En dinámica de fluidos , la estabilidad hidrodinámica es el campo que analiza la estabilidad y la aparición de inestabilidad de los flujos de fluidos . El estudio de la estabilidad hidrodinámica tiene como objetivo descubrir si un flujo determinado es estable o inestable y, en caso afirmativo, cómo estas inestabilidades provocarán el desarrollo de turbulencias . [1] Las bases de la estabilidad hidrodinámica, tanto teórica como experimental, fueron sentadas sobre todo por Helmholtz , Kelvin , Rayleigh y Reynolds durante el siglo XIX. [1] Estos fundamentos han proporcionado muchas herramientas útiles para estudiar la estabilidad hidrodinámica. Estos incluyen el número de Reynolds , las ecuaciones de Euler y las ecuaciones de Navier-Stokes . Al estudiar la estabilidad del flujo, es útil comprender sistemas más simplistas, por ejemplo, fluidos incompresibles y no viscosos que luego pueden desarrollarse aún más en flujos más complejos. [1] Desde la década de 1980, se están utilizando más métodos computacionales para modelar y analizar los flujos más complejos.
Para distinguir entre los diferentes estados del flujo de fluido se debe considerar cómo reacciona el fluido ante una perturbación en el estado inicial. [2] Estas perturbaciones se relacionarán con las propiedades iniciales del sistema, como la velocidad , la presión y la densidad . James Clerk Maxwell expresó muy bien el concepto cualitativo de flujo estable e inestable cuando dijo: [1]
"Cuando una variación infinitamente pequeña del estado presente altera sólo en una cantidad infinitamente pequeña el estado en algún momento futuro, se dice que la condición del sistema, ya sea en reposo o en movimiento, es estable, pero cuando una variación infinitamente pequeña del estado actual altera sólo en una cantidad infinitamente pequeña el estado en algún momento futuro, se dice que la condición del sistema, ya sea en reposo o en movimiento, es estable el estado actual puede provocar una diferencia finita en el estado del sistema en un tiempo finito, se dice que el sistema es inestable".
Eso significa que para un flujo estable , cualquier variación infinitamente pequeña, que se considere una perturbación, no tendrá ningún efecto perceptible en el estado inicial del sistema y eventualmente desaparecerá con el tiempo. [2] Para que un flujo de fluido se considere estable debe ser estable con respecto a todas las posibles perturbaciones. Esto implica que no existe ningún modo de perturbación por el cual sea inestable. [1]
Por otro lado, para un flujo inestable , cualquier variación tendrá algún efecto notable en el estado del sistema que luego provocará que la perturbación crezca en amplitud de tal manera que el sistema se aleje progresivamente del estado inicial y nunca regrese al estado inicial. él. [2] Esto significa que hay al menos un modo de perturbación con respecto al cual el flujo es inestable y, por lo tanto, la perturbación distorsionará el equilibrio de fuerzas existente. [3]
Una herramienta clave utilizada para determinar la estabilidad de un flujo es el número de Reynolds (Re), propuesto por primera vez por George Gabriel Stokes a principios de la década de 1850. Asociado con Osborne Reynolds , quien desarrolló aún más la idea a principios de la década de 1880, este número adimensional proporciona la relación entre términos inerciales y términos viscosos . [4] En un sentido físico, este número es una relación entre las fuerzas que se deben al momento del fluido (términos inerciales) y las fuerzas que surgen del movimiento relativo de las diferentes capas de un fluido que fluye (términos viscosos). ). La ecuación para esto es [2]
El número de Reynolds es útil porque puede proporcionar puntos de corte para cuando el flujo es estable o inestable, es decir, el número de Reynolds crítico . A medida que aumenta, se reduce la amplitud de una perturbación que podría conducir a la inestabilidad. [1] Con números de Reynolds elevados, se acepta que los flujos de fluidos serán inestables. Un número de Reynolds alto se puede lograr de varias maneras, por ejemplo, si es un valor pequeño o si y son valores altos. [2] Esto significa que surgirán inestabilidades casi de inmediato y el flujo se volverá inestable o turbulento. [1]
Para encontrar analíticamente la estabilidad de los flujos de fluidos, es útil señalar que la estabilidad hidrodinámica tiene mucho en común con la estabilidad en otros campos, como la magnetohidrodinámica , la física del plasma y la elasticidad ; aunque la física es diferente en cada caso, las matemáticas y las técnicas utilizadas son similares. El problema esencial se modela mediante ecuaciones diferenciales parciales no lineales y se examina la estabilidad de soluciones estables e inestables conocidas. [1] Las ecuaciones rectoras para casi todos los problemas de estabilidad hidrodinámica son la ecuación de Navier-Stokes y la ecuación de continuidad . La ecuación de Navier-Stokes viene dada por: [1]
dónde
Aquí se utiliza como operador que actúa sobre el campo de velocidad en el lado izquierdo de la ecuación y luego actúa sobre la presión en el lado derecho.
