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Análisis de decisiones de múltiples criterios

En este ejemplo, una empresa debería preferir el riesgo y los beneficios del producto B bajo coeficientes de preferencia de riesgo realistas.

La toma de decisiones con criterios múltiples ( MCDM , por sus siglas en inglés) o el análisis de decisiones con criterios múltiples ( MCDA , por sus siglas en inglés) es una subdisciplina de la investigación de operaciones que evalúa explícitamente múltiples criterios conflictivos en la toma de decisiones (tanto en la vida diaria como en entornos como los negocios, el gobierno y la medicina). También se conoce como teoría de la utilidad de atributos múltiples , teoría del valor de atributos múltiples , teoría de la preferencia de atributos múltiples y análisis de decisiones multiobjetivo .

Los criterios contradictorios son típicos en la evaluación de opciones: el costo o precio es generalmente uno de los criterios principales, y alguna medida de calidad es típicamente otro criterio, fácilmente en conflicto con el costo. Al comprar un automóvil, el costo, la comodidad, la seguridad y el ahorro de combustible pueden ser algunos de los criterios principales que consideramos: es inusual que el automóvil más barato sea el más cómodo y el más seguro. En la gestión de carteras , los gerentes están interesados ​​en obtener altos rendimientos al mismo tiempo que reducen los riesgos; sin embargo, las acciones que tienen el potencial de generar altos rendimientos generalmente conllevan un alto riesgo de perder dinero. En una industria de servicios, la satisfacción del cliente y el costo de proporcionar el servicio son criterios fundamentalmente conflictivos.

En su vida diaria, las personas suelen sopesar múltiples criterios de manera implícita y pueden sentirse cómodas con las consecuencias de tales decisiones que se toman basándose únicamente en la intuición . [1] Por otro lado, cuando hay mucho en juego, es importante estructurar adecuadamente el problema y evaluar explícitamente múltiples criterios. [2] Al tomar la decisión de construir o no una planta de energía nuclear, y dónde construirla, no solo hay cuestiones muy complejas que involucran múltiples criterios, sino que también hay múltiples partes que se ven profundamente afectadas por las consecuencias.

La estructuración adecuada de problemas complejos y la consideración explícita de múltiples criterios permiten tomar decisiones más fundamentadas y mejores. Se han producido avances importantes en este campo desde el inicio de la moderna disciplina de toma de decisiones con múltiples criterios a principios de los años 1960. Se han desarrollado diversos enfoques y métodos, muchos de ellos implementados mediante software especializado de toma de decisiones [3] [4] , para su aplicación en una variedad de disciplinas, que van desde la política y los negocios hasta el medio ambiente y la energía. [5]

Fundamentos, conceptos, definiciones

MCDM o MCDA son las siglas en inglés de toma de decisiones con múltiples criterios y análisis de decisiones con múltiples criterios . Stanley Zionts contribuyó a popularizar el acrónimo con su artículo de 1979 "MCDM – If not a Roman Numeral, then What?", destinado a un público emprendedor.

El MCDM se ocupa de la estructuración y solución de problemas de decisión y planificación que involucran múltiples criterios. El propósito es apoyar a los tomadores de decisiones que enfrentan tales problemas. Por lo general, no existe una solución óptima única para tales problemas y es necesario utilizar las preferencias de los tomadores de decisiones para diferenciar entre soluciones.

El término “resolver” puede interpretarse de distintas maneras. Podría corresponder a elegir la “mejor” alternativa de un conjunto de alternativas disponibles (donde “mejor” puede interpretarse como “la alternativa más preferida” por un decisor). Otra interpretación de “resolver” podría ser elegir un pequeño conjunto de buenas alternativas, o agrupar alternativas en diferentes conjuntos de preferencias. Una interpretación extrema podría ser encontrar todas las alternativas “eficientes” o “ no dominadas ” (que definiremos en breve).

La dificultad del problema se origina en la presencia de más de un criterio. Ya no existe una única solución óptima para un problema MCDM que pueda obtenerse sin incorporar información sobre las preferencias. El concepto de solución óptima suele sustituirse por el de conjunto de soluciones no dominadas. Una solución se denomina no dominada si no es posible mejorarla en ningún criterio sin sacrificarla en otro. Por lo tanto, tiene sentido que el responsable de la toma de decisiones elija una solución del conjunto no dominado. De lo contrario, podría obtener mejores resultados en algunos o todos los criterios, y no peores resultados en ninguno de ellos. Sin embargo, por lo general, el conjunto de soluciones no dominadas es demasiado grande para presentárselo al responsable de la toma de decisiones para que tome la decisión final. Por lo tanto, necesitamos herramientas que ayuden al responsable de la toma de decisiones a centrarse en las soluciones (o alternativas) preferidas. Normalmente, uno tiene que "intercambiar" ciertos criterios por otros.

