Momento dipolar eléctrico

Medida de cargas positivas y negativas.

El campo eléctrico debido a un dipolo puntual (arriba a la izquierda), un dipolo físico de cargas eléctricas (arriba a la derecha), una fina lámina polarizada (abajo a la izquierda) o un condensador de placas (abajo a la derecha). Todos generan el mismo perfil de campo cuando la disposición es infinitamente pequeña.

El momento dipolar eléctrico es una medida de la separación de cargas eléctricas positivas y negativas dentro de un sistema, es decir, una medida de la polaridad general del sistema . La unidad SI para el momento dipolar eléctrico es el culombio - metro (C⋅m). El debye (D) es otra unidad de medida utilizada en física y química atómica.

Teóricamente, un dipolo eléctrico se define por el término de primer orden de la expansión multipolar ; consta de dos cargas iguales y opuestas que están infinitamente juntas, aunque los dipolos reales tienen carga separada. ^{[notas 1]}

Definición elemental

Cantidades que definen el momento dipolar eléctrico de dos cargas puntuales.

A menudo, en física, las dimensiones de un objeto masivo pueden ignorarse y tratarse como un objeto puntual, es decir, una partícula puntual . Las partículas puntuales con carga eléctrica se denominan cargas puntuales . Dos cargas puntuales, una con carga + q y otra con carga − q separadas por una distancia d , constituyen un dipolo eléctrico (un caso simple de multipolo eléctrico ). Para este caso, el momento dipolar eléctrico tiene una magnitud

$${\displaystyle p=qd}$$

ds = d /2

Una definición matemática más sólida es utilizar álgebra vectorial , ya que una cantidad con magnitud y dirección, como el momento dipolar de dos cargas puntuales, se puede expresar en forma vectorial.

$${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} }$$

dvector de desplazamientopcampo eléctrico^[1]

Una idealización de este sistema de dos cargas es el dipolo puntual eléctrico que consta de dos cargas (infinitas) separadas sólo infinitamente, pero con una p finita . Esta cantidad se utiliza en la definición de densidad de polarización .

Energía y par

Dipolo eléctrico p y su par τ en un campo E uniforme .

Un objeto con un momento dipolar eléctrico p está sujeto a un par τ cuando se coloca en un campo eléctrico externo E. El par tiende a alinear el dipolo con el campo. Un dipolo alineado paralelo a un campo eléctrico tiene menor energía potencial que un dipolo que forma algún ángulo con él. Para un campo eléctrico espacialmente uniforme a través de la pequeña región ocupada por el dipolo, la energía U y el par vienen dados por ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

$${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} ,\qquad \ {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} ,}$$

El producto del punto escalar " ⋅ " y el signo negativo muestran que la energía potencial se minimiza cuando el dipolo es paralelo al campo y es máxima cuando es antiparalelo, mientras que cero cuando es perpendicular. El símbolo " × " se refiere al producto vectorial . El vector de campo E y el vector dipolo definen un plano, y el par se dirige normal a ese plano con la dirección dada por la regla de la mano derecha . Tenga en cuenta que un dipolo en un campo tan uniforme puede girar y oscilar pero no recibe ninguna fuerza neta general sin aceleración lineal del dipolo. El dipolo gira para alinearse con el campo externo.

Sin embargo, en un campo eléctrico no uniforme, un dipolo puede recibir una fuerza neta, ya que la fuerza en un extremo del dipolo ya no equilibra la del otro extremo. Se puede demostrar que esta fuerza neta es generalmente paralela al momento dipolar.

