Longitud capilar

La longitud del capilar variará para diferentes líquidos y diferentes condiciones. Aquí hay una imagen de una gota de agua sobre una hoja de loto. Si la temperatura es 20 ^o entonces = 2,71 mm ${\displaystyle \lambda _{c}}$

La longitud capilar o constante capilar es un factor de escala de longitud que relaciona la gravedad y la tensión superficial . Es una propiedad física fundamental que gobierna el comportamiento de los meniscos y se encuentra cuando las fuerzas corporales (gravedad) y las fuerzas superficiales ( presión de Laplace ) están en equilibrio.

La presión de un fluido estático no depende de la forma, masa total o superficie del fluido. Es directamente proporcional al peso específico del fluido : la fuerza ejercida por la gravedad sobre un volumen específico y su altura vertical. Sin embargo, un fluido también experimenta presión inducida por la tensión superficial, comúnmente conocida como presión de Young-Laplace . ^[1] La tensión superficial se origina a partir de fuerzas de cohesión entre moléculas y, en la mayor parte del fluido, las moléculas experimentan fuerzas de atracción desde todas las direcciones. La superficie de un fluido es curvada porque las moléculas expuestas en la superficie tienen menos interacciones vecinas, lo que resulta en una fuerza neta que contrae la superficie. Existe una diferencia de presión a ambos lados de esta curvatura, y cuando esto equilibra la presión debida a la gravedad, se puede reorganizar para encontrar la longitud del capilar. ^[2]

En el caso de una interfaz fluido-fluido, por ejemplo una gota de agua sumergida en otro líquido, la longitud del capilar se indica o se da más comúnmente mediante la fórmula, ${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}}$ ${\displaystyle l_{\rm {c}}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}={\sqrt {\frac {\gamma }{\Delta \rho g}}}}$,

donde es la tensión superficial de la interfaz del fluido, es la aceleración gravitacional y es la diferencia de densidad de masa de los fluidos. La longitud del capilar a veces se indica en relación con la notación matemática de curvatura . El término constante capilar es algo engañoso, porque es importante reconocer que es una composición de cantidades variables, por ejemplo el valor de la tensión superficial variará con la temperatura y la diferencia de densidad cambiará dependiendo de los fluidos involucrados en una interacción de interfaz. Sin embargo, si se conocen estas condiciones, la longitud del capilar puede considerarse una constante para cualquier líquido determinado y usarse en numerosos problemas de mecánica de fluidos para escalar las ecuaciones derivadas de manera que sean válidas para cualquier fluido. ^[3] Para los fluidos moleculares, las tensiones interfaciales y las diferencias de densidad son típicamente del orden de mN m ⁻¹ y g mL ⁻¹ respectivamente, lo que da como resultado una longitud capilar de mm para el agua y el aire a temperatura ambiente en la Tierra. ^[4] Por otro lado, la longitud del capilar sería mm para agua-aire en la luna. Para una pompa de jabón , la tensión superficial debe dividirse por el espesor medio, lo que da como resultado una longitud capilar de aproximadamente metros en el aire. ^[5] La ecuación para también se puede encontrar con un término adicional, que se usa con mayor frecuencia al normalizar la altura capilar. ^[6] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Delta \rho }$ ${\displaystyle \kappa ^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}}$ ${\displaystyle 10-100}$ ${\displaystyle 0.1-1}$ ${\displaystyle \sim 3}$ ${\displaystyle {\lambda \scriptscriptstyle c}=6.68}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Origen

Teórico

Una forma de derivar teóricamente la longitud del capilar es imaginar una gota de líquido en el punto donde la tensión superficial equilibra la gravedad.

