Incertidumbre de medición

Factor de menor probabilidad en la medición

En metrología , la incertidumbre de medición es la expresión de la dispersión estadística de los valores atribuidos a una cantidad medida en una escala de intervalo o de razón .

Todas las mediciones están sujetas a incertidumbre y el resultado de una medición solo es completo cuando va acompañado de una declaración de la incertidumbre asociada, como la desviación estándar . Por acuerdo internacional, esta incertidumbre tiene una base probabilística y refleja un conocimiento incompleto del valor de la magnitud. Es un parámetro no negativo. ^[1]

La incertidumbre de la medición se suele tomar como la desviación estándar de una distribución de probabilidad del estado de conocimiento sobre los posibles valores que podrían atribuirse a una cantidad medida. La incertidumbre relativa es la incertidumbre de la medición relativa a la magnitud de una única opción particular para el valor de la cantidad medida, cuando esta opción es distinta de cero. Esta única opción particular suele denominarse valor medido, que puede ser óptimo en algún sentido bien definido (por ejemplo, una media , una mediana o una moda ). Por tanto, la incertidumbre de la medición relativa es la incertidumbre de la medición dividida por el valor absoluto del valor medido, cuando el valor medido no es cero.

Fondo

El objetivo de la medición es proporcionar información sobre una cantidad de interés: un mensurando. Los mensurandos en escalas de razón o de intervalo incluyen el tamaño de un elemento cilíndrico, el volumen de un recipiente, la diferencia de potencial entre los terminales de una batería o la concentración de masa de plomo en un frasco de agua.

Ninguna medida es exacta. Cuando se mide una cantidad, el resultado depende del sistema de medición, del procedimiento de medición, de la habilidad del operador, del entorno y de otros efectos. ^[2] Incluso si la cantidad se midiera varias veces, de la misma manera y en las mismas circunstancias, en general se obtendría un valor medido diferente cada vez, suponiendo que el sistema de medición tenga la resolución suficiente para distinguir entre los valores.

La dispersión de los valores medidos estaría relacionada con la calidad con la que se realiza la medición. Si se mide en una escala de proporción o de intervalo , su promedio proporcionaría una estimación del valor real de la cantidad que generalmente sería más confiable que un valor medido individual. La dispersión y el número de valores medidos proporcionarían información relacionada con el valor promedio como una estimación del valor real. Sin embargo, esta información generalmente no sería adecuada.

El sistema de medición puede proporcionar valores medidos que no están dispersos en torno al valor verdadero, sino en torno a algún valor desplazado respecto de él. Tomemos una báscula de baño doméstica. Supongamos que no está configurada para mostrar cero cuando no hay nadie en la báscula, sino para mostrar algún valor desplazado respecto de cero. Entonces, sin importar cuántas veces se vuelva a medir la masa de la persona, el efecto de este desplazamiento estaría presente inherentemente en el promedio de los valores.

La "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición" (conocida comúnmente como GUM) es el documento definitivo sobre este tema. La GUM ha sido adoptada por todos los principales Institutos Nacionales de Medición (INM) y por normas internacionales de acreditación de laboratorios como la ISO/IEC 17025 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y calibración , que se requiere para la acreditación internacional de laboratorios , y se emplea en la mayoría de las normas documentales nacionales e internacionales modernas sobre métodos y tecnología de medición. Véase Comité Conjunto para Guías en Metrología .