Expresión (caso general)

De manera más general, para una distribución continua de carga confinada a un volumen V , la expresión correspondiente para el momento dipolar es:

$${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} ')\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)d^{3}\mathbf {r} ',}$$

donde r ubica el punto de observación y d ³ r ′ denota un volumen elemental en V . Para una serie de cargas puntuales, la densidad de carga se convierte en una suma de funciones delta de Dirac :

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right),}$$

donde cada r _i es un vector desde algún punto de referencia a la carga q _i . La sustitución en la fórmula de integración anterior proporciona:

$${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\,d^{3}\mathbf {r} _{0}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right).}$$

Esta expresión es equivalente a la expresión anterior en el caso de neutralidad de carga y N = 2. Para dos cargas opuestas, denota la ubicación de la carga positiva del par como r ₊ y la ubicación de la carga negativa como r ₋ :

$${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=q_{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )+q_{2}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} )-q(\mathbf {r} _{-}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-})=q\mathbf {d} ,}$$

mostrando que el vector de momento dipolar se dirige desde la carga negativa a la carga positiva porque el vector de posición de un punto se dirige hacia afuera desde el origen hasta ese punto.

El momento dipolar es particularmente útil en el contexto de un sistema neutro general de cargas, por ejemplo, un par de cargas opuestas o un conductor neutro en un campo eléctrico uniforme. Para tal sistema de cargas, visualizado como un conjunto de cargas opuestas emparejadas, la relación para el momento dipolar eléctrico es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=\sum _{i=1}^{N}\,\int _{V}q_{i}\left[\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\left(\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}\right)\right)-\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\right]\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\ d^{3}\mathbf {r} _{0}\\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\left[\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}-\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d} _{i}=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}\,,\end{aligned}}}$$

donde r es el punto de observación, y d _i = r ' _i − r _i , siendo r _i la posición de la carga negativa en el dipolo i y r ' _i la posición de la carga positiva. Ésta es la suma vectorial de los momentos dipolares individuales de los pares de carga neutra. (Debido a la neutralidad general de la carga, el momento dipolar es independiente de la posición r del observador ). Por lo tanto, el valor de p es independiente de la elección del punto de referencia, siempre que la carga total del sistema sea cero.

Cuando se habla del momento dipolar de un sistema no neutro, como el momento dipolar del protón , surge una dependencia de la elección del punto de referencia. En tales casos, es convencional elegir como punto de referencia el centro de masa del sistema, no algún origen arbitrario. ^[3] Esta elección no es sólo una cuestión de convención: la noción de momento dipolar se deriva esencialmente de la noción mecánica de par y, como en mecánica, es computacional y teóricamente útil elegir el centro de masa como punto de observación. Para una molécula cargada, el centro de carga debería ser el punto de referencia en lugar del centro de masa. Para sistemas neutros el punto de referencia no es importante y el momento dipolar es una propiedad intrínseca del sistema.

Potencial y campo de un dipolo eléctrico.

Mapa de potencial de un dipolo eléctrico físico . Los potenciales negativos están en azul; potenciales positivos, en rojo.

Un dipolo ideal consta de dos cargas opuestas con una separación infinitesimal. Calculamos el potencial y el campo de dicho dipolo ideal comenzando con dos cargas opuestas en una separación d > 0 y tomando el límite como d → 0.

Dos cargas opuestas ± q muy próximas tienen un potencial de la forma:

$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right|}}-{\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right|}}\right),}$$

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )\ =\ -\varepsilon _{0}\nabla ^{2}\phi \ =\ q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right)-q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right)}$$

la ley de Coulomb

$${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-}\,,\quad d=|\mathbf {d} |\,.}$$

Sea R el vector de posición relativo al punto medio y el vector unitario correspondiente: ${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}}$

$${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}},\quad {\hat {\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {R} }{R}}\,,}$$

La expansión de Taylor en (ver expansión multipolar y cuadrupolo ) expresa este potencial como una serie. ^{[4] [5]} ${\displaystyle {\tfrac {d}{R}}}$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {R} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{R^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{R^{3}}}\right)\ \approx \ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{R^{2}}}\,,}$$

Rd^{[notas 2]}p

$${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} \,.}$$

El resultado del potencial dipolar también se puede expresar como: ^[7]

$${\displaystyle \phi (\mathbf {R} )\approx -\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\,,}$$

que relaciona el potencial dipolar con el de una carga puntual. Un punto clave es que el potencial del dipolo cae más rápidamente con la distancia R que el de la carga puntual.

