En geometría , el mosaico triangular o mosaico triangular es uno de los tres mosaicos regulares del plano euclidiano , y es el único mosaico donde las formas constituyentes no son paralelogonos . Como el ángulo interno del triángulo equilátero es de 60 grados, seis triángulos en un punto ocupan 360 grados completos. El mosaico triangular tiene el símbolo Schläfli de {3,6}.
El matemático inglés John Conway lo llamó deltille , llamado así por la forma triangular de la letra griega delta (Δ). El mosaico triangular también se puede llamar kishextille mediante una operación kis que agrega un punto central y triángulos para reemplazar las caras de un hextille .
Es uno de los tres mosaicos regulares del avión . Los otros dos son el mosaico cuadrado y el mosaico hexagonal .
Hay 9 colores uniformes distintos de un mosaico triangular. (Nombrar los colores por índices en los 6 triángulos alrededor de un vértice: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Tres de ellos se pueden derivar de otros repitiendo colores: 111212 y 111112 de 1 21213 por combinando 1 y 3, mientras que 111213 se reduce de 121314. [1]
Hay una clase de coloraciones de Arquímedes , 111112, (marcada con un *) que no es uniforme y contiene filas alternas de triángulos donde cada tercio está coloreado. El ejemplo que se muestra es 2-uniforme, pero hay infinitos colores de Arquímedes que pueden crearse mediante desplazamientos horizontales arbitrarios de las filas.
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La disposición de los vértices del mosaico triangular se llama red A 2 . [2] Es el caso bidimensional de un panal simplista .
La A*
2celosía (también llamada A3
2) se puede construir mediante la unión de las tres redes A 2 , y es equivalente a la red A 2 .
++= dual de
=Los vértices del mosaico triangular son los centros del empaquetamiento circular más denso posible . [3] Cada círculo está en contacto con otros 6 círculos en el embalaje ( número de beso ). La densidad de empaquetamiento es π ⁄ √ 12 o 90,69%. La celda voronoi de un mosaico triangular es un hexágono , por lo que la teselación voronoi , el mosaico hexagonal, tiene una correspondencia directa con los empaquetamientos circulares.
Los mosaicos triangulares se pueden hacer con la topología {3,6} equivalente a la del mosaico normal (6 triángulos alrededor de cada vértice). Con caras idénticas ( transitividad de cara ) y transitividad de vértice , existen 5 variaciones. La simetría dada supone que todas las caras son del mismo color. [4]
Los mosaicos planos están relacionados con los poliedros . Poner menos triángulos en un vértice deja un espacio y permite plegarlo formando una pirámide . Estos se pueden ampliar a los sólidos platónicos : cinco, cuatro y tres triángulos en un vértice definen un icosaedro , un octaedro y un tetraedro respectivamente.
Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con símbolos de Schläfli {3,n}, que continúan en el plano hiperbólico .
También está relacionado topológicamente como parte de la secuencia de sólidos catalanes con configuración de cara Vn.6.6, y también continúa en el plano hiperbólico.
Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho mosaicos uniformes que pueden basarse en el mosaico hexagonal regular (o el mosaico triangular dual).
Al dibujar los mosaicos coloreados de rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul a lo largo de los bordes originales, hay 8 formas, 7 que son topológicamente distintas. (El mosaico triangular truncado es topológicamente idéntico al mosaico hexagonal).
Hay 4 apeirogons complejos regulares , que comparten los vértices del mosaico triangular. Los apeirogons complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirógonos regulares p { q } r están restringidos por: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices y las figuras de vértices son r -gonales. [5]
El primero está hecho de 2 bordes, los dos siguientes son bordes triangulares y el último tiene bordes hexagonales superpuestos.
También hay tres mosaicos Laves formados por un solo tipo de triángulos:
