En física y matemáticas , la simetría traslacional continua es la invariancia de un sistema de ecuaciones bajo cualquier traslación (sin rotación ). La simetría traslacional discreta es invariante bajo traslación discreta .
Análogamente, se dice que un operador A sobre funciones es invariante en cuanto a la traducción con respecto a un operador de traducción si el resultado después de aplicar A no cambia si se traduce la función del argumento. Más precisamente, debe cumplirse que
Las leyes de la física son invariantes en el plano de la traslación si no distinguen puntos diferentes en el espacio. Según el teorema de Noether , la simetría traslacional espacial de un sistema físico es equivalente a la ley de conservación del momento .
La simetría traslacional de un objeto significa que una traslación particular no modifica el objeto. Para un objeto determinado, las traslaciones a las que se aplica esta regla forman un grupo, el grupo de simetría del objeto o, si el objeto tiene más tipos de simetría, un subgrupo del grupo de simetría.
La invariancia traslacional implica que, al menos en una dirección, el objeto es infinito: para cualquier punto dado p , el conjunto de puntos con las mismas propiedades debido a la simetría traslacional forman el conjunto discreto infinito { p + n a | n ∈ Z } = p + Z a . Los dominios fundamentales son, por ejemplo, H + [0, 1] a para cualquier hiperplano H para el que a tiene una dirección independiente. Esto es en 1D un segmento de línea , en 2D una franja infinita y en 3D una losa, de modo que el vector que comienza en un lado termina en el otro lado. Nótese que la franja y la losa no necesitan ser perpendiculares al vector, por lo tanto pueden ser más estrechas o más delgadas que la longitud del vector.
En espacios con dimensión mayor que 1, puede haber múltiples simetrías traslacionales. Para cada conjunto de k vectores de traslación independientes, el grupo de simetría es isomorfo con Z k . En particular, la multiplicidad puede ser igual a la dimensión. Esto implica que el objeto es infinito en todas las direcciones. En este caso, el conjunto de todas las traslaciones forma una red . Diferentes bases de vectores de traslación generan la misma red si y solo si una se transforma en la otra mediante una matriz de coeficientes enteros cuyo valor absoluto del determinante es 1. El valor absoluto del determinante de la matriz formada por un conjunto de vectores de traslación es el hipervolumen del paralelepípedo n -dimensional que el conjunto subtiende (también llamado covolumen de la red). Este paralelepípedo es una región fundamental de la simetría: cualquier patrón sobre o en él es posible, y esto define el objeto completo. Véase también red (grupo) .
Por ejemplo, en 2D, en lugar de a y b también podemos tomar a y a − b , etc. En general, en 2D, podemos tomar p a + q b y r a + s b para los enteros p , q , r y s tales que ps − qr es 1 o −1. Esto garantiza que a y b sean combinaciones lineales enteras de los otros dos vectores. Si no, no todas las traslaciones son posibles con el otro par. Cada par a , b define un paralelogramo, todos con la misma área, la magnitud del producto vectorial . Un paralelogramo define completamente todo el objeto. Sin más simetría, este paralelogramo es un dominio fundamental. Los vectores a y b se pueden representar mediante números complejos. Para dos puntos de red dados, la equivalencia de las elecciones de un tercer punto para generar una forma de red se representa mediante el grupo modular , consulte red (grupo) .
Como alternativa, por ejemplo, un rectángulo puede definir todo el objeto, incluso si los vectores de traslación no son perpendiculares, si tiene dos lados paralelos a un vector de traslación, mientras que el otro vector de traslación que comienza en un lado del rectángulo termina en el lado opuesto.
Por ejemplo, considere un mosaico con mosaicos rectangulares iguales con un patrón asimétrico sobre ellos, todos orientados de la misma manera, en filas, con para cada fila un desplazamiento de una fracción, no la mitad, de un mosaico, siempre el mismo, entonces tenemos solo simetría traslacional, grupo de papel tapiz p 1 (lo mismo se aplica sin desplazamiento). Con simetría rotacional de orden dos del patrón en el mosaico, tenemos p 2 (más simetría del patrón en el mosaico no cambia eso, debido a la disposición de los mosaicos). El rectángulo es una unidad más conveniente para considerar como dominio fundamental (o conjunto de dos de ellos) que un paralelogramo que consiste en parte de un mosaico y parte de otro.
En 2D puede haber simetría traslacional en una dirección para vectores de cualquier longitud. Una línea, que no esté en la misma dirección, define completamente todo el objeto. De manera similar, en 3D puede haber simetría traslacional en una o dos direcciones para vectores de cualquier longitud. Un plano ( sección transversal ) o una línea, respectivamente, define completamente todo el objeto.