El campo eléctrico del dipolo es el gradiente negativo del potencial, lo que lleva a: ^[7]

$${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {R} \right)={\frac {3\left(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\right){\hat {\mathbf {R} }}-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}\,.}$$

Así, aunque dos cargas opuestas estrechamente espaciadas no son un dipolo eléctrico ideal (porque su potencial a distancias cortas no es el de un dipolo), a distancias mucho mayores que su separación, su momento dipolar p aparece directamente en su potencial y campo.

A medida que las dos cargas se acercan ( d se hace más pequeño), el término dipolar en la expansión multipolar basada en la relación d / R se convierte en el único término significativo a distancias cada vez más cercanas R , y en el límite de separación infinitesimal el término dipolo en esta expansión es lo único que importa. Sin embargo, como d se hace infinitesimal, se debe hacer que la carga dipolar aumente para mantener p constante. Este proceso limitante da como resultado un "dipolo puntual".

Densidad de momento dipolar y densidad de polarización.

El momento dipolar de una serie de cargas,

$${\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d_{i}} \,,}$$

determina el grado de polaridad de la matriz, pero para una matriz neutra es simplemente una propiedad vectorial de la matriz sin información sobre la ubicación absoluta de la matriz. La densidad de momento dipolar de la matriz p ( r ) contiene tanto la ubicación de la matriz como su momento dipolar. Cuando llega el momento de calcular el campo eléctrico en alguna región que contiene la matriz, las ecuaciones de Maxwell se resuelven y la información sobre la matriz de carga está contenida en la densidad de polarización P ( r ) de las ecuaciones de Maxwell. Dependiendo de qué tan detallada se requiera una evaluación del campo eléctrico, más o menos información sobre la matriz de carga deberá expresarse mediante P ( r ). Como se explica a continuación, a veces es suficientemente exacto tomar P ( r ) = p ( r ). A veces se necesita una descripción más detallada (por ejemplo, complementar la densidad del momento dipolar con una densidad cuadrupolar adicional) y, a veces, son necesarias versiones incluso más elaboradas de P ( r ).

Ahora se explora de qué manera la densidad de polarización P ( r ) que entra en las ecuaciones de Maxwell está relacionada con el momento dipolar p de una matriz neutra general de cargas, y también con la densidad del momento dipolar p ( r ) (que describe no sólo el momento dipolar, sino también la ubicación del conjunto). A continuación solo se consideran situaciones estáticas, por lo que P ( r ) no depende del tiempo y no hay corriente de desplazamiento . Primero hay una discusión sobre la densidad de polarización P ( r ). A esa discusión le siguen varios ejemplos particulares.

Una formulación de las ecuaciones de Maxwell basada en la división de cargas y corrientes en cargas y corrientes "libres" y "ligadas" conduce a la introducción de los campos D y P :

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,,}$$

Pdensidad de polarización

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} +\nabla \cdot \mathbf {P} \,,}$$

Etotalρ _f

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{b}\,,}$$

ρ _b

Además, en ausencia de efectos magnéticos, las ecuaciones de Maxwell especifican que

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\boldsymbol {0}}\,,}$$

lo que implica

$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {D} -\mathbf {P} \right)={\boldsymbol {0}}\,,}$$

Aplicando la descomposición de Helmholtz : ^[8]

$${\displaystyle \mathbf {D} -\mathbf {P} =-\nabla \varphi \,,}$$

φ

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {D} -\mathbf {P} )=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{f}+\rho _{b}=-\nabla ^{2}\varphi \,.}$$

Supongamos que las cargas se dividen en libres y ligadas, y el potencial se divide en

$${\displaystyle \varphi =\varphi _{f}+\varphi _{b}\,.}$$

El cumplimiento de las condiciones de frontera sobre φ puede dividirse arbitrariamente entre φ _f y φ _b porque sólo la suma φ debe satisfacer estas condiciones. De ello se deduce que P es simplemente proporcional al campo eléctrico debido a las cargas seleccionadas como ligadas, con condiciones de contorno que resultan convenientes. ^{[notas 3] [notas 4]} En particular, cuando no hay ningún cargo gratuito, una opción posible es P = ε ₀ E .

A continuación se analiza cómo varias descripciones diferentes del momento dipolar de un medio se relacionan con la polarización que entra en las ecuaciones de Maxwell.

Medio con densidades de carga y dipolo.

Como se describe a continuación, un modelo para la densidad del momento de polarización p ( r ) da como resultado una polarización

$${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} (\mathbf {r} )}$$

pr

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=-\rho _{b},}$$

integración por partesprprintegral de superficie

Como primer ejemplo que relaciona el momento dipolar con la polarización, considere un medio formado por una densidad de carga continua ρ ( r ) y una distribución continua del momento dipolar p ( r ). ^{[notas 5]} El potencial en una posición r es: ^{[10] [11]}

$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\ +{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0},}$$

donde ρ ( r ) es la densidad de carga no apareada y p ( r ) es la densidad del momento dipolar. ^{[notas 6]} Usando una identidad:

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\\={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\implies \mathbf {A} \cdot (\nabla {B})=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}}$$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,,}$$

El potencial está determinado por la carga total, que como se muestra arriba consta de:

$${\displaystyle \rho _{\text{total}}\left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\,,}$$

$${\displaystyle -\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho _{b}\,.}$$

En resumen, la densidad del momento dipolar p ( r ) desempeña el papel de la densidad de polarización P para este medio. Observe que p ( r ) tiene una divergencia distinta de cero igual a la densidad de carga ligada (como se modela en esta aproximación).

Cabe señalar que este enfoque se puede ampliar para incluir todos los multipolos: dipolo, cuadrupolo, etc. ^{[12] [13]} Usando la relación:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}\,,}$$

Se encuentra que la densidad de polarización es:

$${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} _{\text{dip}}-\nabla \cdot \mathbf {p} _{\text{quad}}+\cdots \,,}$$

donde los términos agregados pretenden indicar contribuciones de multipolos superiores. Evidentemente, la inclusión de multipolos superiores significa que la densidad de polarización P ya no está determinada únicamente por la densidad del momento dipolar p . Por ejemplo, al considerar la dispersión de una matriz de cargas, diferentes multipolos dispersan una onda electromagnética de manera diferente e independiente, lo que requiere una representación de las cargas que va más allá de la aproximación dipolar. ^{[14] [15]}

Carga superficial

Una disposición uniforme de dipolos idénticos equivale a una carga superficial.

Arriba, se aplazó la discusión sobre el primer término de la expresión del potencial debido a los dipolos. La integración de la divergencia da como resultado una carga superficial. La figura de la derecha proporciona una idea intuitiva de por qué surge una carga superficial. La figura muestra una disposición uniforme de dipolos idénticos entre dos superficies. Internamente, las cabezas y colas de los dipolos son adyacentes y se cancelan. Sin embargo, en las superficies delimitadoras no se produce ninguna cancelación. En cambio, en una superficie las cabezas de los dipolos crean una carga superficial positiva, mientras que en la superficie opuesta las colas de los dipolos crean una carga superficial negativa. Estas dos cargas superficiales opuestas crean un campo eléctrico neto en dirección opuesta a la dirección de los dipolos.

Esta idea recibe forma matemática utilizando la expresión potencial anterior. Haciendo caso omiso de la carga gratuita, el potencial es:

$${\displaystyle \phi \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,.}$$

Usando el teorema de la divergencia , el término de divergencia se transforma en la integral de superficie:

$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot d\mathbf {A} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\,,}$$

siendo d A ₀ un elemento de área de superficie del volumen. En el caso de que p ( r ) sea una constante, solo sobrevive el término de superficie:

$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,}$$

A ₀pcarga superficial.

$${\displaystyle \sigma =\mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} }$$

p

Si la superficie delimitadora es una esfera y el punto de observación está en el centro de esta esfera, la integración sobre la superficie de la esfera es cero: las contribuciones de carga superficial positiva y negativa al potencial se cancelan. Sin embargo, si el punto de observación está descentrado, puede resultar un potencial neto (dependiendo de la situación) porque las cargas positivas y negativas están a diferentes distancias del punto de observación. ^{[notas 7]} El campo debido a la carga superficial es:

$${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla _{\mathbf {r} }\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,}$$

campos^[17]

$${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {p} }{3\varepsilon _{0}}}\,.}$$