Sea una gota esférica con radio , ${\displaystyle \lambda _{c}}$

La presión característica de Laplace , debida a la tensión superficial, es igual a ${\displaystyle P_{\gamma }}$

${\displaystyle P_{\gamma }=2{\frac {\gamma }{\lambda _{\rm {c}}}}}$,

¿Dónde está la tensión superficial? La presión debida a la gravedad (presión hidrostática) de una columna de líquido está dada por ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P_{\rm {h}}}$

${\displaystyle P_{\rm {h}}=\rho gh=2\rho g\lambda _{\rm {c}}}$,

donde es la densidad de la gota, la aceleración gravitacional y la altura de la gota. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h=2\lambda _{\rm {c}}}$

En el punto donde la presión de Laplace equilibra la presión debida a la gravedad , ${\displaystyle P_{\rm {h}}=P_{\gamma }}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}}}$.

Relación con el número de Eötvös

La derivación anterior se puede utilizar cuando se trata del número de Eötvös , una cantidad adimensional que representa la relación entre las fuerzas de flotación y la tensión superficial del líquido. A pesar de haber sido presentado por Loránd Eötvös en 1886, desde entonces se ha disociado bastante de él, siendo reemplazado por Wilfrid Noel Bond, de modo que ahora se lo conoce como el número de Bond en la literatura reciente.

El número de Bond se puede escribir de manera que incluya una longitud característica, normalmente el radio de curvatura de un líquido y la longitud del capilar ^[7].

${\displaystyle \mathrm {Bo} ={\frac {\Delta \rho \,g\,L^{2}}{\gamma }}}$,

con los parámetros definidos anteriormente y el radio de curvatura. ${\displaystyle L}$

Por lo tanto, el número de enlace se puede escribir como

${\displaystyle \mathrm {Bo} =\left({\frac {L}{\lambda _{\rm {c}}}}\right)^{2}}$,

con la longitud del capilar. ${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}}$

Si el número de enlace se establece en 1, entonces la longitud característica es la longitud del capilar.

Experimental

La longitud capilar también se puede encontrar mediante la manipulación de muchos fenómenos físicos diferentes. Un método consiste en centrarse en la acción capilar , que es la atracción de la superficie de un líquido hacia un sólido circundante. ^[8]

Asociación con la ley de Jurin

La ley de Jurin es una ley cuantitativa que muestra que la altura máxima que puede alcanzar un líquido en un tubo capilar es inversamente proporcional al diámetro del tubo. La ley se puede ilustrar matemáticamente durante el levantamiento capilar, que es un experimento tradicional que mide la altura de un líquido en un tubo capilar. Cuando se inserta un tubo capilar en un líquido, el líquido subirá o bajará en el tubo debido a un desequilibrio de presión. La altura característica es la distancia desde la parte inferior del menisco hasta la base, y existe cuando la presión de Laplace y la presión debida a la gravedad están equilibradas. Se puede reorganizar para mostrar la longitud de los capilares en función de la tensión superficial y la gravedad.

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr}{2\cos \theta }}}$,

con la altura del líquido, el radio del tubo capilar y el ángulo de contacto . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

El ángulo de contacto se define como el ángulo formado por la intersección de la interfaz líquido-sólido y la interfaz líquido-vapor. ^[2] El tamaño del ángulo cuantifica la humectabilidad del líquido, es decir, la interacción entre el líquido y la superficie sólida. Se puede considerar un ángulo de contacto de humectación perfecta. ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr}{2}}}$.

Por lo tanto, forma una ecuación cíclica de 3 factores con . ${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}}$ ${\displaystyle r,h}$

Los físicos suelen utilizar esta propiedad para estimar la altura a la que se elevará un líquido en un tubo capilar particular, con un radio conocido, sin necesidad de realizar un experimento. Cuando la altura característica del líquido es suficientemente menor que la longitud del capilar, entonces se puede despreciar el efecto de la presión hidrostática debido a la gravedad. ^[9]

Utilizando las mismas premisas de ascenso capilar, se puede encontrar la longitud del capilar en función del aumento de volumen y el perímetro de humectación de las paredes capilares. ^[10]

Asociación con una gotita sésil.

Otra forma de encontrar la longitud del capilar es utilizar diferentes puntos de presión dentro de una gota sésil , teniendo cada punto un radio de curvatura, y equipararlos con la ecuación de presión de Laplace. Esta vez la ecuación se resuelve para la altura del nivel del menisco, que nuevamente puede usarse para dar la longitud del capilar.