La MCDM ha sido un área activa de investigación desde la década de 1970. Existen varias organizaciones relacionadas con la MCDM, entre ellas la Sociedad Internacional de Toma de Decisiones Multicriterio [6] , el Grupo de Trabajo Europeo sobre MCDA [7] y la Sección INFORMS sobre MCDM. [8] Para conocer su historia, consulte: Köksalan, Wallenius y Zionts (2011). [9] La MCDM se basa en el conocimiento de muchos campos, entre ellos:

Una tipología

Existen diferentes clasificaciones de problemas y métodos MCDM. Una distinción importante entre los problemas MCDM se basa en si las soluciones están definidas explícita o implícitamente.

Ya sea que se trate de un problema de evaluación o de un problema de diseño, se requiere información de preferencias de los DM para poder diferenciar entre soluciones. Los métodos de solución para problemas MCDM se clasifican comúnmente en función del momento en que se obtiene la información de preferencias del DM.

Existen métodos que requieren la información de preferencias del DM al inicio del proceso, transformando el problema en un problema de criterio único. Se dice que estos métodos funcionan mediante la "articulación previa de las preferencias". Los métodos basados ​​en la estimación de una función de valor o en el uso del concepto de "relaciones de clasificación superior", el proceso de jerarquía analítica y algunos métodos de decisión basados ​​en reglas intentan resolver problemas de evaluación de criterios múltiples utilizando la articulación previa de las preferencias. De manera similar, existen métodos desarrollados para resolver problemas de diseño de criterios múltiples utilizando la articulación previa de las preferencias mediante la construcción de una función de valor. Quizás el más conocido de estos métodos sea la programación por objetivos. Una vez construida la función de valor, se resuelve el programa matemático de objetivo único resultante para obtener una solución preferida.

Algunos métodos requieren información de preferencias del DM durante todo el proceso de solución. Estos se conocen como métodos interactivos o métodos que requieren una "articulación progresiva de las preferencias". Estos métodos han sido bien desarrollados tanto para la evaluación de criterios múltiples (véase, por ejemplo, Geoffrion, Dyer y Feinberg, 1972, [11] y Köksalan y Sagala, 1995 [12] ) como para problemas de diseño (véase Steuer, 1986 [13] ).

Los problemas de diseño de criterios múltiples suelen requerir la solución de una serie de modelos de programación matemática para revelar soluciones definidas implícitamente. Para estos problemas, también puede ser de interés una representación o aproximación de "soluciones eficientes". Esta categoría se conoce como "articulación posterior de preferencias", lo que implica que la participación del DM comienza con posterioridad a la revelación explícita de soluciones "interesantes" (véase, por ejemplo, Karasakal y Köksalan, 2009 [14] ).

Cuando los modelos de programación matemática contienen variables enteras, los problemas de diseño se vuelven más difíciles de resolver. La optimización combinatoria multiobjetivo (MOCO) constituye una categoría especial de este tipo de problemas que plantean una dificultad computacional sustancial (véase Ehrgott y Gandibleux, [15] 2002, para una revisión).

Representaciones y definiciones

El problema MCDM se puede representar en el espacio de criterios o en el espacio de decisiones. Alternativamente, si se combinan diferentes criterios mediante una función lineal ponderada, también es posible representar el problema en el espacio de ponderaciones. A continuación se presentan las demostraciones de los espacios de criterios y ponderaciones, así como algunas definiciones formales.

Representación del espacio de criterios

Supongamos que evaluamos soluciones en una situación problemática específica utilizando varios criterios. Supongamos además que cuanto más, mejor en cada criterio. Entonces, entre todas las soluciones posibles, nos interesan idealmente aquellas que funcionan bien en todos los criterios considerados. Sin embargo, es poco probable que tengamos una única solución que funcione bien en todos los criterios considerados. Por lo general, algunas soluciones funcionan bien en algunos criterios y otras en otros. Encontrar una forma de equilibrar los criterios es uno de los principales esfuerzos en la literatura sobre MCDM.