Si suponemos que la polarización de los dipolos fue inducida por un campo externo, el campo de polarización se opone al campo aplicado y en ocasiones se denomina campo de despolarización . ^{[18] [19]} En el caso de que la polarización esté fuera de una cavidad esférica, el campo en la cavidad debido a los dipolos circundantes está en la misma dirección que la polarización. ^{[notas 8]}

En particular, si la susceptibilidad eléctrica se introduce mediante la aproximación:

$${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )\,,}$$

Ecampo externo

Entonces:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\nabla \cdot \left(\chi (\mathbf {r} )\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\right)=-\rho _{b}\,.}$$

Siempre que se utiliza χ ( r ) para modelar una discontinuidad de paso en el límite entre dos regiones, el paso produce una capa de carga superficial. Por ejemplo, integrando a lo largo de una normal a la superficie delimitadora desde un punto justo interior a una superficie y a otro punto justo exterior:

$${\displaystyle \varepsilon _{0}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \left[\chi \left(\mathbf {r} _{+}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{+}\right)-\chi \left(\mathbf {r} _{-}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{-}\right)\right]={\frac {1}{A_{n}}}\int d\Omega _{n}\ \rho _{b}=0\,,}$$

donde An , Ω _{n indican el área y el volumen de una región elemental que se extiende a ambos} lados del límite entre las regiones y una unidad normal a la superficie. El lado derecho desaparece a medida que el volumen se contrae, ya que ρ _b es finito, lo que indica una discontinuidad en E y, por tanto, una carga superficial. Es decir, cuando el medio modelado incluye un paso en permitividad, la densidad de polarización correspondiente a la densidad del momento dipolar ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

$${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

incluye necesariamente el aporte de una carga superficial. ^{[21] [22] [23]}

Un modelado físicamente más realista de p ( r ) haría que la densidad del momento dipolar cayera rápidamente, pero suavemente, hasta cero en el límite de la región confinada, en lugar de dar un paso repentino hacia la densidad cero. Entonces la carga superficial no se concentrará en una superficie infinitamente delgada, sino que, al ser la divergencia de una densidad de momento dipolar que varía suavemente, se distribuirá a lo largo de una capa de transición delgada pero finita.

Esfera dieléctrica en campo eléctrico externo uniforme.

Líneas de campo del campo D en una esfera dieléctrica con mayor susceptibilidad que su entorno, colocada en un campo previamente uniforme. ^{[notas 9]} Las líneas de campo del campo E (no mostradas) coinciden en todas partes con las del campo D , pero dentro de la esfera, su densidad es menor, lo que corresponde al hecho de que el campo E es más débil dentro de la esfera. que afuera. Muchas de las líneas externas del campo E terminan en la superficie de la esfera, donde hay una carga ligada.

Las observaciones generales anteriores sobre la carga superficial se concretan más al considerar el ejemplo de una esfera dieléctrica en un campo eléctrico uniforme. ^{[25] [26]} Se encuentra que la esfera adopta una carga superficial relacionada con el momento dipolar de su interior.

Se supone que un campo eléctrico externo uniforme apunta en la dirección z y se introducen coordenadas polares esféricas, de modo que el potencial creado por este campo es:

$${\displaystyle \phi _{\infty }=-E_{\infty }z=-E_{\infty }r\cos \theta \,.}$$

Se supone que la esfera está descrita por una constante dieléctrica κ , es decir,

$${\displaystyle \mathbf {D} =\kappa \varepsilon _{0}\mathbf {E} \,,}$$

y dentro de la esfera el potencial satisface la ecuación de Laplace. Saltándonos algunos detalles, la solución dentro de la esfera es:

$${\displaystyle \phi _{<}=Ar\cos \theta \,,}$$

mientras está fuera de la esfera:

$${\displaystyle \phi _{>}=\left(Br+{\frac {C}{r^{2}}}\right)\cos \theta \,.}$$

A grandes distancias, φ _> → φ _∞ entonces B = − E _∞ . La continuidad del potencial y de la componente radial del desplazamiento D = κε ₀ E determinan las otras dos constantes. Suponiendo que el radio de la esfera es R ,

$${\displaystyle A=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }\ ;\ C={\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }R^{3}\,,}$$