La forma de una gota sésil es directamente proporcional a si el radio es mayor o menor que la longitud del capilar. Las microgotas son gotitas con un radio menor que la longitud del capilar y su forma se rige únicamente por la tensión superficial, formando una forma de casquete esférico. Si una gota tiene un radio mayor que la longitud del capilar, se la conoce como macrogota y las fuerzas gravitacionales dominarán. Las macrogotas serán "aplanadas" por la gravedad y la altura de la gota se reducirá. ^[11]

La longitud capilar frente a los radios de una gota.

Historia

Las investigaciones sobre la capilaridad se remontan a Leonardo da Vinci , sin embargo la idea de longitud capilar no se desarrolló hasta mucho más tarde. Fundamentalmente la longitud capilar es producto del trabajo de Thomas Young y Pierre Laplace . Ambos apreciaron que la tensión superficial surgía de fuerzas de cohesión entre partículas y que la forma de la superficie de un líquido reflejaba el corto alcance de estas fuerzas. A principios del siglo XIX derivaron de forma independiente ecuaciones de presión , pero debido a la notación y presentación, Laplace a menudo se lleva el crédito. La ecuación mostró que la presión dentro de una superficie curva entre dos fluidos estáticos es siempre mayor que la presión fuera de una superficie curva, pero la presión disminuirá a cero a medida que el radio se acerque al infinito. Dado que la fuerza es perpendicular a la superficie y actúa hacia el centro de la curvatura, un líquido ascenderá cuando la superficie sea cóncava y deprimirá cuando sea convexa. ^[12] Esta fue una explicación matemática del trabajo publicado por James Jurin en 1719, ^[13] donde cuantificó una relación entre la altura máxima que toma un líquido en un tubo capilar y su diámetro: la ley de Jurin . ^[10] La longitud del capilar evolucionó a partir del uso de la ecuación de presión de Laplace en el punto en que equilibraba la presión debida a la gravedad, y a veces se la denomina constante capilar de Laplace, después de haber sido introducida por Laplace en 1806. ^[14]

En naturaleza

Burbujas

El tamaño de las pompas de jabón está limitado por la longitud del capilar.

Como una gota, las burbujas son redondas porque las fuerzas de cohesión atraen a sus moléculas al grupo más compacto posible: una esfera. Debido al aire atrapado dentro de la burbuja, es imposible que el área de la superficie se reduzca a cero, por lo tanto, la presión dentro de la burbuja es mayor que en el exterior, porque si las presiones fueran iguales, entonces la burbuja simplemente colapsaría. ^[15] Esta diferencia de presión se puede calcular a partir de la ecuación de presión de Laplace,

${\displaystyle \Delta P={\frac {2\gamma }{R}}}$.

Para una pompa de jabón, existen dos superficies límite, interna y externa, y por lo tanto dos contribuciones al exceso de presión y la fórmula de Laplace se duplica a

${\displaystyle \Delta P={\frac {4\gamma }{R}}}$. ^[dieciséis]

La longitud del capilar se puede calcular de la misma manera, excepto que se debe tener en cuenta el grosor de la película, ya que la burbuja tiene un centro hueco, a diferencia de la gota que es un sólido. En lugar de pensar en una gota donde cada lado está como en la derivación anterior, ahora una burbuja es ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle \lambda _{c}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m=\Delta \rho R^{2}e_{0}}$,

con y el radio y espesor de la burbuja respectivamente. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e_{0}}$

Como se indicó anteriormente, la presión de Laplace y la presión hidrostática se equiparan, lo que da como resultado

${\displaystyle R={\frac {\gamma }{\Delta \rho ge_{0}}}={\frac {\lambda _{\rm {c}}^{2}}{e_{0}}}}$.