y la ecuación de continuidad viene dada por:
Una vez más se utiliza como operador y se calcula la divergencia de la velocidad.
Pero si el fluido considerado es incompresible , lo que significa que la densidad es constante, entonces y por tanto:
La suposición de que un flujo es incompresible es buena y se aplica a la mayoría de los fluidos que viajan a cualquier velocidad. Son los supuestos de esta forma los que ayudarán a simplificar la ecuación de Navier-Stokes en ecuaciones diferenciales, como la ecuación de Euler, con las que es más fácil trabajar.
Si se considera un flujo no viscoso, en el que las fuerzas viscosas son pequeñas y, por tanto, pueden despreciarse en los cálculos, se llega a las ecuaciones de Euler :
Aunque en este caso hemos supuesto un fluido no viscoso, esta suposición no se cumple para flujos donde existe una frontera. La presencia de un límite provoca cierta viscosidad en la capa límite que no puede despreciarse y se llega de nuevo a la ecuación de Navier-Stokes. Encontrar las soluciones a estas ecuaciones rectoras en diferentes circunstancias y determinar su estabilidad es el principio fundamental para determinar la estabilidad del flujo de fluido en sí.
Para determinar si el flujo es estable o inestable, a menudo se emplea el método de análisis de estabilidad lineal. En este tipo de análisis, las ecuaciones rectoras y las condiciones de contorno están linealizadas. Esto se basa en el hecho de que el concepto de "estable" o "inestable" se basa en una perturbación infinitamente pequeña. Para tales perturbaciones, es razonable suponer que las perturbaciones de diferentes longitudes de onda evolucionan de forma independiente. (Una ecuación rectora no lineal permitirá que perturbaciones de diferentes longitudes de onda interactúen entre sí).
La teoría de la bifurcación es una forma útil de estudiar la estabilidad de un flujo determinado, con los cambios que se producen en la estructura de un sistema determinado. La estabilidad hidrodinámica es una serie de ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Una bifurcación ocurre cuando un pequeño cambio en los parámetros del sistema provoca un cambio cualitativo en su comportamiento. [1] El parámetro que se está cambiando en el caso de la estabilidad hidrodinámica es el número de Reynolds. Se puede demostrar que la aparición de bifurcaciones coincide con la aparición de inestabilidades. [1]
Los experimentos de laboratorio son una forma muy útil de obtener información sobre un flujo determinado sin tener que utilizar técnicas matemáticas más complejas. A veces, ver físicamente el cambio en el flujo a lo largo del tiempo es tan útil como un enfoque numérico y cualquier hallazgo de estos experimentos puede relacionarse con la teoría subyacente. El análisis experimental también es útil porque permite variar los parámetros rectores muy fácilmente y sus efectos serán visibles.
Cuando se trata de teorías matemáticas más complicadas, como la teoría de la bifurcación y la teoría débilmente no lineal, resolver numéricamente estos problemas se vuelve muy difícil y requiere mucho tiempo, pero con la ayuda de las computadoras este proceso se vuelve mucho más fácil y rápido. Desde la década de 1980, el análisis computacional se ha vuelto cada vez más útil; la mejora de los algoritmos que pueden resolver las ecuaciones gobernantes, como la ecuación de Navier-Stokes, significa que se pueden integrar con mayor precisión para varios tipos de flujo.