En consecuencia, el potencial es:

$${\displaystyle \phi _{>}=\left(-r+{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}{\frac {R^{3}}{r^{2}}}\right)E_{\infty }\cos \theta \,,}$$

z

$${\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}R^{3}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,}$$

o, por unidad de volumen:

$${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,.}$$

El factor ( κ − 1)/( κ + 2) se llama factor de Clausius-Mossotti y muestra que la polarización inducida invierte el signo si κ < 1. Por supuesto, esto no puede suceder en este ejemplo, pero sí en un ejemplo con dos dieléctricos κ se reemplaza por la relación entre las constantes dieléctricas de la región interna y externa, que puede ser mayor o menor que uno. El potencial dentro de la esfera es:

$${\displaystyle \phi _{<}=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }r\cos \theta \,,}$$

conduciendo al campo dentro de la esfera:

$${\displaystyle -\nabla \phi _{<}={\frac {3}{\kappa +2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,}$$

mostrando el efecto despolarizante del dipolo. Observe que el campo dentro de la esfera es uniforme y paralelo al campo aplicado. El momento dipolar es uniforme en todo el interior de la esfera. La densidad de carga superficial en la esfera es la diferencia entre los componentes del campo radial:

$${\displaystyle \sigma =3\varepsilon _{0}{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }\cos \theta ={\frac {1}{V}}\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\,.}$$

Este ejemplo dieléctrico lineal muestra que el tratamiento de la constante dieléctrica es equivalente al modelo de momento dipolar uniforme y conduce a una carga cero en todas partes excepto en la carga superficial en el límite de la esfera.

Medios generales

Si la observación se limita a regiones suficientemente alejadas de un sistema de cargas, se puede realizar una expansión multipolar de la densidad de polarización exacta. Al truncar esta expansión (por ejemplo, reteniendo solo los términos dipolares, o solo los términos dipolo y cuadrupolo, etc. ) , se recuperan los resultados de la sección anterior. En particular, al truncar la expansión en el término dipolar, el resultado es indistinguible de la densidad de polarización generada por un momento dipolar uniforme confinado a la región de carga. Para la precisión de esta aproximación dipolar, como se muestra en la sección anterior, la densidad del momento dipolar p ( r ) (que incluye no solo p sino la ubicación de p ) sirve como P ( r ).

En ubicaciones dentro del conjunto de cargas, para conectar un conjunto de cargas emparejadas a una aproximación que involucra solo una densidad de momento dipolar p ( r ) se requieren consideraciones adicionales. La aproximación más simple es reemplazar la matriz de cargas con un modelo de dipolos ideales (infinitesimalmente espaciados). En particular, como en el ejemplo anterior que utiliza una densidad de momento dipolar constante confinada a una región finita, se produce una carga superficial y un campo de despolarización. Una versión más general de este modelo (que permite que la polarización varíe con la posición) es el enfoque habitual que utiliza susceptibilidad eléctrica o permitividad eléctrica .

Un modelo más complejo del conjunto de cargas puntuales introduce un medio eficaz promediando las cargas microscópicas; ^[19] por ejemplo, en el promediado se puede lograr que sólo los campos dipolares desempeñen un papel. ^{[27] [28]} Un enfoque relacionado es dividir las cargas entre las que están cerca del punto de observación y las que están lo suficientemente lejos como para permitir una expansión multipolar. Las cargas cercanas dan lugar entonces a efectos de campo locales . ^{[17] [29]} En un modelo común de este tipo, las cargas distantes se tratan como un medio homogéneo usando una constante dieléctrica, y las cargas cercanas se tratan solo en una aproximación dipolar. ^[30] La aproximación de un medio o una serie de cargas únicamente mediante dipolos y su densidad de momento dipolar asociada a veces se denomina aproximación dipolar puntual , aproximación dipolar discreta o simplemente aproximación dipolar . ^{[31] [32] [33]}

Momentos dipolares eléctricos de partículas fundamentales.