Así, la longitud capilar contribuye a un límite fisicoquímico que dicta el tamaño máximo que puede adoptar una pompa de jabón. ^[5]

Ver también

• Proceso de capilar
• Tensión superficial
• Presión
• número de bono
• ley de jurin
• Ecuación de Young-Laplace

Referencias

1. Nguyen, Anh V.; Schulze, Hans Joachim (2004). Ciencia coloidal de la flotación . Nueva York: Marcel Dekker. ISBN 978-0824747824. OCLC  53390392.
2. Yuan, Yuehua; Lee, T. Randall (2013), Bracco, Gianangelo; Holst, Bodil (eds.), "Ángulo de contacto y propiedades de humectación", Técnicas de ciencias de superficies , Springer Series in Surface Sciences, vol. 51, Springer Berlin Heidelberg, págs. 3–34, doi :10.1007/978-3-642-34243-1_1, ISBN 9783642342424, S2CID  133761573
3. Rapp, Bastian E. (13 de diciembre de 2016). Microfluidos: modelado, mecánica y matemáticas . Kidlington, Oxford, Reino Unido. ISBN 9781455731510. OCLC  966685733.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
4. Aarts, DGAL (2005). "Longitud del capilar en una mezcla de polímero y coloide desmezclado de líquido-líquido". La Revista de Química Física B. 109 (15): 7407–7411. doi :10.1021/jp044312q. hdl : 1874/14751 . ISSN  1520-6106. PMID  16851848. S2CID  32362123.
5. Clanet, Christophe; Quéré, David; Snoeijer, Jacco H.; Reyssat, Etienne; Texier, Bautista Darbois; Cohen, Caroline (7 de marzo de 2017). "Sobre la forma de pompas de jabón gigantes". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 114 (10): 2515–2519. Código Bib : 2017PNAS..114.2515C. doi : 10.1073/pnas.1616904114 . ISSN  0027-8424. PMC 5347548 . PMID  28223485. 
6. Boucher, EA (1 de abril de 1980). "Fenómenos capilares: propiedades de sistemas con interfaces fluido/fluido". Informes sobre los avances en física . 43 (4): 497–546. doi :10.1088/0034-4885/43/4/003. ISSN  0034-4885. S2CID  250817869.
7. Liu, Tingyi “Leo”; Kim, Chang-Jin “CJ” (2017). "Medición del ángulo de contacto de un líquido de longitud capilar pequeña en estado superrepelido". Informes científicos . 7 (1): 740. Código bibliográfico : 2017NatSR...7..740L. doi :10.1038/s41598-017-00607-9. ISSN  2045-2322. PMC 5428877 . PMID  28389672. 
8. Cleveland, Cutler J.; Morris, Christopher G. (20 de octubre de 2014). Diccionario de energía . Cleveland, Cutler J., Morris, Christopher G. (Segunda ed.). Amsterdam, Holanda. ISBN 9780080968124. OCLC  896841847.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
9. Noam, Eliaz; Galaadi, Eliezer (13 de septiembre de 2018). Electroquímica física: fundamentos, técnicas y aplicaciones (Segunda ed.). Weinheim. ISBN 9783527341405. OCLC  1080923071.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
10. Kashin, VV; Shakirov, KM; Poshevneva, AI (2011). "La constante capilar en el cálculo de la tensión superficial de líquidos". Acero en traducción . 41 (10): 795–798. doi :10.3103/S0967091211100093. ISSN  0967-0912. S2CID  137015683.
11. Berthier, Jean; Silberzan, Pacal (2010). Microfluidos para biotecnología (2ª ed.). Boston: Casa Artech. ISBN 9781596934443. OCLC  642685865.
12. Oeste, John B. (1996). Fisiología respiratoria: personas e ideas . Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. ISBN 9781461475200. OCLC  852791684.
13. "Jurín". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 30 (355): 739–747. 1719. doi :10.1098/rstl.1717.0026. S2CID  186211806.
14. L. Landau y B. Levich, “Arrastre de un líquido mediante una placa móvil”, Acta Physicochimica URSS, vol. 17, núm. 1-2, 1942, págs. 42-54
15. Agarwal, PK IIT Física-I. Medios de Krishna Prakashan.
16. Darvell, BW (29 de abril de 2009). Ciencia de materiales para odontología (Novena ed.). Cambridge, Inglaterra. ISBN 9781845696672. OCLC  874155175.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )