En la teoría de juegos , la guerra de desgaste es un juego de sincronización dinámico en el que los jugadores eligen un momento para detenerse y, fundamentalmente, compensan las ganancias estratégicas de sobrevivir a otros jugadores y los costos reales gastados con el paso del tiempo. Su opuesto exacto es el juego de prevención , en el que los jugadores eligen un momento para detenerse y, fundamentalmente, compensan los costos estratégicos de sobrevivir a otros jugadores y las ganancias reales ocasionadas por el paso del tiempo. El modelo fue formulado originalmente por John Maynard Smith ; [1] Bishop & Cannings determinaron una estrategia mixta evolutivamente estable (ESS). [2] Un ejemplo es una subasta de segundo precio con pago total , en la que el premio va para el jugador con la oferta más alta y cada jugador paga la oferta más baja del perdedor (lo que la convierte en una subasta de segundo precio con oferta cerrada y pago total ).
Para ver cómo funciona una guerra de desgaste, considere la subasta de pago total: supongamos que cada jugador hace una oferta por un artículo y el que ofrece la oferta más alta gana un recurso de valor V. Cada jugador paga su oferta. En otras palabras, si un jugador ofrece b , entonces su pago es -b si pierde y Vb si gana. Finalmente, supongamos que si ambos jugadores ofrecen la misma cantidad b , entonces dividen el valor de V y cada uno gana V /2- b . Finalmente, piense en la oferta b como tiempo, y esto se convierte en una guerra de desgaste, ya que una oferta más alta es costosa, pero la oferta más alta gana el premio.
La premisa de que los jugadores pueden ofertar cualquier número es importante para el análisis de la subasta de segundo precio, con oferta cerrada y pago total. La oferta puede incluso superar el valor del recurso en disputa. Al principio, esto parece irracional, ya que parece una tontería pagar más por un recurso que su valor; sin embargo, recuerde que cada postor solo paga la oferta más baja . Por lo tanto, parecería que lo mejor para cada jugador es ofertar la cantidad máxima posible en lugar de una cantidad igual o menor que el valor del recurso.
Sin embargo, hay una condición; Si ambos jugadores ofertan más que V , el mejor postor no gana, sino que pierde menos. El jugador que ofertó el valor menor b pierde b y el que ofertó más pierde b - V (donde, en este escenario, b>V). Esta situación se conoce comúnmente como victoria pírrica . En un empate tal que b > V /2, ambos pierden b - V /2. Luce y Raiffa se refirieron a esta última situación como una "situación ruinosa"; [3] ambos jugadores sufren y no hay ganador.
La conclusión que se puede sacar de esta pseudomatriz es que no existe un valor para ofertar que sea beneficioso en todos los casos, por lo que no existe una estrategia dominante . Sin embargo, existen múltiples equilibrios de Nash débiles asimétricos en estrategias puras. Por ejemplo, cualquiera de los jugadores podría comprometerse con cualquier oferta b ≥ V . La mejor respuesta del otro jugador es ofertar cero, ya que no existe ninguna oferta con la que pueda ganar el premio y recibir un pago positivo. [4] El jugador con la oferta positiva no paga nada en equilibrio. Por tanto, no tienen ningún incentivo para ofertar menos. Este equilibrio es perfecto en subjuegos . [5]
También existe un equilibrio simétrico en las estrategias mixtas .
Otra formulación popular de la guerra de desgaste es la siguiente: dos jugadores están involucrados en una disputa. El valor del objeto para cada jugador es . El tiempo se modela como una variable continua que comienza en cero y corre indefinidamente. Cada jugador elige cuándo ceder el objeto al otro jugador. En caso de empate, cada jugador recibe utilidad. El tiempo es valioso, cada jugador utiliza una unidad de utilidad por período de tiempo. Esta formulación es un poco más compleja ya que permite a cada jugador asignar un valor diferente al objeto. Suponemos que ambos jugadores conocen la valoración del otro jugador. Por tanto, el juego es un juego de información completo.
El equilibrio de Nash simétrico único se define mediante la siguiente función de supervivencia para t : [6]
El valor , para un jugador i cuyo oponente valora el recurso en el tiempo t , es la probabilidad de que t ≥ x . Esta estrategia no garantiza la victoria de ninguno de los jugadores. Más bien, es la estrategia óptima dado que tu oponente también juega una estrategia de la misma forma. Tenga en cuenta que si ,
Entonces, el jugador con el valor más bajo persiste más tiempo que el jugador con el valor más alto. Esto significa que el jugador con menor valor tiene mayor probabilidad de ganar la guerra. [4] Tenga en cuenta que no existe ninguna x tal que la función de supervivencia sea igual a cero. Así pues, la distribución de las ofertas tiene pleno apoyo. Además, ambos jugadores reciben un pago esperado de cero porque su pago es cero en t = 0 y su pago esperado debe ser igual en cada valor de t .
La única estrategia evolutivamente estable coincide con el equilibrio simétrico de Nash. [7] Esto se desprende del hecho de que cualquier ESS debe ser un equilibrio de Nash y del hecho de que ningún tiempo de persistencia puro puede ser un ESS. Se puede demostrar que ningún tiempo de persistencia puro es un ESS simplemente considerando una supuesta oferta de ESS de x , que será superada por una oferta de x+ .
También se ha demostrado que incluso si los individuos sólo pueden jugar estrategias puras, el promedio temporal del valor de la estrategia de todos los individuos converge precisamente al ESS calculado. En tal escenario, se puede observar un comportamiento cíclico de los individuos competidores. [8]
