Imagen de interacción

Vista de la mecánica cuántica.

En mecánica cuántica , la imagen de interacción (también conocida como representación de interacción o imagen de Dirac en honor a Paul Dirac , quien la introdujo) ^{[1] [2]} es una representación intermedia entre la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg . Mientras que en las otras dos imágenes el vector de estado o los operadores tienen dependencia del tiempo, en la imagen de interacción ambos tienen parte de la dependencia del tiempo de los observables . ^[3] La imagen de interacción es útil para abordar cambios en las funciones de onda y observables debido a interacciones. La mayoría de los cálculos de teoría de campos ^[4] utilizan la representación de interacción porque construyen la solución de la ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos como la solución del problema de las partículas libres más algunas partes de interacción desconocidas.

Las ecuaciones que incluyen operadores que actúan en diferentes momentos, que se cumplen en la imagen de interacción, no necesariamente se cumplen en la imagen de Schrödinger o Heisenberg. Esto se debe a que las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan a los operadores de una imagen con los operadores análogos de las demás.

La imagen de interacción es un caso especial de transformación unitaria aplicada a los vectores hamiltonianos y de estado.

Definición

Los operadores y vectores de estado en la imagen de interacción están relacionados mediante un cambio de base ( transformación unitaria ) con esos mismos operadores y vectores de estado en la imagen de Schrödinger.

Para pasar a la imagen de interacción, dividimos la imagen hamiltoniana de Schrödinger en dos partes:

${\displaystyle H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}.}$

Cualquier posible elección de piezas producirá una imagen de interacción válida; pero para que la imagen de interacción sea útil para simplificar el análisis de un problema, las partes normalmente se elegirán de modo que H _0,S sea bien comprendido y tenga solución exacta, mientras que H _1,S contenga alguna perturbación más difícil de analizar. a este sistema.

Si el hamiltoniano tiene una dependencia explícita del tiempo (por ejemplo, si el sistema cuántico interactúa con un campo eléctrico externo aplicado que varía en el tiempo), normalmente será ventajoso incluir los términos explícitamente dependientes del tiempo con H _1,S , dejando H _0,S independiente del tiempo. Procedemos asumiendo que este es el caso. Si hay un contexto en el que tiene sentido que H _0,S sea dependiente del tiempo, entonces se puede proceder reemplazando por el operador de evolución temporal correspondiente en las definiciones siguientes. ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}$

Vectores de estado

Sea el vector de estado dependiente del tiempo en la imagen de Schrödinger. Un vector de estado en la imagen de interacción, , se define con una transformación unitaria adicional dependiente del tiempo. ^[5] ${\displaystyle |\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle }$

${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\text{e}}^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle .}$

Operadores

Un operador en la imagen de interacción se define como

${\displaystyle A_{\text{I}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.}$

Tenga en cuenta que A _S ( t ) normalmente no dependerá de t y puede reescribirse simplemente como A _S . Sólo depende de t si el operador tiene una "dependencia explícita del tiempo", por ejemplo, debido a su dependencia de un campo eléctrico externo aplicado variable en el tiempo. Otro ejemplo de dependencia temporal explícita puede ocurrir cuando A _S ( t ) es una matriz de densidad (ver más abajo).

operador hamiltoniano

Para el propio operador, la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger coinciden: ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.}$

Esto se ve fácilmente por el hecho de que los operadores conmutan con funciones diferenciables de ellos mismos. Entonces se puede llamar a este operador en particular sin ambigüedad. ${\displaystyle H_{0}}$

Sin embargo, para la perturbación hamiltoniana , ${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}}$

${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },}$

donde la perturbación de la imagen de interacción hamiltoniana se convierte en un hamiltoniano dependiente del tiempo, a menos que [ H _1,S , H _0,S ] = 0.

También es posible obtener la imagen de interacción para un hamiltoniano H _0,S ( t ) dependiente del tiempo, pero los exponenciales deben ser reemplazados por el propagador unitario para la evolución generada por H _0,S ( t ), o más. explícitamente con una integral exponencial ordenada en el tiempo.

Matriz de densidad

Se puede mostrar que la matriz de densidad se transforma en la imagen de interacción de la misma manera que cualquier otro operador. En particular, sean ρ _I y ρ _S las matrices de densidad en la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger, respectivamente. Si existe probabilidad p _n de estar en el estado físico | ψ _norte ⟩, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}}$

Evolución del tiempo

Evolución temporal de los estados.

Transformar la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción da

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,}$

que establece que en la imagen de interacción, la parte de interacción del hamiltoniano evoluciona un estado cuántico como se expresa en la imagen de interacción. ^[6] Fetter y Walecka dan una prueba. ^[7]

Evolución temporal de los operadores.

Si el operador A _S es independiente del tiempo (es decir, no tiene una "dependencia temporal explícita"; ver arriba), entonces la evolución temporal correspondiente para A _I ( t ) viene dada por

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].}$

En el cuadro de interacción los operadores evolucionan en el tiempo como los operadores del cuadro de Heisenberg con el hamiltoniano H ' = H ₀ .

Evolución temporal de la matriz de densidad.

La evolución de la matriz de densidad en la imagen de interacción es

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}$

en coherencia con la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción.

Valores esperados

Para un operador general , el valor esperado en la imagen de interacción viene dado por ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .}$

Usando la expresión de matriz de densidad para el valor esperado, obtendremos

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.}$

Ecuación de Schwinger-Tomonaga

El término representación de interacción fue inventado por Schwinger. ^{[8] [9]} En esta nueva representación mixta el vector de estado ya no es constante en general, pero lo es si no hay acoplamiento entre campos. El cambio de representación conduce directamente a la ecuación de Tomonaga-Schwinger: ^{[10] [9]}

${\displaystyle ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )}$

${\displaystyle {\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)}$

Donde el hamiltoniano en este caso es el hamiltoniano de interacción QED, pero también puede ser una interacción genérica y es una superficie espacial que pasa por el punto . La derivada representa formalmente una variación sobre esa superficie dada fija. Es difícil dar una interpretación matemática formal precisa de esta ecuación. ^[11] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Schwinger denomina a este enfoque enfoque "diferencial y de campo", a diferencia del enfoque "integral y de partículas" de los diagramas de Feynman. ^{[ cita necesaria ]}

La idea central es que si la interacción tiene una constante de acoplamiento pequeña (es decir, en el caso de electromagnetismo del orden de la constante de estructura fina), los términos perturbativos sucesivos serán potencias de la constante de acoplamiento y, por lo tanto, más pequeños. ^[12]

Usar

El propósito de la imagen de interacción es desviar toda la dependencia temporal debida a H ₀ hacia los operadores, permitiéndoles así evolucionar libremente y dejando solo H _1,I para controlar la evolución temporal de los vectores de estado.

La imagen de interacción es conveniente cuando se considera el efecto de un pequeño término de interacción, H _1,S , que se agrega al hamiltoniano de un sistema resuelto, H _0,S . Al utilizar la imagen de interacción, se puede utilizar la teoría de la perturbación dependiente del tiempo para encontrar el efecto de H _1,I , ^{[13] : 355ff} , por ejemplo, en la derivación de la regla de oro de Fermi , ^{[13] : 359–363} o la serie de Dyson . ^{[13] : 355–357} en teoría cuántica de campos : en 1947, Shin'ichirō Tomonaga y Julian Schwinger apreciaron que la teoría de la perturbación covariante podía formularse elegantemente en el cuadro de interacción, ya que los operadores de campo pueden evolucionar en el tiempo como campos libres, incluso en el presencia de interacciones, ahora tratadas de manera perturbativa en una serie de Dyson de este tipo.

Comparación resumida de la evolución en todas las imágenes.

Para un hamiltoniano H _S independiente del tiempo , donde H _0,S es el hamiltoniano libre,

Referencias

1. Pato, Ian; Sudarshan, ECG (1998). "Capítulo 6: La invención de Dirac de la teoría cuántica de campos". Pauli y el teorema de la estadística de espín. Publicaciones científicas mundiales. págs. 149-167. ISBN 978-9810231149.
2. https://courses.physics.illinois.edu/phys580/fa2013/interaction.pdf
3. Alberto Mesías (1966). Mecánica cuántica , Holanda Septentrional, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244 ; JJ Sakurai (1994). Mecánica cuántica moderna (Addison-Wesley) ISBN 9780201539295 .  
4. JW Negele, H. Orland (1988), Sistemas cuánticos de muchas partículas, ISBN 0738200522 . 
5. The Interaction Picture, apuntes de conferencias de la Universidad de Nueva York.
6. Teoría cuántica de campos para el aficionado superdotado, Capítulo 18: para aquellos que vieron que esto se llamaba ecuación de Schwinger-Tomonaga, esta no es la ecuación de Schwinger-Tomonaga. Ésta es una generalización de la ecuación de Schrödinger a foliaciones arbitrarias del espacio-tiempo.
7. Grillete, Alexander L.; Walecka, John Dirk (1971). Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas. McGraw-Hill. pag. 55.ISBN _ 978-0-07-020653-3.
8. Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, p. 151, ISBN 0-486-60444-6
9. Schwinger, J. (1948), "Electrodinámica cuántica. I. Una formulación covariante", Physical Review , 74 (10): 1439–1461, Bibcode :1948PhRv...74.1439S, doi :10.1103/PhysRev.74.1439
10. Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, p. 151.163.170.276, ISBN 0-486-60444-6
11. Wakita, Hitoshi (1976), "Integración de la ecuación de Tomonaga-Schwinger", Comunicaciones en física matemática , 50 (1): 61–68, Bibcode :1976CMaPh..50...61W, doi :10.1007/BF01608555, S2CID  122590381
12. Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, p. 152, ISBN 0-486-60444-6
13. Sakurai, JJ; Napolitano, Jim (2010), Mecánica cuántica moderna (2ª ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0805382914

Otras lecturas

• LD Landau ; EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista. vol. 3 (3ª ed.). Prensa de Pérgamo . ISBN 978-0-08-020940-1.
• Townsend, John S. (2000). Un enfoque moderno de la mecánica cuántica (2ª ed.). Sausalito, California: Libros de ciencias universitarias. ISBN 1-891389-13-0.

Ver también

• Notación bra-ket
• ecuación de Schrödinger
• teorema de haag