La incertidumbre de la medición tiene consecuencias económicas importantes para las actividades de calibración y medición. En los informes de calibración, la magnitud de la incertidumbre se toma a menudo como una indicación de la calidad del laboratorio, y los valores de incertidumbre más pequeños generalmente tienen un valor y un costo más altos. La Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos (ASME) ha elaborado un conjunto de normas que abordan varios aspectos de la incertidumbre de la medición. Por ejemplo, las normas ASME se utilizan para abordar el papel de la incertidumbre de la medición al aceptar o rechazar productos en función de un resultado de medición y una especificación del producto, ^[3] para proporcionar un enfoque simplificado (en relación con la GUM) para la evaluación de la incertidumbre de la medición dimensional, ^[4] para resolver desacuerdos sobre la magnitud de la declaración de incertidumbre de la medición, ^[5] y para proporcionar orientación sobre los riesgos involucrados en cualquier decisión de aceptación/rechazo de un producto. ^[6]

Medición indirecta

El análisis anterior se refiere a la medición directa de una cantidad, algo que, por cierto, ocurre raramente. Por ejemplo, la báscula de baño puede convertir la extensión medida de un resorte en una estimación del mensurando, la masa de la persona que se encuentra en la báscula. La relación particular entre la extensión y la masa está determinada por la calibración de la báscula. Un modelo de medición convierte un valor de cantidad en el valor correspondiente del mensurando.

En la práctica, existen muchos tipos de medición y, por lo tanto, muchos modelos. Un modelo de medición simple (por ejemplo, para una báscula, donde la masa es proporcional a la extensión del resorte) podría ser suficiente para el uso doméstico cotidiano. Alternativamente, un modelo más sofisticado de pesaje, que involucra efectos adicionales como la flotabilidad del aire , es capaz de brindar mejores resultados para fines industriales o científicos. En general, a menudo hay varias cantidades diferentes, por ejemplo, temperatura , humedad y desplazamiento , que contribuyen a la definición del mensurando y que deben medirse.

En el modelo de medición se deben incluir términos de corrección cuando las condiciones de medición no son exactamente las estipuladas. Estos términos corresponden a errores sistemáticos . Dada una estimación de un término de corrección, la cantidad relevante debe corregirse mediante esta estimación. Habrá una incertidumbre asociada con la estimación, incluso si la estimación es cero, como suele ser el caso. Los casos de errores sistemáticos surgen en la medición de altura, cuando la alineación del instrumento de medición no es perfectamente vertical y la temperatura ambiente es diferente de la prescrita. Ni la alineación del instrumento ni la temperatura ambiente se especifican con exactitud, pero se dispone de información sobre estos efectos; por ejemplo, la falta de alineación es como máximo de 0,001° y la temperatura ambiente en el momento de la medición difiere de la estipulada como máximo en 2 °C.

Además de los datos brutos que representan valores medidos, existe otro tipo de datos que se necesitan con frecuencia en un modelo de medición. Algunos de estos datos se relacionan con cantidades que representan constantes físicas , cada una de las cuales se conoce de manera imperfecta. Algunos ejemplos son las constantes de los materiales, como el módulo de elasticidad y el calor específico . A menudo hay otros datos relevantes que se proporcionan en libros de referencia, certificados de calibración, etc., que se consideran estimaciones de otras cantidades.

Los elementos que necesita un modelo de medición para definir un mensurando se conocen como magnitudes de entrada en un modelo de medición. El modelo se suele denominar relación funcional. La magnitud de salida en un modelo de medición es el mensurando.

Formalmente, la cantidad de salida, denotada por , sobre la cual se requiere información, a menudo se relaciona con las cantidades de entrada, denotadas por , sobre las cuales hay información disponible, mediante un modelo de medición en forma de ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$

${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N}),}$

donde se conoce como la función de medición. Una expresión general para un modelo de medición es ${\displaystyle f}$

${\displaystyle h(Y,}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N})=0.}$

Se supone que existe un procedimiento para calcular dado , y que está definido únicamente por esta ecuación. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y}$

Propagación de distribuciones

Los valores verdaderos de las cantidades de entrada son desconocidos. En el enfoque GUM, se caracterizan por distribuciones de probabilidad y se tratan matemáticamente como variables aleatorias . Estas distribuciones describen las probabilidades respectivas de sus valores verdaderos que se encuentran en diferentes intervalos y se asignan en función del conocimiento disponible sobre . A veces, algunas o todas las están interrelacionadas y las distribuciones relevantes, que se conocen como conjuntas , se aplican a estas cantidades tomadas en conjunto. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$