No debe confundirse con el espín , que se refiere a los momentos dipolares magnéticos de las partículas, y se continúa con mucho trabajo experimental para medir los momentos dipolares eléctricos (EDM; o momento dipolar eléctrico anómalo ) de partículas fundamentales y compuestas, es decir, las del electrón y el neutrón . respectivamente. Como los EDM violan las simetrías de paridad (P) y de inversión de tiempo (T), sus valores producen una medida de la violación de CP en su mayor parte independiente del modelo (suponiendo que la simetría CPT sea válida). ^[34] Por lo tanto, los valores para estos EDM imponen fuertes restricciones a la escala de violación de CP que las extensiones al modelo estándar de física de partículas pueden permitir. Las generaciones actuales de experimentos están diseñadas para ser sensibles al rango de supersimetría de los EDM, proporcionando experimentos complementarios a los realizados en el LHC . ^[35]

De hecho, muchas teorías son inconsistentes con los límites actuales y efectivamente han sido descartadas, y la teoría establecida permite un valor mucho mayor que estos límites, lo que lleva al fuerte problema de CP y provoca búsquedas de nuevas partículas como el axión . ^[36]

Sabemos, al menos en el sector Yukawa, por las oscilaciones neutrales del kaon, que CP está roto. Se han realizado experimentos para medir el momento dipolar eléctrico de varias partículas como el electrón y el neutrón . Muchos modelos más allá del modelo estándar con términos adicionales que violan CP predicen genéricamente un momento dipolar eléctrico distinto de cero y, por lo tanto, son sensibles a esta nueva física. Las correcciones instantáneas de un término θ distinto de cero en cromodinámica cuántica predicen un momento dipolar eléctrico distinto de cero para el neutrón y el protón, que no se han observado en experimentos (donde los mejores límites provienen del análisis de neutrones). Este es el problema de CP fuerte y es una predicción de la teoría de la perturbación quiral .

Momentos dipolares de moléculas.

Los momentos dipolares en las moléculas son responsables del comportamiento de una sustancia en presencia de campos eléctricos externos. Los dipolos tienden a estar alineados con el campo externo, que puede ser constante o dependiente del tiempo. Este efecto forma la base de una técnica experimental moderna llamada espectroscopia dieléctrica .

Los momentos dipolares se pueden encontrar en moléculas comunes como el agua y también en biomoléculas como las proteínas. ^[37]

Por medio del momento dipolar total de algún material se puede calcular la constante dieléctrica que está relacionada con el concepto más intuitivo de conductividad. Si es el momento dipolar total de la muestra, entonces la constante dieléctrica viene dada por, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\rm {Tot}}}$

$${\displaystyle \varepsilon =1+k\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle }$$

k ${\displaystyle \left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0){\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0)\right\rangle }$

$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}={\mathcal {M}}_{\text{Trans}}+{\mathcal {M}}_{\text{Rot}}.}$$

Por tanto, la constante dieléctrica (y la conductividad) tienen contribuciones de ambos términos. Este enfoque se puede generalizar para calcular la función dieléctrica dependiente de la frecuencia. ^[38]

Es posible calcular los momentos dipolares a partir de la teoría de estructuras electrónicas , ya sea como respuesta a campos eléctricos constantes o a partir de la matriz de densidad. ^[39] Sin embargo, tales valores no son directamente comparables con los experimentos debido a la presencia potencial de efectos cuánticos nucleares, que pueden ser sustanciales incluso para sistemas simples como la molécula de amoníaco. ^[40] La teoría de conglomerados acoplados (especialmente CCSD(T) ^[41] ) puede proporcionar momentos dipolares muy precisos, ^[42] aunque es posible obtener estimaciones razonables (dentro de aproximadamente el 5%) de la teoría funcional de densidad , especialmente si es híbrida o doble. Se emplean funcionales híbridos. ^[43] El momento dipolar de una molécula también se puede calcular basándose en la estructura molecular utilizando el concepto de métodos de contribución de grupo. ^[44]

