Grupo del cubo de Rubik

Grupo matemático

Las manipulaciones del Cubo de Rubik forman el grupo del Cubo de Rubik

El grupo del cubo de Rubik representa la estructura del rompecabezas mecánico del cubo de Rubik . Cada elemento del conjunto corresponde a un movimiento del cubo, que es el efecto de cualquier secuencia de rotaciones de las caras del cubo. Con esta representación, no solo se puede representar cualquier movimiento del cubo, sino también cualquier posición del cubo, al detallar los movimientos del cubo necesarios para rotar el cubo resuelto a esa posición. De hecho, con la posición resuelta como punto de partida, existe una correspondencia uno a uno entre cada una de las posiciones legales del cubo de Rubik y los elementos de . ^{[1] [2]} La operación de grupo es la composición de los movimientos del cubo, que corresponde al resultado de realizar un movimiento del cubo tras otro. ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$

El cubo de Rubik se construye etiquetando cada una de las 48 facetas no centrales con los números enteros del 1 al 48. Cada configuración del cubo se puede representar como una permutación de las etiquetas del 1 al 48, dependiendo de la posición de cada faceta. Usando esta representación, el cubo resuelto es la permutación identidad que deja el cubo sin cambios, mientras que los doce movimientos del cubo que rotan una capa del cubo 90 grados se representan por sus respectivas permutaciones. El grupo del cubo de Rubik es el subgrupo del grupo simétrico generado por las seis permutaciones correspondientes a los seis movimientos del cubo en el sentido de las agujas del reloj. Con esta construcción, cualquier configuración del cubo alcanzable a través de una secuencia de movimientos del cubo está dentro del grupo. Su funcionamiento se refiere a la composición de dos permutaciones; dentro del cubo, esto se refiere a combinar dos secuencias de movimientos del cubo juntas, haciendo una después de la otra. El grupo del cubo de Rubik es no abeliano ya que la composición de los movimientos del cubo no es conmutativa ; hacer dos secuencias de movimientos del cubo en un orden diferente puede dar como resultado una configuración diferente. ${\displaystyle S_{48}}$ ${\displaystyle \cdot }$

Movimientos del cubo

Un cubo de Rubik consta de caras , cada una con cuadrados de colores llamados facetas, lo que da un total de facetas. Un cubo resuelto tiene todas las facetas de cada cara con el mismo color. ${\displaystyle 3\times 3\times 3}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 54}$

Un movimiento de cubo hace girar una de las caras o (métrica de media vuelta). ^[3] Una faceta central gira sobre su eje pero por lo demás permanece en la misma posición. ^[1] ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 90^{\circ },180^{\circ },}$ ${\displaystyle -90^{\circ }}$

Los movimientos del cubo se describen con la notación Singmaster : ^[4]

El movimiento vacío es . ^{[nota 1]} La concatenación es la misma que , y es la misma que . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle LLLL}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle RRR}$ ${\displaystyle R^{\prime }}$

Estructura del grupo

A continuación se utiliza la notación descrita en Cómo resolver el cubo de Rubik. La orientación de las seis facetas centrales es fija.

Podemos identificar cada una de las seis rotaciones de caras como elementos del grupo simétrico del conjunto de facetas no centradas. Más concretamente, podemos etiquetar las facetas no centradas con los números del 1 al 48 y, a continuación, identificar las seis rotaciones de caras como elementos del grupo simétrico S ₄₈ según cómo cada movimiento permuta las distintas facetas. El grupo del cubo de Rubik, G , se define entonces como el subgrupo de S ₄₈ generado por las 6 rotaciones de caras, . ${\displaystyle \{F,B,U,D,L,R\}}$

