Equilibrio competitivo

Concepto de equilibrio económico

El equilibrio competitivo (también llamado equilibrio walrasiano ) es un concepto de equilibrio económico introducido por Kenneth Arrow y Gérard Debreu en 1951 ^[1], apropiado para el análisis de mercados de materias primas con precios flexibles y muchos comerciantes, y que sirve como punto de referencia de la eficiencia en el análisis económico. Se basa fundamentalmente en el supuesto de un entorno competitivo en el que cada comerciante decide una cantidad que es tan pequeña en comparación con la cantidad total comercializada en el mercado que sus transacciones individuales no tienen influencia en los precios. Los mercados competitivos son un estándar ideal por el que se evalúan otras estructuras de mercado.

Definiciones

Un equilibrio competitivo (EC) consta de dos elementos:

• Una función de precio . Toma como argumento un vector que representa un conjunto de productos y devuelve un número real positivo que representa su precio. Por lo general, la función de precio es lineal: se representa como un vector de precios, un precio para cada tipo de producto. ${\displaystyle P}$
• Una matriz de asignación . Para cada , es el vector de mercancías asignadas al agente . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Estos elementos deben satisfacer el siguiente requisito:

• Satisfacción ( libre de envidia del mercado ): Cada agente prefiere débilmente su paquete a cualquier otro paquete asequible:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n}$, si entonces . ${\displaystyle P(Y)\leq P(X_{i})}$ ${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i}}$

A menudo, existe una matriz de dotación inicial : para cada , es la dotación inicial del agente . Entonces, un CE debe satisfacer algunos requisitos adicionales: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle i}$

• Liquidación del mercado : la demanda es igual a la oferta, no se crean ni destruyen artículos:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}=\sum _{i=1}^{n}E_{i}}$.

• Racionalidad individual : todos los agentes están en mejor situación después de la operación que antes de ella:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:X_{i}\succeq _{i}E_{i}}$.

• Equilibrio presupuestario : todos los agentes pueden afrontar su asignación dada su dotación:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:P(X_{i})\leq P(E_{i})}$.

Definición 2

Esta definición permite explícitamente la posibilidad de que existan múltiples conjuntos de productos que sean igualmente atractivos. También para precios cero. Una definición alternativa ^[2] se basa en el concepto de un conjunto de demanda . Dada una función de precio P y un agente con una función de utilidad U, un determinado conjunto de bienes x está en el conjunto de demanda del agente si: para cada otro conjunto y. Un equilibrio competitivo es una función de precio P y una matriz de asignación X tal que: ${\displaystyle U(x)-P(x)\geq U(y)-P(y)}$

• El paquete asignado por X a cada agente está en el conjunto de demanda de ese agente para el vector de precios P;
• Todo bien que tiene un precio positivo está totalmente asignado (es decir, todo bien no asignado tiene precio 0).

Equilibrio aproximado

En algunos casos es útil definir un equilibrio en el que se relaja la condición de racionalidad. ^[3] Dado un valor positivo (medido en unidades monetarias, por ejemplo, dólares), un vector de precios y un paquete , se define como un vector de precios en el que todos los artículos en x tienen el mismo precio que tienen en P, y todos los artículos que no están en x tienen un precio mayor que su precio en P. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

En un equilibrio -competitivo- , el paquete x asignado a un agente debe estar en el conjunto de demanda de ese agente para el vector de precios modificado , . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

Esta aproximación es realista cuando existen comisiones de compra/venta. Por ejemplo, supongamos que un agente tiene que pagar dólares por comprar una unidad de un artículo, además del precio de ese artículo. Ese agente mantendrá su oferta actual mientras esté dentro del conjunto de demanda para el vector de precios . Esto hace que el equilibrio sea más estable. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

Ejemplos

Los siguientes ejemplos involucran una economía de intercambio con dos agentes, Jane y Kelvin, dos bienes, por ejemplo, plátanos (x) y manzanas (y), y ningún dinero.

1. Ejemplo gráfico : supongamos que la asignación inicial está en el punto X, donde Jane tiene más manzanas que Kelvin y Kelvin tiene más plátanos que Jane.