Matemáticamente, el problema MCDM correspondiente a los argumentos anteriores se puede representar como

"máximo" q
sujeto a
q ∈ Q

donde q es el vector de k funciones criterio (funciones objetivo) y Q es el conjunto factible, Q ⊆ R k .

Si Q se define explícitamente (mediante un conjunto de alternativas), el problema resultante se denomina problema de evaluación de criterios múltiples.

Si Q se define implícitamente (mediante un conjunto de restricciones), el problema resultante se denomina problema de diseño de criterios múltiples.

Las comillas se utilizan para indicar que la maximización de un vector no es una operación matemática bien definida. Esto corresponde al argumento de que tendremos que encontrar una forma de resolver el equilibrio entre criterios (normalmente basados ​​en las preferencias de un decisor) cuando no existe una solución que funcione bien en todos los criterios.

Representación del espacio de decisión

El espacio de decisión corresponde al conjunto de decisiones posibles que tenemos a nuestra disposición. Los valores de los criterios serán consecuencias de las decisiones que tomemos. Por lo tanto, podemos definir un problema correspondiente en el espacio de decisión. Por ejemplo, al diseñar un producto, decidimos los parámetros de diseño (variables de decisión), cada uno de los cuales afecta a las medidas de rendimiento (criterios) con los que evaluamos nuestro producto.

Matemáticamente, un problema de diseño de criterios múltiples se puede representar en el espacio de decisión de la siguiente manera:

donde X es el conjunto factible y x es el vector de variable de decisión de tamaño n.

Un caso especial bien desarrollado se obtiene cuando X es un poliedro definido por desigualdades e igualdades lineales. Si todas las funciones objetivo son lineales en términos de las variables de decisión, esta variación conduce a la programación lineal de objetivos múltiples (MOLP), una subclase importante de los problemas MCDM.

Existen varias definiciones que son fundamentales en MCDM. Dos definiciones estrechamente relacionadas son las de no dominancia (definida en función de la representación del espacio de criterios) y eficiencia (definida en función de la representación de la variable de decisión).

Definición 1. q* ∈ Q es no dominado si no existe otro q ∈ Q tal que q ≥ q* y q ≠ q* .

En términos generales, una solución es no dominada siempre que no sea inferior a ninguna otra solución disponible en todos los criterios considerados.

Definición 2. x* ∈ X es eficiente si no existe otro x ∈ X tal que f ( x ) ≥ f ( x *) y f ( x ) ≠ f ( x *) .

Si un problema MCDM representa bien una situación de decisión, entonces la solución más preferida de un DM tiene que ser una solución eficiente en el espacio de decisión, y su imagen es un punto no dominado en el espacio de criterios. Las siguientes definiciones también son importantes.

Definición 3. q* ∈ Q es débilmente no dominado si no existe otro q ∈ Q tal que q > q* .

Definición 4. x* ∈ X es débilmente eficiente si no existe otro x ∈ X tal que f ( x ) > f ( x *) .

Los puntos débilmente no dominados incluyen todos los puntos no dominados y algunos puntos dominados especiales. La importancia de estos puntos dominados especiales proviene del hecho de que aparecen comúnmente en la práctica y es necesario tener especial cuidado para distinguirlos de los puntos no dominados. Si, por ejemplo, maximizamos un único objetivo, podemos terminar con un punto débilmente no dominado que esté dominado. Los puntos dominados del conjunto débilmente no dominado se ubican en planos verticales u horizontales (hiperplanos) en el espacio de criterios.

Punto ideal : (en el espacio de criterios) representa lo mejor (el máximo para problemas de maximización y el mínimo para problemas de minimización) de cada función objetivo y normalmente corresponde a una solución inviable.

Punto nadir : (en el espacio de criterios) representa lo peor (el mínimo para problemas de maximización y el máximo para problemas de minimización) de cada función objetivo entre los puntos del conjunto no dominado y normalmente es un punto dominado.

El punto ideal y el punto nadir son útiles para que el DM pueda "tener una idea" del rango de soluciones (aunque no es sencillo encontrar el punto nadir para problemas de diseño que tienen más de dos criterios).

Ilustraciones de los espacios de decisión y criterio

El siguiente problema MOLP de dos variables en el espacio de variables de decisión ayudará a demostrar algunos de los conceptos clave gráficamente.