Ver también

• Momento dipolar magnético anómalo
• Momento dipolar de enlace
• Momento dipolar eléctrico de neutrones
• Momento dipolar eléctrico del electrón.
• Momento dipolar toroidal
• Dipolo toroidal dinámico
• Expansión multipolar
• Momentos multipolares
• Armónicos sólidos
• Momentos multipolares axiales
• Momentos multipolares cilíndricos
• Momentos esféricos multipolares
• Expansión de Laplace
• Polinomios de Legendre

Notas

1. Muchos teóricos predicen que las partículas elementales pueden tener momentos dipolares eléctricos muy pequeños, posiblemente sin carga separada. Dipolos tan grandes no suponen ninguna diferencia para la física cotidiana y aún no se han observado. (Ver momento dipolar eléctrico del electrón ). Sin embargo, cuando se realizan mediciones a una distancia mucho mayor que la separación de cargas, el dipolo proporciona una buena aproximación del campo eléctrico real. El dipolo está representado por un vector que va desde la carga negativa hacia la carga positiva.
2. Cada término sucesivo proporciona una vista más detallada de la distribución de carga y disminuye más rápidamente con la distancia. Por ejemplo, el momento cuadripolar es la base del siguiente término:
   $${\displaystyle Q_{ij}=\int d^{3}\mathbf {r} _{0}\left(3x_{i}x_{j}-r_{0}^{2}\delta _{ij}\right)\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)\,,}$$
   con r ₀ = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ). ^[6]
3. Por ejemplo, se podría colocar el límite alrededor de las cargas unidas en el infinito. Entonces φ _b disminuye con la distancia desde las cargas unidas. Si está presente un campo externo y la carga libre es cero, el campo puede tenerse en cuenta en la contribución de φ _f , lo que permitiría satisfacer las condiciones de contorno y la ecuación de Laplace.
   $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi _{f}=0\,.}$$
4. En principio, se podría agregar el mismo rizo arbitrario tanto a D como a P , lo que cancelaría la diferencia D − P. Sin embargo, suponiendo que D y P se originan en una simple división de cargas en libres y ligadas, formalmente son similares a los campos eléctricos y, por lo tanto, tienen curvatura cero .
5. Este medio puede verse como una idealización que surge de la expansión multipolar del potencial de una distribución de carga arbitrariamente compleja, el truncamiento de la expansión y el forzamiento de la forma truncada para aplicarse en todas partes. El resultado es un medio hipotético. ^[9]
6. Por ejemplo, para un sistema de dipolos ideales con momento dipolar p confinado dentro de alguna superficie cerrada, la densidad dipolar p ( r ) es igual a p dentro de la superficie, pero es cero en el exterior. Es decir, la densidad dipolar incluye una función de paso de Heaviside que ubica los dipolos dentro de la superficie.
7. Se puede realizar una evaluación de fuerza bruta de la integral mediante una expansión multipolar:
   $${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}=\sum _{\ell ,\ m}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}{\frac {1}{r}}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{\ell }{Y^{*}}_{\ell }^{m}\left(\theta _{0},\ \phi _{0}\right)Y_{\ell }^{m}\left(\theta ,\ \phi \right).}$$
   ^[dieciséis]
8. Por ejemplo, una gota en un medio circundante experimenta un campo interno mayor o menor dependiendo de si el medio tiene una constante dieléctrica mayor o menor que la de la gota. ^[20]
9. Basado en ecuaciones de Andrew Gray, ^[24] que hace referencia a artículos de Sir W. Thomson.

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

• Momento dipolar eléctrico: del mundo de la física de Eric Weisstein
• Modelo multifísico dipolo electrostático ^{[ enlace muerto permanente ]}