Si observamos las curvas de indiferencia de Jane y Kelvin, podemos ver que no se trata de un equilibrio: ambos agentes están dispuestos a comerciar entre sí a los precios y . Después de comerciar, tanto Jane como Kelvin pasan a una curva de indiferencia que representa un nivel de utilidad más alto, y . Las nuevas curvas de indiferencia se cruzan en el punto E. La pendiente de la tangente de ambas curvas es igual a - . ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle P_{y}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle P_{x}/P_{y}}$

Y la relación marginal de sustitución (RMS) de Jane es igual a la de Kelvin. Por lo tanto , la sociedad de los dos individuos alcanza la eficiencia de Pareto , donde no hay forma de mejorar la situación de Jane o Kelvin sin empeorar la del otro. ${\displaystyle MRS_{Jane}=P_{x}/P_{y}}$ ${\displaystyle MRS_{Kelvin}=P_{x}/P_{y}}$

2. Ejemplo aritmético: ^{[4] : 322–323} supongamos que ambos agentes tienen utilidades Cobb–Douglas :

${\displaystyle u_{J}(x,y)=x^{a}y^{1-a}}$

${\displaystyle u_{K}(x,y)=x^{b}y^{1-b}}$

donde son constantes. ${\displaystyle a,b}$

Supongamos que la dotación inicial es . ${\displaystyle E=[(1,0),(0,1)]}$

La función de demanda de Jane para x es:

${\displaystyle x_{J}(p_{x},p_{y},I_{J})={\frac {a\cdot I_{J}}{p_{x}}}={\frac {a\cdot (1\cdot p_{x})}{p_{x}}}=a}$

La función de demanda de Kelvin para x es:

${\displaystyle x_{K}(p_{x},p_{y},I_{K})={\frac {b\cdot I_{K}}{p_{x}}}={\frac {b\cdot p_{y}}{p_{x}}}}$

La condición de liquidación del mercado para x es:

${\displaystyle x_{J}+x_{K}=E_{J,x}+E_{K,x}=1}$

Esta ecuación produce la relación de precios de equilibrio:

${\displaystyle {\frac {p_{y}}{p_{x}}}={\frac {1-a}{b}}}$

Podríamos hacer un cálculo similar para y, pero no es necesario, ya que la ley de Walras garantiza que los resultados serán los mismos. Nótese que en CE, solo se determinan los precios relativos; podemos normalizar los precios, por ejemplo, al exigir que . Entonces obtenemos . Pero cualquier otra normalización también funcionará. ${\displaystyle p_{x}+p_{y}=1}$ ${\displaystyle p_{x}={\frac {b}{1+b-a}},p_{y}={\frac {1-a}{1+b-a}}}$

3. Ejemplo de inexistencia: Supongamos que las utilidades de los agentes son:

${\displaystyle u_{J}(x,y)=u_{K}(x,y)=\max(x,y)}$

y la dotación inicial es [(2,1),(2,1)]. En CE, cada agente debe tener solo x o solo y (el otro producto no contribuye en nada a la utilidad, por lo que el agente querría intercambiarlo). Por lo tanto, las únicas asignaciones CE posibles son [(4,0),(0,2)] y [(0,2),(4,0)]. Dado que los agentes tienen el mismo ingreso, necesariamente . Pero entonces, el agente que tiene 2 unidades de y querrá intercambiarlas por 4 unidades de x. ${\displaystyle p_{y}=2p_{x}}$

4. Para ejemplos de existencia y no existencia que involucran utilidades lineales, consulte Utilidad lineal#Ejemplos .

Elementos indivisibles

Cuando en la economía hay bienes indivisibles, es común suponer que también hay dinero, que es divisible. Los agentes tienen funciones de utilidad cuasilineales : su utilidad es la cantidad de dinero que tienen más la utilidad del conjunto de bienes que poseen.

A. Artículo único: Alice tiene un coche que valora en 10. Bob no tiene coche y valora el coche de Alice en 20. Una posible CE es: el precio del coche es 15, Bob se queda con el coche y paga 15 a Alice. Esto es un equilibrio porque el mercado está despejado y ambos agentes prefieren su paquete final a su paquete inicial. De hecho, todo precio entre 10 y 20 será un precio CE, con la misma asignación. La misma situación se da cuando el coche no está inicialmente en posesión de Alice sino en una subasta en la que tanto Alice como Bob son compradores: el coche irá a Bob y el precio estará entre 10 y 20.

Por otro lado, cualquier precio por debajo de 10 no es un precio de equilibrio porque hay un exceso de demanda (tanto Alice como Bob quieren el coche a ese precio), y cualquier precio por encima de 20 no es un precio de equilibrio porque hay un exceso de oferta (ni Alice ni Bob quieren el coche a ese precio).

Este ejemplo es un caso especial de subasta doble .