Figura 1. Demostración del espacio de decisión

En la Figura 1, los puntos extremos "e" y "b" maximizan el primer y segundo objetivo, respectivamente. El límite rojo entre esos dos puntos extremos representa el conjunto eficiente. Se puede ver en la figura que, para cualquier solución factible fuera del conjunto eficiente, es posible mejorar ambos objetivos en algunos puntos del conjunto eficiente. Por el contrario, para cualquier punto del conjunto eficiente, no es posible mejorar ambos objetivos pasando a cualquier otra solución factible. En estas soluciones, uno tiene que sacrificar uno de los objetivos para mejorar el otro objetivo.

Debido a su simplicidad, el problema anterior se puede representar en el espacio de criterios reemplazando las x por las f de la siguiente manera:

Figura 2. Demostración de las soluciones en el espacio de criterios
Máximo f 1
Máximo f 2
sujeto a
f1 + 2f2≤12​​​
2 f 1 + f 2 ≤ 12
f1 + f2≤7​​​
f1 – f2 ≤ 9​
− f1 + f2 ≤ 9​
f1 + 2f2 ≥ 0​
2 f 1 + f 2 ≥ 0

En la Figura 2 presentamos gráficamente el espacio de criterios. Es más fácil detectar los puntos no dominados (que corresponden a soluciones eficientes en el espacio de decisión) en el espacio de criterios. La región noreste del espacio factible constituye el conjunto de puntos no dominados (para problemas de maximización).

Generando soluciones no dominadas

Existen varias formas de generar soluciones no dominadas. Analizaremos dos de ellas. El primer enfoque puede generar una clase especial de soluciones no dominadas, mientras que el segundo enfoque puede generar cualquier solución no dominada.

Si combinamos los criterios múltiples en un único criterio multiplicando cada criterio por un peso positivo y sumando los criterios ponderados, entonces la solución al problema de criterio único resultante es una solución eficiente especial. Estas soluciones eficientes especiales aparecen en los puntos de esquina del conjunto de soluciones disponibles. Las soluciones eficientes que no están en los puntos de esquina tienen características especiales y este método no es capaz de encontrar dichos puntos. Matemáticamente, podemos representar esta situación como

máx w T . q = w T . f(x) , w > 0
sujeto a
x ∈ X

Al variar los pesos, se pueden utilizar sumas ponderadas para generar soluciones de puntos extremos eficientes para problemas de diseño y puntos soportados (convexos no dominados) para problemas de evaluación.

Figura 3. Proyección de puntos sobre el conjunto no dominado con una función escalarizadora de logros

Las funciones de escalarización de logros también combinan múltiples criterios en un único criterio al ponderarlos de una manera muy especial. Crean contornos rectangulares que se alejan de un punto de referencia hacia las soluciones eficientes disponibles. Esta estructura especial permite que las funciones de escalarización de logros alcancen cualquier solución eficiente. Esta es una propiedad poderosa que hace que estas funciones sean muy útiles para los problemas MCDM.

Matemáticamente, podemos representar el problema correspondiente como

Mín s ( g, q, w, ρ ) = Mín {máx i [( g i − q i )/ w i ] + ρ Σ i ( g i − q i ) },
sujeto a
q ∈ Q

La función escalarizadora de logros se puede utilizar para proyectar cualquier punto (factible o infactible) en la frontera eficiente. Se puede alcanzar cualquier punto (apoyado o no). El segundo término en la función objetivo es necesario para evitar generar soluciones ineficientes. La Figura 3 demuestra cómo un punto factible, g 1 , y un punto infactible, g 2 , se proyectan sobre los puntos no dominados, q 1 y q 2 , respectivamente, a lo largo de la dirección w utilizando una función escalarizadora de logros. Los contornos discontinuos y sólidos corresponden a los contornos de la función objetivo con y sin el segundo término de la función objetivo, respectivamente.

Solución de problemas de MCDM

Se han desarrollado diferentes escuelas de pensamiento para resolver problemas MCDM (tanto de diseño como de evaluación). Para un estudio bibliométrico que muestra su desarrollo a lo largo del tiempo, véase Bragge, Korhonen, H. Wallenius y J. Wallenius [2010]. [18]

Escuela de programación matemática de objetivos múltiples

(1) Maximización vectorial : El propósito de la maximización vectorial es aproximar el conjunto no dominado; desarrollado originalmente para problemas de programación lineal de objetivos múltiples (Evans y Steuer, 1973; [19] Yu y Zeleny, 1975 [20] ).