Considérense las estimaciones , respectivamente, de las magnitudes de entrada , obtenidas de certificados e informes, especificaciones de fabricantes, el análisis de datos de medición, etc. Las distribuciones de probabilidad que caracterizan se eligen de modo que las estimaciones , respectivamente, sean las expectativas ^[7] de . Además, para la magnitud de entrada , considérese una denominada incertidumbre estándar , dado el símbolo , definido como la desviación estándar ^[7] de la magnitud de entrada . Se dice que esta incertidumbre estándar está asociada con la estimación (correspondiente) . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u(x_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

El uso del conocimiento disponible para establecer una distribución de probabilidad para caracterizar cada cantidad de interés se aplica a y también a . En el último caso, la distribución de probabilidad que caracteriza para se determina mediante el modelo de medición junto con las distribuciones de probabilidad para . La determinación de la distribución de probabilidad para a partir de esta información se conoce como propagación de distribuciones . ^[7] ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y}$

La siguiente figura muestra un modelo de medición en el caso en que y se caracterizan cada uno por una distribución de probabilidad rectangular (diferente) o uniforme . tiene una distribución de probabilidad trapezoidal simétrica en este caso. ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$

Una función de medición aditiva con dos cantidades de entrada y caracterizada por distribuciones de probabilidad rectangulares ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Una vez que las magnitudes de entrada se han caracterizado mediante distribuciones de probabilidad apropiadas y se ha desarrollado el modelo de medición, la distribución de probabilidad para el mensurando se especifica completamente en términos de esta información. En particular, la expectativa de se utiliza como la estimación de , y la desviación estándar de como la incertidumbre estándar asociada con esta estimación. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

A menudo se requiere un intervalo que contenga una probabilidad especificada. Dicho intervalo, un intervalo de cobertura, se puede deducir de la distribución de probabilidad para . La probabilidad especificada se conoce como probabilidad de cobertura. Para una probabilidad de cobertura dada, hay más de un intervalo de cobertura. El intervalo de cobertura probabilísticamente simétrico es un intervalo para el cual las probabilidades (sumadas a uno menos la probabilidad de cobertura) de un valor a la izquierda y a la derecha del intervalo son iguales. El intervalo de cobertura más corto es un intervalo para el cual la longitud es menor en todos los intervalos de cobertura que tienen la misma probabilidad de cobertura. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

También se puede considerar el conocimiento previo sobre el valor real de la cantidad de salida . En el caso de la báscula de baño doméstica, el hecho de que la masa de la persona sea positiva y de que se esté midiendo la masa de una persona, en lugar de la de un automóvil, constituyen ambos conocimientos previos sobre los posibles valores del mensurando en este ejemplo. Esta información adicional se puede utilizar para proporcionar una distribución de probabilidad para que pueda dar una desviación estándar más pequeña para y, por lo tanto, una incertidumbre estándar más pequeña asociada con la estimación de . ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Evaluación de la incertidumbre tipo A y tipo B

El conocimiento sobre una magnitud de entrada se infiere a partir de valores medidos repetidos ("evaluación de incertidumbre de tipo A"), o del juicio científico u otra información relativa a los posibles valores de la magnitud ("evaluación de incertidumbre de tipo B"). ${\displaystyle X_{i}}$

En las evaluaciones de Tipo A de la incertidumbre de medición, a menudo se supone que la distribución que mejor describe una cantidad de entrada dados valores medidos repetidos de ella (obtenidos de forma independiente) es una distribución gaussiana . entonces tiene una expectativa igual al valor medido promedio y una desviación estándar igual a la desviación estándar del promedio. Cuando la incertidumbre se evalúa a partir de un pequeño número de valores medidos (considerados como instancias de una cantidad caracterizada por una distribución gaussiana), la distribución correspondiente puede tomarse como una distribución t . ^[11] Se aplican otras consideraciones cuando los valores medidos no se obtienen de forma independiente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Para una evaluación de incertidumbre de tipo B, a menudo la única información disponible es la que se encuentra en un intervalo especificado [ ]. En tal caso, el conocimiento de la cantidad se puede caracterizar mediante una distribución de probabilidad rectangular ^[11] con límites y . Si se dispusiera de información diferente, se utilizaría una distribución de probabilidad coherente con esa información. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Coeficientes de sensibilidad