La cardinalidad de G está dada por ^{[ cita requerida ]} A pesar de ser tan grande, el Número de Dios para el Cubo de Rubik es 20; es decir, cualquier posición puede resolverse en 20 movimientos o menos ^[3] (donde un medio giro se cuenta como un solo movimiento; si un medio giro se cuenta como dos cuartos de giro, entonces el número de Dios es 26 ^[5] ). $${\displaystyle |G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!={\bigl (}{\bigl (}12!\cdot 8!{\bigr )}\div 2{\bigr )}\cdot {\bigl (}2^{12}\div 2{\bigr )}\cdot {\bigl (}3^{8}\div 3{\bigr )}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11}$$

El orden más grande de un elemento en G es 1260. Por ejemplo, un elemento de ese orden de 1260 es

${\displaystyle (RU^{2}D^{-1}BD^{-1})}$. ^[1]

G no es abeliano (es decir, no todos los movimientos del cubo conmutan entre sí) ya que, por ejemplo, no es lo mismo que . ^[2] El centro de G consta de solo dos elementos: la identidad (es decir, el estado resuelto) y el superflip . ${\displaystyle FR}$ ${\displaystyle RF}$

Subgrupos

Consideramos dos subgrupos de G : Primero el subgrupo C _o de las orientaciones del cubo , los movimientos que dejan fija la posición de cada bloque, pero pueden cambiar las orientaciones de los bloques. Este grupo es un subgrupo normal de G . Puede representarse como el cierre normal de algunos movimientos que cambian algunas aristas o tuercen algunas esquinas. Por ejemplo, es el cierre normal de los siguientes dos movimientos:

${\displaystyle BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},\,\!}$(gira dos esquinas)

${\displaystyle RUDB^{2}U^{2}B^{\prime }UBUB^{2}D^{\prime }R^{\prime }U^{\prime },\,\!}$(voltear dos bordes).

En segundo lugar, tomamos el subgrupo de permutaciones de cubos , los movimientos que pueden cambiar las posiciones de los bloques, pero dejan fija la orientación. Para este subgrupo hay varias opciones, dependiendo de la forma precisa en que se defina la "orientación". ^{[nota 2]} Una opción es el siguiente grupo, dado por generadores (el último generador es un ciclo de 3 en los bordes): ${\displaystyle C_{P}}$

${\displaystyle C_{p}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^{\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].\,\!}$

Como C _o es un subgrupo normal y la intersección de C _o y C _p es la identidad y su producto es todo el grupo cúbico, se deduce que el grupo cúbico G es el producto semidirecto de estos dos grupos. Es decir

${\displaystyle G=C_{o}\rtimes C_{p}.\,}$

A continuación podemos observar más de cerca estos dos grupos. La estructura de C _o es

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11},\ }$

ya que el grupo de rotaciones de cada esquina (o arista) del cubo es (o arista ), y en cada caso todos menos uno pueden rotarse libremente, pero estas rotaciones determinan la orientación del último. Al notar que hay 8 esquinas y 12 aristas, y que todos los grupos de rotaciones son abelianos, se obtiene la estructura anterior. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Las permutaciones del cubo, C _p , son un poco más complicadas. Tiene los siguientes dos subgrupos normales disjuntos: el grupo de permutaciones pares en las esquinas A ₈ y el grupo de permutaciones pares en las aristas A ₁₂ . Complementaria a estos dos subgrupos es una permutación que intercambia dos esquinas e intercambia dos aristas. Resulta que estos generan todas las permutaciones posibles, lo que significa

${\displaystyle C_{p}=(A_{8}\times A_{12})\,\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}$

Juntando todas las piezas obtenemos que el grupo del cubo es isomorfo a

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((A_{8}\times A_{12})\rtimes \mathbb {Z} _{2}).}$

Este grupo también puede describirse como el producto subdirecto

${\displaystyle [(\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}}$,

en la notación de Griess ^{[ cita requerida ]} .

