Ecuación de Young-Laplace

Descripción de la diferencia de presión sobre una interfaz en mecánica de fluidos

En física , la ecuación de Young-Laplace ( / l ə ˈ p l ɑː s / ) es una ecuación algebraica que describe la diferencia de presión capilar sostenida a través de la interfaz entre dos fluidos estáticos , como el agua y el aire , debido al fenómeno de la tensión superficial o tensión de la pared , aunque el uso de esta última solo es aplicable si se supone que la pared es muy delgada. La ecuación de Young-Laplace relaciona la diferencia de presión con la forma de la superficie o pared y es fundamentalmente importante en el estudio de superficies capilares estáticas . Es una declaración de equilibrio de tensión normal para fluidos estáticos que se encuentran en una interfaz, donde la interfaz se trata como una superficie (espesor cero): donde es la presión de Laplace , la diferencia de presión a través de la interfaz del fluido (la presión exterior menos la presión interior), es la tensión superficial (o tensión de la pared ), es la normal unitaria que apunta hacia afuera de la superficie, es la curvatura media y y son los radios principales de curvatura . Téngase en cuenta que solo se considera la tensión normal, porque una interfaz estática solo es posible en ausencia de tensión tangencial. ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=-2\gamma H_{f}\\&=-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

La ecuación recibe su nombre de Thomas Young , quien desarrolló la teoría cualitativa de la tensión superficial en 1805, y Pierre-Simon Laplace, quien completó la descripción matemática al año siguiente. A veces también se la llama ecuación de Young-Laplace-Gauss, ya que Carl Friedrich Gauss unificó el trabajo de Young y Laplace en 1830, derivando tanto la ecuación diferencial como las condiciones de contorno utilizando los principios de trabajo virtual de Johann Bernoulli . ^[2]

Películas de jabón

Si la diferencia de presión es cero, como en una película de jabón sin gravedad, la interfaz asumirá la forma de una superficie mínima .

Emulsiones

La ecuación también explica la energía necesaria para crear una emulsión . Para formar las pequeñas gotas muy curvadas de una emulsión, se necesita energía adicional para superar la gran presión que resulta de su pequeño radio.

La presión de Laplace, que es mayor para las gotas más pequeñas, provoca la difusión de moléculas fuera de las gotas más pequeñas en una emulsión e impulsa el engrosamiento de la emulsión a través de la maduración de Ostwald . ^{[ cita requerida ]}

Presión capilar en un tubo

Menisco esférico con ángulo de humectación menor a 90°

En un tubo suficientemente estrecho (es decir, de bajo número de Bond ) de sección transversal circular (radio a ), la interfaz entre dos fluidos forma un menisco que es una porción de la superficie de una esfera con radio R . El salto de presión a través de esta superficie está relacionado con el radio y la tensión superficial γ por $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.}$$

Esto se puede demostrar escribiendo la ecuación de Young-Laplace en forma esférica con una condición de contorno de ángulo de contacto y también una condición de contorno de altura prescrita en, por ejemplo, la parte inferior del menisco. La solución es una porción de una esfera y la solución existirá solo para la diferencia de presión mostrada arriba. Esto es importante porque no hay otra ecuación o ley que especifique la diferencia de presión; la existencia de una solución para un valor específico de la diferencia de presión la prescribe.

El radio de la esfera será una función únicamente del ángulo de contacto , θ, que a su vez depende de las propiedades exactas de los fluidos y del material del recipiente con el que los fluidos en cuestión están en contacto/interactúan: $${\displaystyle R={\frac {a}{\cos \theta }}}$$

De modo que la diferencia de presión se puede escribir como: $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

Ilustración de ascenso por capilaridad. Rojo = ángulo de contacto menor a 90°; azul = ángulo de contacto mayor a 90°

Para mantener el equilibrio hidrostático , la presión capilar inducida se equilibra con un cambio en la altura, h , que puede ser positiva o negativa, dependiendo de si el ángulo de humectación es menor o mayor de 90°. Para un fluido de densidad ρ: donde g es la aceleración gravitacional . Esto a veces se conoce como la ley de Jurin o altura de Jurin ^[3] en honor a James Jurin , quien estudió el efecto en 1718. ^[4] $${\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

Para un tubo de vidrio lleno de agua en el aire al nivel del mar :

