En matemáticas , una función de conjunto aditivo es una función que asigna conjuntos a números, con la propiedad de que su valor en una unión de dos conjuntos disjuntos es igual a la suma de sus valores en estos conjuntos, es decir, si esta propiedad de aditividad se cumple para dos conjuntos cualesquiera, entonces también es válido para cualquier número finito de conjuntos, es decir, el valor de la función en la unión de k conjuntos disjuntos (donde k es un número finito) es igual a la suma de sus valores en los conjuntos. Por lo tanto, una función de conjunto aditivo también se denomina función de conjunto finitamente aditiva (los términos son equivalentes). Sin embargo, una función de conjunto finitamente aditiva podría no tener la propiedad de aditividad para una unión de un número infinito de conjuntos. Una función de conjunto σ-aditiva es una función que tiene la propiedad de aditividad incluso para conjuntos contablemente infinitos , es decir,
La aditividad y la aditividad sigma son propiedades de las medidas particularmente importantes . Son abstracciones de cómo se suman las propiedades intuitivas de tamaño ( longitud , área , volumen ) de un conjunto al considerar múltiples objetos. La aditividad es una condición más débil que la σ-aditividad; es decir, σ-aditividad implica aditividad.
El término función de conjunto modular es equivalente a función de conjunto aditivo; ver modularidad a continuación.
Sea una función de conjunto definida en un álgebra de conjuntos con valores en (ver la recta numérica real extendida ). La función se llama aditivo ofinitamente aditiva , si siempreysonconjuntos disjuntosenentonces Una consecuencia de esto es que una función aditiva no puede tomar ambosycomo valores, ya que la expresiónno está definida.
Se puede demostrar por inducción matemática que una función aditiva satisface cualquier conjunto disjunto en
Supongamos que es una σ-álgebra . Si para cada secuencia de conjuntos disjuntos por pares se mantiene, entonces se dice que es contablemente aditivo o 𝜎-aditivo . Toda función 𝜎-aditiva es aditiva, pero no al revés, como se muestra a continuación.
Supongamos que además de un álgebra sigma tenemos una topología Si para cada familia dirigida de conjuntos abiertos mensurables decimos que es -aditiva. En particular, si es interno regular (con respecto a conjuntos compactos), entonces es τ-aditivo. [1]
Las propiedades útiles de una función de conjunto aditivo incluyen las siguientes.
O asigna a todos los conjuntos de su dominio, o asigna a todos los conjuntos de su dominio. Prueba : la aditividad implica que para cada conjunto If entonces esta igualdad sólo puede satisfacerse con más o menos infinito.
Si no es negativo y entonces Es decir, es unFunción de configuración monótona . De manera similar, sino es positivo yentonces
Una función de conjunto en una familia de conjuntos se llama función de conjunto modular y unavaloración si siempreyson elementos deentonces La propiedad anterior se llama modularidad y el argumento siguiente demuestra que la aditividad implica modularidad.
Dado y prueba : escriba y y donde todos los conjuntos de la unión son disjuntos. La aditividad implica que ambos lados de la igualdad son iguales
Sin embargo, las propiedades relacionadas de submodularidad y subaditividad no son equivalentes entre sí.
Tenga en cuenta que la modularidad tiene un significado diferente y no relacionado en el contexto de funciones complejas; ver forma modular .
Si y está definido, entonces
Un ejemplo de una función 𝜎-aditiva es la función definida sobre el conjunto de potencias de los números reales , tal que
Si es una secuencia de conjuntos disjuntos de números reales, entonces ninguno de los conjuntos contiene 0, o precisamente uno de ellos lo contiene. En cualquier caso, la igualdad se cumple.
Consulta medida y medida con signo para ver más ejemplos de funciones 𝜎-aditivas.
Una carga se define como una función de conjunto finitamente aditiva que se asigna a [2] (consulte el espacio ba para obtener información sobre cargas acotadas , donde decimos que una carga está acotada significa que su rango es un subconjunto acotado de R ).
Un ejemplo de una función aditiva que no es σ-aditiva se obtiene considerando , definida sobre los conjuntos de Lebesgue de los números reales mediante la fórmula donde denota la medida de Lebesgue y el límite de Banach . Satisface y si entonces
Se puede comprobar que esta función es aditiva utilizando la linealidad del límite. Que esta función no es σ-aditiva se deduce al considerar la secuencia de conjuntos disjuntos para La unión de estos conjuntos es los reales positivos , y aplicada a la unión es entonces uno, mientras que aplicada a cualquiera de los conjuntos individuales es cero, por lo que la suma de también es cero, lo que prueba el contraejemplo.
Se pueden definir funciones aditivas con valores en cualquier monoide aditivo (por ejemplo, cualquier grupo o, más comúnmente, un espacio vectorial ). Para la aditividad sigma, es necesario además que el concepto de límite de una secuencia esté definido en ese conjunto. Por ejemplo, las medidas espectrales son funciones sigma-aditivas con valores en un álgebra de Banach . Otro ejemplo, también de la mecánica cuántica, es la medida positiva valorada por el operador .
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