^{1/3}\pi B}}\,\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(B(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2})^{2}\right)\right)\\&=W(x-2pt,p;0).\end{aligned}}}$$

1. La evolución temporal es equivalente a una traslación en el espacio de fases por . ${\displaystyle (B^{3}t^{2},B^{3}t)}$
2. Las curvas de nivel de la función de Wigner son parábolas de forma . ${\textstyle B\left(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2}\right)^{2}=C}$
3. La evolución temporal es equivalente a un corte en el espacio de fases a lo largo de la dirección a una velocidad . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p/m=2p}$

Nótese que la distribución de momento obtenida al integrar sobre todo x es constante. Dado que esta es la densidad de probabilidad en el espacio de momento , es evidente que la función de onda en sí no es normalizable.

Propagador gratuito

El límite de ancho estrecho de la solución del paquete de ondas gaussianas discutido es el núcleo propagador libre K . Para otras ecuaciones diferenciales, esto suele llamarse función de Green , ^[22] pero en mecánica cuántica es tradicional reservar el nombre de función de Green para la transformada de Fourier temporal de K .

Volviendo a una dimensión para simplificar, con m y ħ fijados igual a uno, cuando a es la cantidad infinitesimal ε , la condición inicial gaussiana, reescalada de modo que su integral sea uno, se convierte en una función delta , δ ( x ) , de modo que su evolución temporal produce el propagador. $${\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,}$$ $${\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2it+\varepsilon }\,}$$

Obsérvese que un paquete de ondas inicial muy estrecho se vuelve instantáneamente infinitamente ancho, pero con una fase que oscila más rápidamente en valores grandes de x . Esto puede parecer extraño (la solución pasa de estar localizada en un punto a estar "en todas partes" en todos los momentos posteriores ), pero es un reflejo de la enorme incertidumbre del momento de una partícula localizada, como se explicó anteriormente.

Tenga en cuenta además que la norma de la función de onda es infinita, lo que también es correcto, ya que el cuadrado de una función delta es divergente de la misma manera.

El factor que involucra a ε es una cantidad infinitesimal que está ahí para asegurar que las integrales sobre K estén bien definidas. En el límite en que ε → 0 , K se vuelve puramente oscilatorio y las integrales de K no son absolutamente convergentes. En el resto de esta sección, se establecerá en cero, pero para que todas las integraciones sobre estados intermedios estén bien definidas, el límite ε →0 se tomará solo después de que se calcule el estado final.

El propagador es la amplitud para alcanzar el punto x en el tiempo t , cuando se parte del origen, x = 0. Por invariancia de traslación, la amplitud para alcanzar un punto x cuando se parte del punto y es la misma función, solo que ahora trasladada, $${\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}$$

En el límite cuando t es pequeño, el propagador va a una función delta pero sólo en el sentido de distribuciones : la integral de esta cantidad multiplicada por una función de prueba diferenciable arbitraria da el valor de la función de prueba en cero. $${\displaystyle \lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,}$$

Para comprobarlo, nótese que la integral de K en todo el espacio es igual a 1 en todo momento, puesto que esta integral es el producto interno de K por la función de onda uniforme. Pero el factor de fase en el exponente tiene una derivada espacial distinta de cero en todas partes excepto en el origen, y por eso, cuando el tiempo es pequeño, hay cancelaciones de fase rápidas en todos los puntos menos en uno. Esto es rigurosamente cierto cuando el límite ε →0 se toma al final. $${\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,}$$

Por lo tanto, el núcleo de propagación es la evolución temporal (futura) de una función delta, y es continua, en cierto sentido: llega a la función delta inicial en tiempos pequeños. Si la función de onda inicial es un pico infinitamente estrecho en la posición y , se convierte en la onda oscilatoria. $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,}$$ $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}$$

Ahora bien, dado que cada función puede escribirse como una suma ponderada de dichos picos estrechos, la evolución temporal de cada función ψ ₀ está determinada por este núcleo de propagación K , $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,}$$

${\displaystyle \psi _{t}(x)=\int \psi _{0}(y){1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}dy\,.}$

Por lo tanto, esta es una forma formal de expresar la solución fundamental o solución general . La interpretación de esta expresión es que la amplitud de una partícula que se encuentra en el punto x en el tiempo t es la amplitud con la que comenzó en y , multiplicada por la amplitud con la que pasó de y a x , sumada sobre todos los puntos de partida posibles . En otras palabras, es una convolución del núcleo K con la condición inicial arbitraria ψ ₀ , $${\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}$$

Como la amplitud para viajar de x a y después de un tiempo t + t ' puede considerarse en dos pasos, el propagador obedece a la identidad de composición, que puede interpretarse de la siguiente manera: la amplitud para viajar de x a z en el tiempo t + t ' es la suma de la amplitud para viajar de x a y en el tiempo t , multiplicada por la amplitud para viajar de y a z en el tiempo t ', sumada sobre todos los posibles estados intermedios y . Esta es una propiedad de un sistema cuántico arbitrario, y al subdividir el tiempo en muchos segmentos, permite expresar la evolución temporal como una integral de trayectoria . ^[23] $${\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,}$$