• γ = 0,0728 J/m2 ^a 20 ° C
• θ = 20° (0,35 rad )
• ρ = 1000 kg/ ^m3
• g = 9,8 m/ ^s2

y entonces la altura de la columna de agua está dada por: Así, para un tubo de 2 mm de ancho (1 mm de radio), el agua subiría 14 mm. Sin embargo, para un tubo capilar con un radio de 0,1 mm, el agua subiría 14 cm (aproximadamente 6 pulgadas ). $${\displaystyle h\approx {{1.4\times 10^{-5}}\mathrm {m} ^{2} \over a}.}$$

Acción capilar en general

En el caso general, para una superficie libre y donde se aplica una “sobrepresión”, Δ p , en la interfase en equilibrio, existe un balance entre la presión aplicada, la presión hidrostática y los efectos de la tensión superficial. La ecuación de Young-Laplace se convierte en: $${\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$$

La ecuación puede ser adimensionalizada en términos de su escala de longitud característica, la longitud capilar y la presión característica . $${\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},}$$ $${\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.}$$

Para agua limpia a temperatura y presión estándar , la longitud del capilar es de ~2 mm .

La ecuación adimensional entonces se convierte en: $${\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}}}\right).}$$

De esta forma, la forma de la superficie está determinada por un único parámetro, la sobrepresión del fluido, Δ p ^* y la escala de la superficie está dada por la longitud del capilar . La solución de la ecuación requiere una condición inicial de posición y el gradiente de la superficie en el punto de partida.

Ecuaciones axisimétricas

La forma (adimensional), r ( z ) de una superficie axisimétrica se puede encontrar sustituyendo expresiones generales por curvaturas principales para obtener las ecuaciones hidrostáticas de Young-Laplace : ^[5] $${\displaystyle {\frac {r''}{(1+r'^{2})^{{3}/{2}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt {1+r'^{2}}}}}=z-\Delta p^{*}}$$ $${\displaystyle {\frac {z''}{(1+z'^{2})^{3/2}}}+{\frac {z'}{r(1+z'^{2})^{{1}/{2}}}}=\Delta p^{*}-z(r).}$$

Aplicación en medicina

En medicina se la suele denominar Ley de Laplace , utilizada en el contexto de la fisiología cardiovascular , ^[6] y también de la fisiología respiratoria , aunque este último uso suele ser erróneo. ^[7]

Historia

Francis Hauksbee realizó algunas de las primeras observaciones y experimentos en 1709 ^[8] y estos fueron repetidos en 1718 por James Jurin , quien observó que la altura del fluido en una columna capilar era una función únicamente del área de la sección transversal en la superficie, no de ninguna otra dimensión de la columna. ^{[4] [9]}

Thomas Young sentó las bases de la ecuación en su ensayo de 1804 An Essay on the Cohesion of Fluids ^[10] , donde expuso en términos descriptivos los principios que rigen el contacto entre fluidos (junto con muchos otros aspectos del comportamiento de los fluidos). Pierre Simon Laplace continuó con esta teoría en Mécanique Céleste ^[11] con la descripción matemática formal que se ofrece más arriba, que reproduce en términos simbólicos la relación descrita anteriormente por Young.

Laplace aceptó la idea propuesta por Hauksbee en su libro Experimentos físico-mecánicos (1709), de que el fenómeno se debía a una fuerza de atracción que era insensible a distancias sensibles. ^{[12] [13]} La parte que trata de la acción de un sólido sobre un líquido y la acción mutua de dos líquidos no fue elaborada a fondo, pero finalmente fue completada por Carl Friedrich Gauss . ^[14] Franz Ernst Neumann (1798-1895) completó más tarde algunos detalles. ^{[15] [9] [16]}