Los coeficientes de sensibilidad describen cómo la estimación de se vería influenciada por pequeños cambios en las estimaciones de las cantidades de entrada . Para el modelo de medición , el coeficiente de sensibilidad es igual a la derivada parcial de primer orden de con respecto a evaluada en , , etc. Para un modelo de medición lineal ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{N}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{1}=x_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}=x_{2}}$

${\displaystyle Y=c_{1}X_{1}+\cdots +c_{N}X_{N},}$

con independiente, un cambio en igual a daría un cambio en Esta afirmación sería generalmente aproximada para los modelos de medición . Las magnitudes relativas de los términos son útiles para evaluar las respectivas contribuciones de las cantidades de entrada a la incertidumbre estándar asociada con . La incertidumbre estándar asociada con la estimación de la cantidad de salida no está dada por la suma de los , sino estos términos combinados en cuadratura, ^[1] es decir, por una expresión que es generalmente aproximada para los modelos de medición : ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle u(x_{i})}$ ${\displaystyle c_{i}u(x_{i})}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$ ${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$

${\displaystyle u^{2}(y)=c_{1}^{2}u^{2}(x_{1})+\cdots +c_{N}^{2}u^{2}(x_{N}),}$

que se conoce como la ley de propagación de la incertidumbre.

Cuando las cantidades de entrada contienen dependencias, la fórmula anterior se amplía con términos que contienen covarianzas , ^[1] que pueden aumentar o disminuir . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle u(y)}$

Evaluación de incertidumbre

Las etapas principales de la evaluación de la incertidumbre son la formulación y el cálculo, este último consiste en la propagación y el resumen. La etapa de formulación es

1. definir la cantidad de salida (el mensurando), ${\displaystyle Y}$
2. Identificar las cantidades de entrada de las que depende, ${\displaystyle Y}$
3. desarrollar un modelo de medición relacionado con las cantidades de entrada, y ${\displaystyle Y}$
4. sobre la base del conocimiento disponible, asignar distribuciones de probabilidad —gaussiana, rectangular, etc.— a las cantidades de entrada (o una distribución de probabilidad conjunta a aquellas cantidades de entrada que no sean independientes).

La etapa de cálculo consiste en propagar las distribuciones de probabilidad para las cantidades de entrada a través del modelo de medición para obtener la distribución de probabilidad para la cantidad de salida , y resumir utilizando esta distribución para obtener ${\displaystyle Y}$

1. la expectativa de , tomada como una estimación de , ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$
2. la desviación estándar de , tomada como la incertidumbre estándar asociada con , y ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$
3. un intervalo de cobertura que contiene una probabilidad de cobertura especificada. ${\displaystyle Y}$

La etapa de propagación de la evaluación de la incertidumbre se conoce como propagación de distribuciones, para lo cual existen varios enfoques disponibles, incluidos

1. el marco de incertidumbre GUM, que constituye la aplicación de la ley de propagación de la incertidumbre, y la caracterización de la cantidad de salida mediante una distribución gaussiana o una distribución α, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$
2. métodos analíticos, en los que se utiliza el análisis matemático para derivar una forma algebraica para la distribución de probabilidad para , y ${\displaystyle Y}$
3. un método de Monte Carlo , ^[7] en el que se establece numéricamente una aproximación a la función de distribución para haciendo extracciones aleatorias de las distribuciones de probabilidad para las cantidades de entrada y evaluando el modelo en los valores resultantes. ${\displaystyle Y}$

Para cualquier problema particular de evaluación de incertidumbre, se utiliza el enfoque 1), 2) o 3) (o algún otro enfoque), 1) siendo generalmente aproximado, 2) exacto y 3) proporcionando una solución con una precisión numérica que se puede controlar.