La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz (KHI) es una aplicación de la estabilidad hidrodinámica que se puede observar en la naturaleza. Ocurre cuando hay dos fluidos que fluyen a diferentes velocidades. La diferencia de velocidad de los fluidos provoca una velocidad de corte en la interfaz de las dos capas. [3] La velocidad de corte de un fluido en movimiento induce una tensión de corte en el otro que, si es mayor que la tensión superficial restrictiva , resulta en una inestabilidad a lo largo de la interfaz entre ellos. [3] Este movimiento provoca la aparición de una serie de olas oceánicas que se vuelcan, una característica de la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz. De hecho, la aparente naturaleza similar a las olas del océano es un ejemplo de formación de vórtices , que se forman cuando un fluido gira alrededor de algún eje, y a menudo se asocia con este fenómeno.
La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz se puede observar en las bandas de atmósferas planetarias como Saturno y Júpiter , por ejemplo en el vórtice gigante de la mancha roja. En la atmósfera que rodea la mancha roja gigante se encuentra el mayor ejemplo de KHI que se conoce y es causado por la fuerza de corte en la interfaz de las diferentes capas de la atmósfera de Júpiter. Se han capturado muchas imágenes en las que se pueden ver claramente las características similares a las olas del océano discutidas anteriormente, con hasta 4 capas de corte visibles. [5]
Los satélites meteorológicos aprovechan esta inestabilidad para medir la velocidad del viento sobre grandes masas de agua. Las olas son generadas por el viento, que corta el agua en la interfaz entre ésta y el aire circundante. Los ordenadores a bordo de los satélites determinan la agitación del océano midiendo la altura de las olas. Esto se hace mediante el uso de un radar , donde se transmite una señal de radio a la superficie y se registra el retraso de la señal reflejada, conocido como "tiempo de vuelo". A partir de esto, los meteorólogos pueden comprender el movimiento de las nubes y las turbulencias de aire esperadas cerca de ellas.
La inestabilidad de Rayleigh-Taylor es otra aplicación de la estabilidad hidrodinámica y también ocurre entre dos fluidos, pero esta vez las densidades de los fluidos son diferentes. [6] Debido a la diferencia de densidades, los dos fluidos intentarán reducir su energía potencial combinada . [7] El fluido menos denso hará esto tratando de abrirse camino hacia arriba, y el fluido más denso intentará abrirse camino hacia abajo. [6] Por lo tanto, hay dos posibilidades: si el fluido más ligero está encima, se dice que la interfaz es estable, pero si el fluido más pesado está encima, entonces el equilibrio del sistema es inestable ante cualquier perturbación de la interfaz. Si este es el caso entonces ambos fluidos comenzarán a mezclarse. [6] Una vez que una pequeña cantidad de fluido más pesado se desplaza hacia abajo con un volumen igual de fluido más ligero hacia arriba, la energía potencial ahora es menor que el estado inicial, [7] por lo tanto, la perturbación crecerá y conducirá al flujo turbulento asociado con Rayleigh. –Inestabilidades de Taylor. [6]
Este fenómeno se puede observar en gases interestelares , como la Nebulosa del Cangrejo . Es expulsado del plano galáctico por campos magnéticos y rayos cósmicos y luego se vuelve inestable Rayleigh-Taylor si se lo empuja más allá de su altura de escala normal . [6] Esta inestabilidad también explica la nube en forma de hongo que se forma en procesos como las erupciones volcánicas y las bombas atómicas.
La inestabilidad de Rayleigh-Taylor tiene un gran efecto en el clima de la Tierra. Los vientos que provienen de la costa de Groenlandia e Islandia provocan la evaporación de la superficie del océano sobre la que pasan, aumentando la salinidad del agua del océano cerca de la superficie y haciendo que el agua cerca de la superficie sea más densa. Esto genera columnas que impulsan las corrientes oceánicas . Este proceso actúa como una bomba de calor, transportando agua cálida ecuatorial hacia el norte. Sin el vuelco del océano, el norte de Europa probablemente enfrentaría caídas drásticas de temperatura. [6]