B. Sustitutos: Se venden un coche y un caballo en una subasta. A Alicia solo le interesa el transporte, por lo que para ella estos son sustitutos perfectos: obtiene una utilidad de 8 del caballo, 9 del coche y, si tiene los dos, utiliza solo el coche, por lo que su utilidad es 9. Bob obtiene una utilidad de 5 del caballo y 7 del coche, pero si tiene los dos, su utilidad es 11, ya que también le gusta el caballo como mascota. En este caso, es más difícil encontrar un equilibrio (ver más abajo). Un posible equilibrio es que Alicia compre el caballo por 5 y Bob compre el coche por 7. Esto es un equilibrio, ya que a Bob no le gustaría pagar 5 por el caballo, lo que le daría solo 4 utilidades adicionales, y Alicia no querría pagar 7 por el coche, lo que le daría solo 1 utilidad adicional.

C. Complementos : ^[5] Se venden un caballo y un carruaje en una subasta. Hay dos compradores potenciales: AND y XOR. AND solo quiere el caballo y el carruaje juntos: recibe una utilidad de por tener ambos, pero una utilidad de 0 por tener solo uno de ellos. XOR quiere el caballo o el carruaje, pero no necesita ambos: recibe una utilidad de por tener uno de ellos y la misma utilidad por tener ambos. Aquí, cuando , NO existe un equilibrio competitivo, es decir, ningún precio equilibrará el mercado. Demostración : considere las siguientes opciones para la suma de los precios (precio del caballo + precio del carruaje): ${\displaystyle v_{and}}$ ${\displaystyle v_{xor}}$ ${\displaystyle v_{and}<2v_{xor}}$

• La suma es menor que . Entonces, AND quiere ambos artículos. Como el precio de al menos un artículo es menor que , XOR quiere ese artículo, por lo que hay un exceso de demanda. ${\displaystyle v_{and}}$ ${\displaystyle v_{xor}}$
• La suma es exactamente . Entonces, a AND le da igual comprar ambos artículos o no comprar ninguno. Pero XOR todavía quiere exactamente un artículo, por lo que hay un exceso de demanda o de oferta. ${\displaystyle v_{and}}$
• La suma es mayor que . Entonces, AND no quiere ningún artículo y XOR todavía quiere como máximo un solo artículo, por lo que hay exceso de oferta. ${\displaystyle v_{and}}$

D. Consumidores con demanda unitaria: Hay n consumidores. Cada consumidor tiene un índice . Hay un único tipo de bien. Cada consumidor quiere como máximo una única unidad del bien, lo que le da una utilidad de . Los consumidores están ordenados de tal manera que es una función débilmente creciente de . Si la oferta es de unidades, entonces cualquier precio satisfactorio es un precio de equilibrio, ya que hay k consumidores que quieren comprar el producto o son indiferentes entre comprarlo o no comprarlo. Nótese que un aumento en la oferta causa una disminución en el precio. ${\displaystyle i=1,...,n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u(i)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)}$

Existencia de un equilibrio competitivo

Recursos divisibles

El modelo de Arrow-Debreu muestra que existe un EC en toda economía de intercambio con bienes divisibles que satisfacen las siguientes condiciones:

• Todos los agentes tienen preferencias estrictamente convexas ;
• Todos los bienes son deseables. Esto significa que, si se da un bien de forma gratuita ( ), entonces todos los agentes quieren obtener la mayor cantidad posible de ese bien. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p_{j}=0}$

La prueba se desarrolla en varios pasos. ^{[4] : 319–322}

A. Para ser más concretos, supongamos que hay agentes y bienes divisibles. Normalicemos los precios de modo que su suma sea 1, es decir . Entonces, el espacio de todos los precios posibles es el símplex unitario de dimensión . Llamamos a este símplex el símplex de precios . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}p_{j}=1}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

B. Sea la función de exceso de demanda . Esta es una función del vector de precios cuando la dotación inicial se mantiene constante: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle z(p)=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}(p,p\cdot E_{i})-E_{i}}}$

Se sabe que, cuando los agentes tienen preferencias estrictamente convexas , la función de demanda marshalliana es continua. Por lo tanto, también es una función continua de . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p}$

C. Defina la siguiente función desde el precio simplex hacia sí mismo:

${\displaystyle g_{i}(p)={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

Esta es una función continua, por lo que por el teorema de punto fijo de Brouwer existe un vector de precios tal que: ${\displaystyle p^{*}}$

${\displaystyle p^{*}=g(p^{*})}$

entonces,

${\displaystyle p_{i}^{*}={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

D. Utilizando la ley de Walras y algo de álgebra, es posible demostrar que para este vector de precios, no hay exceso de demanda en ningún producto, es decir:

${\displaystyle z_{j}(p^{*})\leq 0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