Continuación analítica de la difusión

La propagación de paquetes de ondas en mecánica cuántica está directamente relacionada con la propagación de densidades de probabilidad en difusión . Para una partícula que camina aleatoriamente , la función de densidad de probabilidad satisface la ecuación de difusión ^[24] donde el factor de 2, que se puede eliminar reescalando el tiempo o el espacio, es solo por conveniencia. $${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ,}$$

Una solución de esta ecuación es la función gaussiana variable en el tiempo, que es una forma del núcleo de calor . Dado que la integral de ρ _t es constante mientras que el ancho se estrecha en tiempos pequeños, esta función se aproxima a una función delta en t = 0, nuevamente solo en el sentido de distribuciones, de modo que para cualquier función de prueba f . $${\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t},}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)}$$

La gaussiana variable en el tiempo es el núcleo de propagación de la ecuación de difusión y obedece a la identidad de convolución , lo que permite expresar la difusión como una integral de trayectoria. El propagador es el exponencial de un operador H , que es el operador de difusión infinitesimal. $${\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,}$$ $${\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,}$$ $${\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}$$

Una matriz tiene dos índices, lo que en el espacio continuo la convierte en función de x y x '. En este caso, debido a la invariancia de la traslación, el elemento de la matriz K sólo depende de la diferencia de la posición, y un abuso conveniente de la notación es referirse al operador, a los elementos de la matriz y a la función de la diferencia con el mismo nombre: $${\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}$$

La invariancia de la traducción significa que la multiplicación de matrices continua es esencialmente convolución. $${\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,}$$ $${\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}$$

La exponencial se puede definir sobre un rango de t s que incluyen valores complejos, siempre que las integrales sobre el núcleo de propagación permanezcan convergentes. Mientras la parte real de z sea positiva, para valores grandes de x , K disminuye exponencialmente y las integrales sobre K son, de hecho, absolutamente convergentes. $${\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.}$$

El límite de esta expresión para z que se aproxima al eje imaginario puro es el propagador de Schrödinger encontrado anteriormente, que ilustra la evolución temporal de las gaussianas anterior. $${\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,}$$

La identidad fundamental de la exponenciación, o integración de trayectorias, se cumple para todos los valores z complejos , donde las integrales son absolutamente convergentes de modo que los operadores están bien definidos. $${\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,}$$

Por lo tanto, la evolución cuántica de una gaussiana, que es el núcleo de difusión complejo K , equivale al estado evolucionado en el tiempo, $${\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,}$$ $${\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}$$

Esto ilustra la forma difusiva anterior de las soluciones gaussianas complejas, $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}$$

Véase también

• Ola
• Propagación de ondas
• Análisis de Fourier
• Velocidad de grupo
• Velocidad de fase
• Partícula libre
• Estados coherentes
• Forma de onda
• Ondícula
• Onda de materia
• Pulso (procesamiento de señales)
• Pulso (física)
• Ecuación de Schrödinger
• Introducción a la mecánica cuántica
• Solitón

Notas

1. Joy Manners (2000), Física cuántica: una introducción, CRC Press, págs. 53-56, ISBN 978-0-7503-0720-8
2. Schwartz, Matthew. "Conferencia 11: Paquetes de ondas y dispersión" (PDF) . scholar.harvard.edu . Archivado (PDF) desde el original el 2023-03-18 . Consultado el 2023-06-22 .
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21. Efrémidis, Nikolaos K.; Chen, Zhigang; Segev, Mordejai; Christodoulides, Demetrios N. (20 de mayo de 2019). "Rayos aéreos y ondas aceleradas: una visión general de los avances recientes". Óptica . 6 (5): 686. arXiv : 1904.02933 . doi :10.1364/OPTICA.6.000686. ISSN  2334-2536.
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23. Feynman, RP ; Hibbs, AR (1965), Mecánica cuántica e integrales de trayectoria , Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-020650-2
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Referencias

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (2019). Mecánica cuántica, volumen 1 . Weinheim, Alemania: John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-34553-3.
• Jackson, John David (1998). Electrodinámica clásica . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Kozdron, Michael J. (2008). "Movimiento browniano y ecuación del calor" (PDF) . Universidad de Regina . Consultado el 29 de octubre de 2024 .

Enlaces externos

• Materiales de aprendizaje relacionados con el movimiento de paquetes de ondas en Wikiversidad
• La definición del diccionario de paquete de ondas en Wikcionario
• Diagrama de paquetes de ondas 1d en Google
• Diagrama de tren de ondas y densidad de probabilidad 1d en Google
• Diagrama de paquetes de ondas 2D en Google
• Trazado de tren de ondas 2D en Google
• Diagrama de densidad de probabilidad 2D en Google
• Física cuántica en línea: simulación interactiva de un paquete de ondas gratuito
• Web-Schrödinger: Simulación interactiva de dinámica de paquetes de ondas en 2D
• Simulación de un paquete de ondas en 2D (según la síntesis de FOURIER en 2D)