Una división proporcional es una especie de división justa en la que un recurso se divide entre n socios con valoraciones subjetivas, dando a cada socio al menos 1/ n del recurso según su propia valoración subjetiva.
La proporcionalidad fue el primer criterio de equidad estudiado en la literatura; de ahí que a veces se le llame "división equitativa simple". Fue concebido por primera vez por Steinhaus. [1]
Considere un activo de tierra que debe dividirse entre 3 herederos: Alice y Bob, que piensan que vale 3 millones de dólares, y George, que piensa que vale 4,5 millones de dólares. En una división proporcional, Alice recibe un terreno que cree que vale al menos 1 millón de dólares, Bob recibe un terreno que cree que vale al menos 1 millón de dólares (aunque Alice puede pensar que vale menos), y George recibe un terreno que cree que vale al menos 1,5 millones de dólares.
No siempre existe una división proporcional. Por ejemplo, si el recurso contiene varios elementos indivisibles y el número de personas es mayor que el número de elementos, algunas personas no obtendrán ningún elemento y su valor será cero. Sin embargo, tal división existe con alta probabilidad para partidas indivisibles bajo ciertos supuestos sobre las valoraciones de los agentes. [2]
Además, se garantiza la existencia de una división proporcional si se cumplen las siguientes condiciones:
Por lo tanto, la división proporcional generalmente se estudia en el contexto del corte justo del pastel . Consulte corte de pastel proporcional para obtener información detallada sobre los procedimientos para lograr una división proporcional en el contexto del corte de pastel.
Un criterio de equidad más indulgente es la proporcionalidad parcial , en la que cada socio recibe una determinada fracción f ( n ) del valor total, donde f ( n ) ≤ 1/ n . Existen divisiones parcialmente proporcionales (bajo ciertas condiciones) incluso para artículos indivisibles.
Una división superproporcional es una división en la que cada socio recibe estrictamente más de 1/ n del recurso según su propia valoración subjetiva.
Por supuesto, tal división no siempre existe: cuando todos los socios tienen exactamente las mismas funciones de valor, lo mejor que podemos hacer es darle a cada socio exactamente 1/ n . Entonces, una condición necesaria para la existencia de una división superproporcional es que no todos los socios tengan la misma medida de valor.
Lo sorprendente es que, cuando las valoraciones son aditivas y no atómicas, esta condición también es suficiente. Es decir, cuando hay al menos dos socios cuya función de valor es incluso ligeramente diferente, entonces hay una división superproporcional en la que todos los socios reciben más de 1/ n . Consulte división superproporcional para obtener más detalles.
La proporcionalidad (PR) y la ausencia de envidia (EF) son dos propiedades independientes, pero en algunos casos una de ellas puede implicar a la otra.
Cuando todas las valoraciones son funciones de conjuntos aditivos y todo el pastel está dividido, se cumplen las siguientes implicaciones:
Cuando las valoraciones son solo subaditivas , EF todavía implica PR, pero PR ya no implica EF incluso con dos socios: es posible que la participación de Alice valga la mitad a sus ojos, pero la participación de Bob vale aún más. Por el contrario, cuando las valoraciones son sólo superaditivas , PR todavía implica EF con dos socios, pero EF ya no implica PR incluso con dos socios: es posible que la acción de Alice valga 1/4 a sus ojos, pero la de Bob vale incluso menos. De manera similar, cuando no se divide todo el pastel, EF ya no implica PR. Las implicaciones se resumen en la siguiente tabla:
Una ventaja del criterio de proporcionalidad sobre la ausencia de envidia y criterios similares es que es estable con respecto a los intercambios voluntarios.
Como ejemplo, supongamos que una determinada tierra se divide entre 3 socios: Alice, Bob y George, en una división que es a la vez proporcional y libre de envidia. Varios meses después, Alice y George deciden fusionar sus terrenos y volver a dividirlos de una manera que les resulte más rentable. Desde el punto de vista de Bob, la división sigue siendo proporcional, ya que él todavía tiene un valor subjetivo de al menos 1/3 del total, independientemente de lo que Alice y George hagan con sus tramas. Por otro lado, la nueva división podría no estar exenta de envidia. Por ejemplo, es posible que inicialmente tanto Alice como George recibieran un terreno que Bob valora subjetivamente como 1/3, pero ahora, después de la nueva división, George obtuvo todo el valor (a los ojos de Bob), por lo que ahora Bob envidia a George.
Por lo tanto, utilizar la ausencia de envidia como criterio de justicia implica que debemos limitar el derecho de las personas a intercambios voluntarios después de la división. Usar la proporcionalidad como criterio de equidad no tiene implicaciones tan negativas.
Una ventaja adicional de la proporcionalidad es que es compatible con la racionalidad individual en el siguiente sentido. Supongamos que n socios poseen un recurso en común. En muchos escenarios prácticos (aunque no siempre), los socios tienen la opción de vender el recurso en el mercado y dividir los ingresos de manera que cada socio reciba exactamente 1/ n . Por lo tanto, un socio racional aceptará participar en un procedimiento de división, sólo si el procedimiento garantiza que recibirá al menos 1/ n de su valor total.
Además, debería existir al menos una posibilidad (si no una garantía) de que el socio reciba más de 1/ n ; Esto explica la importancia de los teoremas de existencia de la división superproporcional .