Simetría de traslación temporal

Transformación matemática en física

La simetría de traslación temporal o simetría de traslación temporal ( TTS ) es una transformación matemática en física que mueve los tiempos de los eventos a través de un intervalo común. La simetría de traslación temporal es la ley que establece que las leyes de la física no cambian (es decir, son invariantes) bajo dicha transformación. La simetría de traslación temporal es una forma rigurosa de formular la idea de que las leyes de la física son las mismas a lo largo de la historia. La simetría de traslación temporal está estrechamente relacionada, a través del teorema de Noether , con la conservación de la energía . ^[1] En matemáticas, el conjunto de todas las traslaciones temporales en un sistema dado forma un grupo de Lie .

Existen muchas simetrías en la naturaleza además de la traslación temporal, como la traslación espacial o las simetrías rotacionales . Estas simetrías pueden romperse y explicar diversos fenómenos como los cristales , la superconductividad y el mecanismo de Higgs . ^[2] Sin embargo, hasta hace muy poco se pensaba que la simetría de traslación temporal no podía romperse. ^[3] Los cristales de tiempo , un estado de la materia observado por primera vez en 2017, rompen la simetría de traslación temporal. ^[4]

Descripción general

Las simetrías son de suma importancia en física y están estrechamente relacionadas con la hipótesis de que ciertas cantidades físicas son solo relativas e inobservables . ^[5] Las simetrías se aplican a las ecuaciones que gobiernan las leyes físicas (por ejemplo, a un hamiltoniano o lagrangiano ) en lugar de las condiciones iniciales, valores o magnitudes de las ecuaciones en sí mismas y establecen que las leyes permanecen inalteradas bajo una transformación. ^[1] Si una simetría se conserva bajo una transformación se dice que es invariante . Las simetrías en la naturaleza conducen directamente a leyes de conservación, algo que está precisamente formulado por el teorema de Noether . ^[6]

Mecánica newtoniana

Para describir formalmente la simetría de traslación temporal decimos que las ecuaciones o leyes que describen un sistema en los tiempos y son las mismas para cualquier valor de y . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau }$

Por ejemplo, considerando la ecuación de Newton:

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {dV}{dx}}(x)}$

Para su solución se encuentra la combinación: ${\displaystyle x=x(t)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {x}}(t)^{2}+V(x(t))}$

no depende de la variable . Por supuesto, esta cantidad describe la energía total cuya conservación se debe a la invariancia de la traslación temporal de la ecuación de movimiento. Al estudiar la composición de las transformaciones de simetría, por ejemplo de objetos geométricos, se llega a la conclusión de que forman un grupo y, más específicamente, un grupo de transformación de Lie si se consideran transformaciones de simetría finitas y continuas. Diferentes simetrías forman diferentes grupos con diferentes geometrías. Los sistemas hamiltonianos independientes del tiempo forman un grupo de traslaciones temporales que se describe mediante el grupo de Lie abeliano no compacto . Por lo tanto, el TTS es una simetría dependiente dinámica o hamiltoniana en lugar de una simetría cinemática que sería la misma para todo el conjunto de hamiltonianos en cuestión. Se pueden ver otros ejemplos en el estudio de las ecuaciones de evolución temporal de la física clásica y cuántica. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Muchas ecuaciones diferenciales que describen ecuaciones de evolución temporal son expresiones de invariantes asociadas a algún grupo de Lie y la teoría de estos grupos proporciona un punto de vista unificador para el estudio de todas las funciones especiales y todas sus propiedades. De hecho, Sophus Lie inventó la teoría de los grupos de Lie al estudiar las simetrías de las ecuaciones diferenciales. La integración de una ecuación diferencial (parcial) por el método de separación de variables o por métodos algebraicos de Lie está íntimamente relacionada con la existencia de simetrías. Por ejemplo, la solubilidad exacta de la ecuación de Schrödinger en mecánica cuántica se puede rastrear hasta las invariancias subyacentes. En este último caso, la investigación de las simetrías permite una interpretación de las degeneraciones , donde diferentes configuraciones tienen la misma energía, que generalmente ocurren en el espectro de energía de los sistemas cuánticos. Las simetrías continuas en física a menudo se formulan en términos de transformaciones infinitesimales en lugar de finitas, es decir, se considera el álgebra de Lie en lugar del grupo de transformaciones de Lie.

Mecánica cuántica

La invariancia de un hamiltoniano de un sistema aislado bajo traslación temporal implica que su energía no cambia con el paso del tiempo. La conservación de la energía implica, según las ecuaciones de movimiento de Heisenberg, que . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {H}}]=0}$

${\displaystyle [e^{i{\hat {H}}t/\hbar },{\hat {H}}]=0}$

o:

${\displaystyle [{\hat {T}}(t),{\hat {H}}]=0}$

¿Dónde está el operador de traducción temporal que implica la invariancia del hamiltoniano bajo la operación de traducción temporal y conduce a la conservación de la energía? ${\displaystyle {\hat {T}}(t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }}$

Sistemas no lineales

En muchas teorías de campo no lineales, como la relatividad general o las teorías de Yang-Mills , las ecuaciones de campo básicas son altamente no lineales y solo se conocen soluciones exactas para distribuciones de materia "suficientemente simétricas" (por ejemplo, configuraciones rotacional o axialmente simétricas). La simetría de traslación temporal está garantizada solo en espaciotiempos donde la métrica es estática: es decir, donde hay un sistema de coordenadas en el que los coeficientes métricos no contienen ninguna variable temporal. Muchos sistemas de relatividad general no son estáticos en ningún marco de referencia, por lo que no se puede definir ninguna energía conservada.

Ruptura de simetría de traslación temporal (TTSB)

Los cristales de tiempo , un estado de la materia observado por primera vez en 2017, rompen la simetría de traslación temporal discreta. ^[4]

Véase también

• Tiempo y espacio absolutos
• Principio de Mach
• Espacio-tiempo
• Simetría de inversión temporal

Referencias

1. Wilczek, Frank (16 de julio de 2015). "3". Una hermosa pregunta: En busca del diseño profundo de la naturaleza. Penguin Books Limited. ISBN 978-1-84614-702-9.
2. Richerme, Phil (18 de enero de 2017). "Viewpoint: How to Create a Time Crystal". Física . 10 . APS Física: 5. Bibcode :2017PhyOJ..10....5R. doi : 10.1103/Physics.10.5 . Archivado desde el original el 2 de febrero de 2017.
3. Else, Dominic V.; Bauer, Bela; Nayak, Chetan (2016). "Cristales de tiempo de Floquet". Physical Review Letters . 117 (9): 090402. arXiv : 1603.08001 . Código Bibliográfico :2016PhRvL.117i0402E. doi :10.1103/PhysRevLett.117.090402. ISSN  0031-9007. PMID  27610834. S2CID  1652633.
4. Gibney, Elizabeth (2017). "La búsqueda para cristalizar el tiempo". Nature . 543 (7644): 164–166. Bibcode :2017Natur.543..164G. doi :10.1038/543164a. ISSN  0028-0836. PMID  28277535. S2CID  4460265.
5. Feng, Duan; Jin, Guojun (2005). Introducción a la física de la materia condensada. Singapur: World Scientific . pág. 18. ISBN 978-981-238-711-0.
6. Cao, Tian Yu (25 de marzo de 2004). Fundamentos conceptuales de la teoría cuántica de campos. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-60272-3.

Enlaces externos

• Las conferencias Feynman sobre física – La traducción del tiempo