Evolución del tiempo

Cambio de estado a lo largo del tiempo, especialmente en física.

La evolución del tiempo es el cambio de estado provocado por el paso del tiempo , aplicable a sistemas con estado interno (también llamados sistemas con estado ). En esta formulación, no es necesario que el tiempo sea un parámetro continuo, sino que puede ser discreto o incluso finito. En física clásica , la evolución temporal de un conjunto de cuerpos rígidos se rige por los principios de la mecánica clásica . En su forma más rudimentaria, estos principios expresan la relación entre las fuerzas que actúan sobre los cuerpos y su aceleración dada por las leyes del movimiento de Newton . Estos principios pueden expresarse de manera equivalente de manera más abstracta mediante la mecánica hamiltoniana o la mecánica lagrangiana .

El concepto de evolución temporal también puede ser aplicable a otros sistemas con estado. Por ejemplo, el funcionamiento de una máquina de Turing puede considerarse como la evolución temporal del estado de control de la máquina junto con el estado de la cinta (o posiblemente de varias cintas), incluida la posición del cabezal (o cabezales) de lectura y escritura de la máquina. En este caso, el tiempo se considera pasos discretos.

Los sistemas con estado a menudo tienen descripciones duales en términos de estados o en términos de valores observables . En tales sistemas, la evolución del tiempo también puede referirse al cambio en los valores observables. Esto es particularmente relevante en la mecánica cuántica , donde la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg son (en su mayoría) ^{[ se necesita aclaración ]} descripciones equivalentes de la evolución del tiempo.

Operadores de evolución temporal

Considere un sistema con espacio de estados X para el cual la evolución es determinista y reversible . Para ser más concretos , supongamos también que el tiempo es un parámetro que abarca el conjunto de números reales R. Entonces la evolución temporal viene dada por una familia de transformaciones de estados biyectivos .

${\displaystyle (\operatorname {F} _{t,s}\colon X\rightarrow X)_{s,t\in \mathbb {R} }}$.

F _{t , s} ( x ) es el estado del sistema en el momento t , cuyo estado en el momento s es x . Se cumple la siguiente identidad

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).}$

Para ver por qué esto es cierto, supongamos que x ∈ X es el estado en el momento s . Entonces por la definición de F, F _{t , s} ( x ) es el estado del sistema en el tiempo t y en consecuencia aplicando la definición una vez más, F _{u , t} (F _{t , s} ( x )) es el estado en el tiempo u . Pero esto también es F _{u , s} ( x ).

En algunos contextos de la física matemática, las asignaciones F _{t , s} se denominan operadores de propagación o simplemente propagadores . En mecánica clásica , los propagadores son funciones que operan sobre el espacio de fases de un sistema físico. En mecánica cuántica , los propagadores suelen ser operadores unitarios en un espacio de Hilbert . Los propagadores se pueden expresar como exponenciales ordenados en el tiempo del hamiltoniano integrado. Las propiedades asintóticas de la evolución temporal vienen dadas por la matriz de dispersión . ^[1]

Un espacio de estados con un propagador distinguido también se denomina sistema dinámico .

Decir que la evolución del tiempo es homogénea significa que

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{u-t,0}}$para todos . ${\displaystyle u,t\in \mathbb {R} }$

En el caso de un sistema homogéneo, las aplicaciones G _t = F _{t ,0 forman un} grupo de transformaciones de X de un solo parámetro , es decir

${\displaystyle \operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.}$

Para sistemas no reversibles, los operadores de propagación F _{t , s} se definen siempre que t ≥ s y satisfagan la identidad de propagación

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x)}$para cualquier . ${\displaystyle u\geq t\geq s}$

En el caso homogéneo los propagadores son exponenciales del hamiltoniano.

En mecánica cuántica

En la imagen de Schrödinger , el operador hamiltoniano genera la evolución temporal de los estados cuánticos. Si es el estado del sistema en ese momento , entonces ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$

Esta es la ecuación de Schrödinger . Dado el estado en algún momento inicial ( ), si es independiente del tiempo, entonces el operador de evolución del tiempo unitario es el operador exponencial como se muestra en la ecuación ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =U(t)\left|\psi (0)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$

Ver también

• flecha del tiempo
• Simetría de traducción del tiempo
• sistema hamiltoniano
• Propagador
• Operador de evolución del tiempo
• Hamiltoniano (teoría del control)

Referencias

1. Conferencia 1 | Enredos cuánticos, parte 1 (Stanford) (vídeo). Stanford, California: Stanford. 2 de octubre de 2006 . Consultado el 5 de septiembre de 2020 a través de YouTube.

Referencias generales

• Amann, H.; Arendt, W.; Neubrander, F.; Nicaise, S.; von Below, J. (2008), Amann, Herbert; Arendt, Wolfgang; Hieber, Matías; Neubrander, Frank M; Nicaise, Serge; von Below, Joachim (eds.), Análisis funcional y ecuaciones de evolución: el volumen de Günter Lumer, Basilea: Birkhäuser, doi :10.1007/978-3-7643-7794-6, ISBN 978-3-7643-7793-9, SEÑOR  2402015.
• Jerónimo, JW; Polizzi, E. (2014), "Discretización de sistemas cuánticos dependientes del tiempo: propagación en tiempo real del operador de evolución", Análisis aplicable , 93 (12): 2574–2597, arXiv : 1309.3587 , doi :10.1080/00036811.2013.878863 , S2CID  17905545.
• Lanford, OE (1975), "Evolución temporal de grandes sistemas clásicos", en Moser J. (ed.), Sistemas dinámicos, teoría y aplicaciones , Lecture Notes in Physics, vol. 38, Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 1–111, doi :10.1007/3-540-07171-7_1, ISBN 978-3-540-37505-0.
• Lanford, OE; Lebowitz, JL (1975), "Evolución del tiempo y propiedades ergódicas de los sistemas armónicos", en Moser J. (ed.), Sistemas dinámicos, teoría y aplicaciones , Lecture Notes in Physics, vol. 38, Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 144-177, doi :10.1007/3-540-07171-7_3, ISBN 978-3-540-37505-0.

• Lumer, Günter (1994), "Ecuaciones de evolución. Soluciones para problemas de evolución irregular mediante soluciones generalizadas y valores iniciales generalizados. Aplicaciones a modelos de choques periódicos", Annales Universitatis Saraviensis , Series Mathematicae, 5 (1), MR  1286099.