En geometría , el panal simplicial (o panal n -símplex ) es una serie infinita dimensional de panales , basada en la simetría afín del grupo de Coxeter . Se representa mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin como un grafo cíclico de n + 1 nodos con un nodo en anillo. Está compuesto por facetas n - símplex , junto con todos los n -símplices rectificados . Se puede considerar como un panal hipercúbico n -dimensional que se ha subdividido a lo largo de todos los hiperplanos , y luego se ha estirado a lo largo de su diagonal principal hasta que los símplices en los extremos de los hipercubos se vuelven regulares. La figura del vértice de un panal n - símplex es un n - símplex expandido .
En 2 dimensiones , el panal representa el mosaico triangular , con gráfico de Coxeter.
Rellenando el plano con triángulos de colores alternados. En 3 dimensiones representa el panal tetraédrico-octaédrico , con grafo de Coxeter.
Relleno del espacio con celdas tetraédricas y octaédricas alternadas. En 4 dimensiones se denomina panal de 5 celdas , con gráfico de Coxeter.
, con facetas de 5 celdas y 5 celdas rectificadas . En 5 dimensiones se denomina panal de 5-símplex , con gráfico de Coxeter, llenando el espacio con facetas 5-símplex , 5-símplex rectificado y 5-símplex birectificado . En 6 dimensiones se denomina panal 6-símplex , con gráfico de Coxeter, llenando el espacio con facetas 6-simplex , 6-simplex rectificado y 6-simplex birectificado .
Los panales (2n-1)-símplex y los panales 2n-símplex se pueden proyectar en el panal hipercúbico n-dimensional mediante una operación de plegado geométrico que mapea dos pares de espejos entre sí, compartiendo la misma disposición de vértices :
Estos panales, vistos como n-esferas tangentes ubicadas en el centro de cada vértice del panal, tienen un número fijo de esferas en contacto y corresponden al número de vértices en la figura del vértice . Esto representa el número de besos más alto para 2 y 3 dimensiones, pero se queda corto en dimensiones superiores. En 2 dimensiones, el mosaico triangular define un empaquetamiento circular de 6 esferas tangentes dispuestas en un hexágono regular, y para 3 dimensiones hay 12 esferas tangentes dispuestas en una configuración cuboctaédrica . Para 4 a 8 dimensiones, los números de besos son 20 , 30 , 42 , 56 y 72 esferas, mientras que las mayores soluciones son 24, 40, 72, 126 y 240 esferas respectivamente.