Modelos con cualquier número de cantidades de salida

Cuando el modelo de medición es multivariado, es decir, tiene cualquier número de cantidades de salida, los conceptos anteriores se pueden ampliar. ^[13] Las cantidades de salida ahora se describen mediante una distribución de probabilidad conjunta, el intervalo de cobertura se convierte en una región de cobertura, la ley de propagación de la incertidumbre tiene una generalización natural y está disponible un procedimiento de cálculo que implementa un método de Monte Carlo multivariado.

La incertidumbre como intervalo

La visión más común de la incertidumbre de la medición utiliza variables aleatorias como modelos matemáticos para cantidades inciertas y distribuciones de probabilidad simples como suficientes para representar incertidumbres de medición. Sin embargo, en algunas situaciones, un intervalo matemático podría ser un mejor modelo de incertidumbre que una distribución de probabilidad. Esto puede incluir situaciones que involucran mediciones periódicas, valores de datos agrupados , censura , límites de detección o rangos de mediciones más-menos donde no parece justificarse ninguna distribución de probabilidad particular o donde no se puede asumir que los errores entre mediciones individuales son completamente independientes. ^{[ cita requerida ]}

Una representación más robusta de la incertidumbre de la medición en tales casos se puede diseñar a partir de intervalos. ^{[14] [15]} Un intervalo [ a ,  b ] es diferente de una distribución de probabilidad rectangular o uniforme sobre el mismo rango en que esta última sugiere que el valor verdadero se encuentra dentro de la mitad derecha del rango [( a  +  b )/2,  b ] con probabilidad de la mitad, y dentro de cualquier subintervalo de [ a ,  b ] con probabilidad igual al ancho del subintervalo dividido por b  −  a . El intervalo no hace tales afirmaciones, excepto simplemente que la medición se encuentra en algún lugar dentro del intervalo. Las distribuciones de tales intervalos de medición se pueden resumir como cajas de probabilidad y estructuras de Dempster-Shafer sobre los números reales, que incorporan incertidumbres tanto aleatorias como epistémicas .

Véase también

• Precisión y exactitud
• Intervalo de confianza
• Análisis de incertidumbre experimental
• Historia de la medición
• Propagación de la incertidumbre
• Repetibilidad
• Identificación del conjunto
• Método de prueba
• Incertidumbre
• Cuantificación de la incertidumbre
• Variable aleatoria difusa

Referencias

1. JCGM 100:2008. Evaluación de datos de medición – Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición, Comité Conjunto para Guías en Metrología.
2. Bell, S. Guía de buenas prácticas de medición n.º 11. Guía para principiantes sobre la incertidumbre de la medición. Tech. rep., National Physical Laboratory, 1999.
3. ASME B89.7.3.1, Directrices para las reglas de decisión para determinar la conformidad con las especificaciones
4. ASME B89.7.3.2, Directrices para la evaluación de la incertidumbre de la medición dimensional
5. ASME B89.7.3.3, Directrices para evaluar la confiabilidad de las declaraciones de incertidumbre de medición dimensional
6. ASME B89.7.4, Incertidumbre de medición y pruebas de conformidad: análisis de riesgos
7. JCGM 101:2008. Evaluación de datos de medición – Suplemento 1 de la “Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición” – Propagación de distribuciones utilizando un método de Monte Carlo. Comité Conjunto para Guías en Metrología.
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9. Elster, Clemens (2007). "Cálculo de la incertidumbre en presencia de conocimiento previo". Metrologia . 44 (2): 111–116. Bibcode :2007Metro..44..111E. doi :10.1088/0026-1394/44/2/002. S2CID  123445853.
10. EURACHEM/CITAC. "Cuantificación de la incertidumbre en la medición analítica". Guía de informes técnicos CG4, EU-RACHEM/CITEC, Guía EURACHEM/CITAC, 2000. Segunda edición.
11. JCGM 104:2009. Evaluación de datos de medición. Introducción a la "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición" y documentos relacionados. Comité Conjunto de Guías en Metrología.
12. Weise, K.; Woger, W. (1993). "Una teoría bayesiana de la incertidumbre de la medición". Measurement Science and Technology . 4 (1): 1–11. Bibcode :1993MeScT...4....1W. doi :10.1088/0957-0233/4/1/001. S2CID  250751314.
13. Comité Conjunto de Guías en Metrología (2011). JCGM 102: Evaluación de datos de medición – Suplemento 2 de la "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición" – Extensión a cualquier número de magnitudes de salida (PDF) (Informe técnico). JCGM . Consultado el 13 de febrero de 2013 .
14. Manski, CF (2003); Identificación parcial de distribuciones de probabilidad , Springer Series in Statistics, Springer, Nueva York
15. Ferson, S., V. Kreinovich, J. Hajagos, W. Oberkampf y L. Ginzburg (2007); Estimación de incertidumbre experimental y estadísticas para datos con incertidumbre de intervalo, Sandia National Laboratories SAND 2007-0939