Referencias

1. Módulo de tensión superficial Archivado el 27 de octubre de 2007 en Wayback Machine , por John WM Bush, en MIT OCW .
2. Robert Finn (1999). "Interfaces de superficie capilar" (PDF) . AMS .
3. "Regla de Jurin". Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos . McGraw-Hill en Answers.com. 2003. Consultado el 5 de septiembre de 2007 .
4. Ver:
   • James Jurin (1718) "Un relato de algunos experimentos mostrados ante la Royal Society; con una investigación sobre la causa de algunos de los ascensos y suspensiones de agua en tubos capilares", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 30  : 739–747.
   • James Jurin (1719) "Un relato de algunos experimentos nuevos, relacionados con la acción de los tubos de vidrio sobre el agua y el mercurio", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 30  : 1083–1096.
5. Lamb, H. Estática, incluyendo hidrostática y los elementos de la teoría de la elasticidad, 3.ª ed. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1928.
6. Basford, Jeffrey R. (2002). "La ley de Laplace y su relevancia para la medicina y la rehabilitación contemporáneas". Archivos de Medicina Física y Rehabilitación . 83 (8): 1165–1170. doi :10.1053/apmr.2002.33985. PMID  12161841.
7. Prange, Henry D. (2003). "La ley de Laplace y el alvéolo: una concepción errónea de la anatomía y una aplicación incorrecta de la física". Avances en la educación en fisiología . 27 (1): 34–40. doi :10.1152/advan.00024.2002. PMID  12594072. S2CID  7791096.
8. Ver:
   • Francis Hauksbee, Experimentos físico-mecánicos sobre diversos temas … (Londres, Inglaterra: (autoeditado por el autor; impreso por R. Brugis), 1709), páginas 139–169.
   • Francis Hauksbee (1711) "Un relato de un experimento sobre la dirección de una gota de aceite de naranjas, entre dos planos de vidrio, hacia cualquier lado de ellos que esté más presionado", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 27  : 374–375.
   • Francis Hauksbee (1712) "Un relato de un experimento sobre el ascenso del agua entre dos planos de vidrio, en una figura hiperbólica", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 27  : 539–540.
9. Maxwell, James Clerk ; Strutt, John William (1911). "Acción capilar"  . Encyclopædia Britannica . Vol. 5 (11.ª ed.). págs. 256–275.
10. Thomas Young (1805) "Un ensayo sobre la cohesión de fluidos", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 95  : 65–87.
11. Pierre Simon marqués de Laplace, Traité de Mécanique Céleste , volumen 4, (París, Francia: Courcier, 1805), Supplément au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste , páginas 1–79.
12. Pierre Simon marqués de Laplace, Traité de Mécanique Céleste , volumen 4, (París, Francia: Courcier, 1805), Supplément au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste . En la página 2 del Supplément, Laplace afirma que la acción capilar se debe a "... les lois dans lesquelles l'attraction n'est sensible qu'à des distancias insensibles;..." (... las leyes en las que la atracción es sensible [significativa] sólo a distancias insensibles [infinitesimales]…).
13. En 1751, Johann Andreas Segner llegó a la misma conclusión a la que había llegado Hauksbee en 1709: JA von Segner (1751) "De figuris superficierum fluidarum" (Sobre las formas de las superficies líquidas), Commentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis (Memorias de la Real Sociedad Científica de Göttingen), 1  : 301–372. En la página 303, Segner propone que los líquidos se mantienen unidos por una fuerza de atracción ( vim attractricem ) que actúa en distancias tan cortas "que nadie podría haberla percibido todavía con sus sentidos" (… ut nullo adhuc sensu percipi poterit. ).
14. Carl Friedrich Gauss, Principia generalia Theoriae Figurae Fluidorum in statu Aequilibrii [Principios generales de la teoría de las formas de los fluidos en estado de equilibrio] (Göttingen, (Alemania): Dieterichs, 1830). Disponible en línea en: Hathi Trust.
15. Franz Neumann con A. Wangerin, ed., Vorlesungen über die Theorie der Capillarität [Conferencias sobre la teoría de la capilaridad] (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1894).
16. Rouse Ball, WW [1908] (2003) "Pierre Simon Laplace (1749–1827)", en Breve relato de la historia de las matemáticas , 4.ª ed., Dover, ISBN 0-486-20630-0 

Lectura adicional

• Maxwell, James Clerk ; Strutt, John William (1911). "Capillary Action"  . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . Vol. 5 (11.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 256–275.
• Batchelor, GK (1967) Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press
• Jurin, J. (1716). "Relato de algunos experimentos presentados ante la Royal Society; con una investigación sobre la causa del ascenso y suspensión del agua en los tubos capilares". Philosophical Transactions of the Royal Society . 30 (351–363): 739–747. doi :10.1098/rstl.1717.0026. S2CID  186211806.
• Tadros TF (1995) Surfactantes en agroquímicos , serie Surfactant Science, vol. 54, Dekker