E. El supuesto de deseabilidad implica que todos los productos tienen precios estrictamente positivos:

${\displaystyle p_{j}>0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

Por la ley de Walras , . Pero esto implica que la desigualdad anterior debe ser una igualdad: ${\displaystyle p^{*}\cdot z(p^{*})=0}$

${\displaystyle z_{j}(p^{*})=0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

Esto significa que es un vector de precios de equilibrio competitivo. ${\displaystyle p^{*}}$

Obsérvese que las utilidades lineales son sólo débilmente convexas, por lo que no califican para el modelo Arrow-Debreu . Sin embargo, David Gale demostró que existe un EC en toda economía de intercambio lineal que satisface ciertas condiciones. Para más detalles, consulte Utilidades lineales#Existencia de equilibrio competitivo .

Los algoritmos para calcular el equilibrio del mercado se describen en el cálculo del equilibrio del mercado .

Elementos indivisibles

En los ejemplos anteriores, existía un equilibrio competitivo cuando los artículos eran sustitutos, pero no cuando eran complementarios. Esto no es una coincidencia.

Dada una función de utilidad sobre dos bienes X e Y , digamos que los bienes son débilmente sustitutivos brutos (SB) si son bienes independientes o bienes sustitutivos brutos , pero no bienes complementarios . Esto significa que . Es decir, si el precio de Y aumenta, entonces la demanda de X permanece constante o aumenta, pero no disminuye. Si el precio de Y disminuye, entonces la demanda de X permanece constante o disminuye. ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{demand}}(X)}{\Delta {\text{price}}(Y)}}\geq 0}$

Una función de utilidad se denomina GS si, según esta función de utilidad, todos los pares de bienes diferentes son GS. Con una función de utilidad GS, si un agente tiene una demanda fijada en un vector de precios dado, y los precios de algunos bienes aumentan, entonces el agente tiene un conjunto de demanda que incluye todos los bienes cuyo precio se mantuvo constante. ^{[3] [6]} Puede decidir que no quiere un bien que se ha vuelto más caro; también puede decidir que quiere otro bien en su lugar (un sustituto); pero no puede decidir que no quiere un tercer bien cuyo precio no ha cambiado.

Cuando las funciones de utilidad de todos los agentes son GS, siempre existe un equilibrio competitivo. ^[7]

Además, el conjunto de valoraciones de GS es el conjunto más grande que contiene valoraciones de demanda unitaria para las cuales se garantiza la existencia de un equilibrio competitivo: para cualquier valoración no GS, existen valoraciones de demanda unitaria tales que no existe un equilibrio competitivo para estas valoraciones de demanda unitaria acopladas con la valoración no GS dada. ^[8]

Para el problema computacional de encontrar un equilibrio competitivo en un tipo especial de mercado, véase Fisher market#indivisible .

El equilibrio competitivo y la eficiencia asignativa

Según los teoremas fundamentales de la economía del bienestar , cualquier asignación de CE es eficiente en el sentido de Pareto y cualquier asignación eficiente puede ser sostenible mediante un equilibrio competitivo. Además, según los teoremas de Varian , una asignación de CE en la que todos los agentes tienen el mismo ingreso también está libre de envidia .

En el equilibrio competitivo, el valor que la sociedad asigna a un bien es equivalente al valor de los recursos sacrificados para producirlo ( el beneficio marginal es igual al costo marginal ). Esto garantiza la eficiencia en la asignación de recursos : el valor adicional que la sociedad asigna a otra unidad del bien es igual a lo que la sociedad debe sacrificar en recursos para producirlo. ^[9]

Cabe señalar que el análisis microeconómico no presupone utilidad aditiva ni tampoco ninguna compensación interpersonal en términos de utilidad. Por lo tanto, la eficiencia se refiere a la ausencia de mejoras en el sentido de Pareto . No opina en modo alguno sobre la justicia de la asignación (en el sentido de justicia distributiva o equidad ). Un equilibrio eficiente podría ser aquel en el que un jugador tiene todos los bienes y los demás jugadores no tienen ninguno (en un ejemplo extremo), lo que es eficiente en el sentido de que es posible que no se pueda encontrar una mejora en el sentido de Pareto, lo que hace que todos los jugadores (incluido el que tiene todo en este caso) estén mejor (para una mejora estricta en el sentido de Pareto), o no peor.