Lectura adicional

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• Cox, MG y Harris, PM SSfM Best Practice Guide No. 6, Uncertainty evaluation. Informe técnico DEM-ES-011, National Physical Laboratory, 2006.
• Ellison SLR, Williams A. (Eds). Guía Eurachem/CITAC: cuantificación de la incertidumbre en la medición analítica, tercera edición (2012), ISBN 978-0-948926-30-3. Disponible en www.eurachem.org.
• Grabe, M. Cálculo de error gaussiano generalizado, Springer 2010.
• EA. Expresión de la incertidumbre de medida en calibración. Informe técnico EA-4/02, Cooperación Europea para la Acreditación, 1999.
• Ferson, S.; Kreinovich, V.; Hajagos, J.; Oberkampf, W.; Ginzburg, L. (2007). "Estimación experimental de incertidumbre y estadísticas para datos con incertidumbre de intervalo" (PDF) .
• Lira., I. Evaluación de la incertidumbre de la medición. Fundamentos y orientación práctica. Instituto de Física, Bristol, Reino Unido, 2002.
• Majcen N., Taylor P. (Editores), Ejemplos prácticos sobre trazabilidad, incertidumbre de medición y validación en química, Vol 1, 2010; ISBN 978-92-79-12021-3 . 
• Possolo A y Iyer HK 2017 Conceptos y herramientas para la evaluación de la incertidumbre de medición Rev. Sci. Instrum.,88 011301 (2017).
• UKAS M3003 La expresión de incertidumbre y confianza en la medición (Edición 3, noviembre de 2012) UKAS
• Rouaud, M. (2013), Propagación de incertidumbres en la medición experimental (PDF) (edición corta)
• Da Silva, RB; Bulska, E.; Godlewska-Zylkiewicz, B.; Hedrich, M.; Majcen, N.; Magnusson, B.; Marincic, S.; Papadakis, I.; Patriarca, M.; Vassileva, E.; Taylor, P. (2012). Medición analítica: incertidumbre de medición y estadística . ISBN 978-92-79-23070-7.

Enlaces externos

• NPLUnc
• Estimación de la temperatura y su incertidumbre en sistemas pequeños, 2011.
• Introducción a la evaluación de la incertidumbre de la medición
• JCGM 200:2008. Vocabulario internacional de metrología: conceptos básicos y generales y términos asociados, 3.ª edición. Comité conjunto de guías en metrología.
• ISO 3534-1:2006. Estadística – Vocabulario y símbolos – Parte 1: Términos estadísticos generales y términos utilizados en probabilidad. ISO
• JCGM 106:2012. Evaluación de datos de medición – El papel de la incertidumbre de medición en la evaluación de la conformidad. Comité Conjunto de Guías en Metrología.
• NIST. Incertidumbre de los resultados de las mediciones.