Generalizaciones

Cuando se tienen en cuenta las simetrías de las facetas centrales, el grupo de simetría es un subgrupo de

${\displaystyle [\mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.}$

(Esta falta de importancia de las rotaciones de las facetas centrales es un ejemplo implícito de un grupo cociente en funcionamiento, que protege al lector del grupo de automorfismo completo del objeto en cuestión).

El grupo de simetría del cubo de Rubik obtenido al desmontarlo y volverlo a montar es ligeramente mayor: es decir, es el producto directo

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr \mathrm {S} _{12}).}$

El primer factor se explica únicamente por las rotaciones de las piezas centrales, el segundo únicamente por las simetrías de las esquinas y el tercero únicamente por las simetrías de los bordes. Los dos últimos factores son ejemplos de grupos simétricos generalizados , que son a su vez ejemplos de productos de corona . (No hay ningún factor para la reorganización de las caras centrales, porque en prácticamente todos los modelos de cubo de Rubik, la reorganización de estas caras es imposible con un simple desmontaje ^{[ cita requerida ]} .)

Los grupos simples que aparecen como cocientes en la serie de composición del grupo del cubo estándar (es decir, ignorando las rotaciones de la pieza central) son , , (7 veces) y (12 veces). ${\displaystyle A_{8}}$ ${\displaystyle A_{12}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Clases de conjugación

Se ha informado que el grupo del cubo de Rubik tiene 81.120 clases de conjugación . ^[6] El número se calculó contando el número de clases de conjugación pares e impares en los grupos de aristas y esquinas por separado y luego multiplicándolos, asegurando que la paridad total sea siempre par. Se debe tener especial cuidado al contar las llamadas clases de conjugación sensibles a la paridad , cuyos elementos siempre difieren cuando se conjugan con cualquier elemento par frente a cualquier elemento impar. ^[7]

Véase también

• Conmutador
• Clase de conjugación
• Coset
• Soluciones óptimas para el cubo de Rubik
• Grupo solucionable
• Algoritmo de Thistlethwaite

Notas

1. No debe confundirse con el uso que se le da en la notación Singmaster extendida , donde representa un cuarto de vuelta de la capa del ecuador (es decir, la capa central entre y ), en la misma dirección que . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$
2. Una forma de definir la orientación es la siguiente, adaptada de las páginas 314-315 de Metamagical Themas de Douglas Hofstadter . Defina dos nociones: el color principal de un bloque y la faceta principal de una posición , donde una posición significa la ubicación de un bloque. La faceta principal de una posición será la que esté en la cara frontal o posterior del cubo, si esa posición tiene dicha faceta; de lo contrario, será la que esté en la cara izquierda o derecha. Hay nueve facetas principales en F, nueve en B, dos en L y dos en R. El color principal de un bloque se define como el color que debería estar en la faceta principal del bloque cuando el bloque "regresa a casa" a su posición adecuada en un cubo resuelto. Un movimiento de cubo conserva la orientación si, cuando se ha aplicado a un cubo resuelto, el color principal de cada bloque está en la faceta principal de su posición. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Joyner, David (2002). Aventuras en la teoría de grupos: el cubo de Rubik, la máquina de Merlín y otros juguetes matemáticos . Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-6947-1.
2. Davis, Tom (2006). "Teoría de grupos a través del cubo de Rubik" (PDF) .
3. Rokicki, Tomas; et al. "El número de Dios es 20".
4. Singmaster, David (1981). Notas sobre el cubo mágico de Rubik . Penguin Books. ISBN 0-907395-00-7.
5. El número de Dios es 26 en la métrica de cuarto de vuelta
6. Garron, Lucas (8 de marzo de 2010). «El grupo de permutaciones del cubo de Rubik» (PDF) . Semantic Scholar . S2CID  18785794. Archivado desde el original (PDF) el 22 de febrero de 2019. Consultado el 1 de agosto de 2020 .
7. brac37 (20 de octubre de 2009). «Clases de conjugación del cubo». Foro Dominio del Cubo . Consultado el 1 de agosto de 2020 .{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)