Teoremas de bienestar para la asignación de ítems indivisibles

En el caso de elementos indivisibles, tenemos las siguientes versiones fuertes de los dos teoremas del bienestar : ^[2]

1. Cualquier equilibrio competitivo maximiza el bienestar social (la suma de utilidades), no sólo en todas las asignaciones realistas de bienes, sino también en todas las asignaciones fraccionarias de bienes. Es decir, incluso si pudiéramos asignar fracciones de un bien a distintas personas, no podríamos hacerlo mejor que en un equilibrio competitivo en el que sólo se asignan bienes enteros.
2. Si existe una asignación integral (sin asignaciones fraccionarias) que maximiza el bienestar social, entonces existe un equilibrio competitivo con esa asignación.

Encontrar un equilibrio

En el caso de asignación de artículos indivisibles, cuando las funciones de utilidad de todos los agentes son GS (y por lo tanto existe un equilibrio), es posible encontrar un equilibrio competitivo utilizando una subasta ascendente . En una subasta ascendente, el subastador publica un vector de precios, inicialmente cero, y los compradores declaran su paquete favorito bajo estos precios. En caso de que cada artículo sea deseado por como máximo un solo postor, los artículos se dividen y la subasta termina. En caso de que haya un exceso de demanda en uno o más artículos, el subastador aumenta el precio de un artículo sobredemandado por una pequeña cantidad (por ejemplo, un dólar), y los compradores pujan nuevamente.

En la literatura se han sugerido varios mecanismos diferentes de subasta ascendente. ^{[3] [7] [10]} Dichos mecanismos a menudo se denominan subasta walrasiana , tâtonnement walrasiano o subasta inglesa .

Véase también

• Precios sin envidia : una relajación del equilibrio walrasiano en el que algunos artículos pueden permanecer sin asignar.
• Mercado de Fisher : un modelo de mercado simplificado, con un solo vendedor y muchos compradores, en el que se puede calcular un CE de manera eficiente.
• Eficiencia asignativa
• Equilibrio económico
• Teoría del equilibrio general
• Subasta Walrasiana

Referencias

1. K. Arrow, 'Una extensión de los teoremas básicos de la economía clásica del bienestar' (1951); G. Debreu, 'El coeficiente de utilización de recursos' (1951)
2. Liad Blumrosen y Noam Nisam (2007). "Subastas combinatorias / Equilibrio walrasiano". En Nisán, Noam; Jardín áspero, Tim; Tardós, Eva; Vazirani, Vijay (eds.). Teoría algorítmica de juegos (PDF) . págs. 277-279. ISBN 978-0521872829.
3. Liad Blumrosen y Noam Nisam (2007). "Subastas combinatorias / Subastas ascendentes". En Nisán, Noam; Jardín áspero, Tim; Tardós, Eva; Vazirani, Vijay (eds.). Teoría algorítmica de juegos (PDF) . págs. 289–294. ISBN 978-0521872829.
4. Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (tercera edición). Nueva York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
5. Hassidim, Avinatan; Kaplan, Haim; Mansour, Yishay; Nisan, Noam (2011). "Equilibrios no relacionados con el precio en mercados de bienes discretos". Actas de la 12.ª conferencia de la ACM sobre comercio electrónico - EC '11 . pág. 295. arXiv : 1103.3950 . doi :10.1145/1993574.1993619. ISBN 9781450302616.
6. El término fue introducido por: Kelso, AS; Crawford, VP (1982). "Job Matching, Coalition Formation, and Gross Substitutes". Econometrica . 50 (6): 1483. doi :10.2307/1913392. JSTOR  1913392.
7. Gul, F.; Stacchetti, E. (2000). "La subasta inglesa con productos diferenciados". Revista de teoría económica . 92 : 66–95. doi :10.1006/jeth.1999.2580.
8. Gul, F.; Stacchetti, E. (1999). "Equilibrio walrasiano con sustitutos brutos". Revista de teoría económica . 87 : 95–124. doi :10.1006/jeth.1999.2531.
9. Callan, SJ y Thomas, JM (2007). 'Modelado del proceso de mercado: una revisión de los conceptos básicos', capítulo 2 en Economía y gestión ambiental: teoría, política y aplicaciones , 4.ª ed., Thompson Southwestern, Mason, OH, EE. UU.
10. Ben-Zwi, Oren; Lavi, Ron; Newman, Ilán (2013). "Subastas ascendentes y equilibrio walrasiano". arXiv : 1301.1153v3 [cs.GT].

• Richter, MK; Wong, KC (1999). "No computabilidad del equilibrio competitivo". Teoría económica . 14 : 1–27. doi :10.1007/s001990050281. S2CID  121248813.

Enlaces externos

• Equilibrio competitivo, equilibrio walrasiano y subasta walrasiana en Economics Stack Exchange.