(2) Programación interactiva : Las fases de cálculo se alternan con las fases de toma de decisiones (Benayoun et al., 1971; [21] Geoffrion, Dyer y Feinberg, 1972; [22] Zionts y Wallenius, 1976; [23] Korhonen y Wallenius, 1988 [24] ). No se supone ningún conocimiento explícito de la función de valor del DM.

Escuela de programación de objetivos

El objetivo es establecer valores objetivo a priori para los objetivos y minimizar las desviaciones ponderadas con respecto a estos objetivos. Se han utilizado tanto pesos de importancia como pesos preferentes lexicográficos (Charnes y Cooper, 1961 [25] ).

Teóricos de conjuntos difusos

Los conjuntos difusos fueron introducidos por Zadeh (1965) [26] como una extensión de la noción clásica de conjuntos. Esta idea se utiliza en muchos algoritmos MCDM para modelar y resolver problemas difusos.

Métodos basados ​​en datos ordinales

Los datos ordinales tienen una amplia aplicación en situaciones del mundo real. En este sentido, algunos métodos MCDM fueron diseñados para manejar datos ordinales como datos de entrada. Por ejemplo, el Enfoque de Prioridad Ordinal y el método Qualiflex.

Teóricos de la utilidad multiatributo

Se obtienen funciones de utilidad o valor de múltiples atributos y se utilizan para identificar la alternativa más preferida o para clasificar las alternativas. Se pueden utilizar técnicas de entrevista elaboradas, que existen para obtener funciones de utilidad aditivas lineales y funciones de utilidad no lineales multiplicativas (Keeney y Raiffa, 1976 [27] ). Otro enfoque es obtener funciones de valor indirectamente al formularle al tomador de decisiones una serie de preguntas de clasificación por pares que implican elegir entre alternativas hipotéticas ( método PAPRIKA ; Hansen y Ombler, 2008 [28] ).

Escuela francesa

La escuela francesa se centra en la ayuda a la toma de decisiones, en particular en la familia ELECTRE de métodos de clasificación que se originaron en Francia a mediados de la década de 1960. El método fue propuesto por primera vez por Bernard Roy (Roy, 1968 [29] ).

Escuela de optimización multiobjetivo evolutiva (EMO)

Los algoritmos EMO comienzan con una población inicial y la actualizan mediante procesos diseñados para imitar los principios naturales de supervivencia del más apto y los operadores de variación genética para mejorar la población promedio de una generación a la siguiente. El objetivo es converger a una población de soluciones que representen el conjunto no dominado (Schaffer, 1984; [30] Srinivas y Deb, 1994 [31] ). Más recientemente, existen esfuerzos para incorporar información de preferencias en el proceso de solución de los algoritmos EMO (ver Deb y Köksalan, 2010 [32] ).

Métodos basados ​​en la teoría de sistemas grises

En la década de 1980, Deng Julong propuso la teoría de sistemas grises (GST) y su primer modelo de toma de decisiones de atributos múltiples, llamado modelo de análisis relacional gris (GRA) de Deng. Más tarde, los estudiosos de los sistemas grises propusieron muchos métodos basados ​​en la GST , como el modelo GRA absoluto de Liu Sifeng [33], la toma de decisiones objetivo gris (GTDM) [34] y el análisis de decisiones absoluto gris (GADA). [35]

Proceso de jerarquía analítica (AHP)

El AHP primero descompone el problema de decisión en una jerarquía de subproblemas. Luego, el decisor evalúa la importancia relativa de sus diversos elementos mediante comparaciones por pares. El AHP convierte estas evaluaciones en valores numéricos (pesos o prioridades), que se utilizan para calcular una puntuación para cada alternativa (Saaty, 1980 [36] ). Un índice de consistencia mide el grado en que el decisor ha sido consistente en sus respuestas. El AHP es una de las técnicas más controvertidas que se enumeran aquí, y algunos investigadores de la comunidad MCDA creen que tiene fallas. [37] [38]

Varios artículos revisaron la aplicación de técnicas MCDM en varias disciplinas como MCDM difuso, [39] MCDM clásico, [40] energía sustentable y renovable, [41] técnica VIKOR, [42] sistemas de transporte, [43] calidad del servicio, [44] método TOPSIS, [45] problemas de gestión energética, [46] e-learning, [47] turismo y hospitalidad, [48] métodos SWARA y WASPAS. [49]

Métodos MCDM

Están disponibles los siguientes métodos MCDM, muchos de los cuales se implementan mediante software especializado de toma de decisiones : [3] [4]

Véase también

Referencias

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