Radio de curvatura

En geometría diferencial , el radio de curvatura , $R$ , es el recíproco de la curvatura . Para una curva , es igual al radio del arco circular que mejor se aproxima a la curva en ese punto. Para superficies , el radio de curvatura es el radio de un círculo que mejor se ajusta a una sección normal o combinaciones de las mismas. ^[1]^[2]^[3]

Definición

En el caso de una curva espacial , el radio de curvatura es la longitud del vector de curvatura .

En el caso de una curva plana , entonces $R$ es el valor absoluto de ^[3]

R\equiv \left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|={\frac {1}{\kappa }},

donde $s$ es la longitud del arco desde un punto fijo en la curva, $φ$ es el ángulo tangencial y $κ$ es la curvatura .

Fórmula

En dos dimensiones

Si la curva se da en coordenadas cartesianas como $y (x)$ , es decir, como el gráfico de una función , entonces el radio de curvatura es (suponiendo que la curva es diferenciable hasta el orden 2)

$R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,$

donde y $|$ $z$ $|$ denota el valor absoluto de $z$ . ${\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}$ ${\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

Si la curva está dada paramétricamente por las funciones $x (t)$ e $y (t)$ , entonces el radio de curvatura es

$R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|$

donde y ${\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}$ ${\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$ ${\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}$ ${\textstyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

Heurísticamente, este resultado puede interpretarse como ^[2]

$R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,$

dónde

$\left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.$

Ennortedimensiones

Si $γ$ $: ℝ \to ℝ$ $n$ es una curva parametrizada en $ℝ$ $n$ entonces el radio de curvatura en cada punto de la curva, $ρ$ $: ℝ \to ℝ$ , está dado por ^[3]

$\rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.$

Como caso especial, si $f (t)$ es una función de $ℝ$ a $ℝ$ , entonces el radio de curvatura de su gráfica , $γ (t) = (t, f (t))$ , es

$\rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.$

Derivación

Sea $γ$ como el anterior y fijemos $t$ . Queremos encontrar el radio $ρ$ de un círculo parametrizado que coincida con $γ$ en sus derivadas cero, primera y segunda en $t$ . Claramente, el radio no dependerá de la posición $γ (t)$ , solo de la velocidad $γ'(t)$ y la aceleración $γ ″(t)$ . Solo hay tres escalares independientes que se pueden obtener a partir de dos vectores $v$ y $w$ , a saber, $v \cdot v$ , $v \cdot w$ y $w \cdot w$ . Por lo tanto, el radio de curvatura debe ser una función de los tres escalares $| γ'(t) | 2$ , $| γ ″(t) | 2$ y $γ'(t) \cdot γ ″(t)$ . ^[3]

La ecuación general para un círculo parametrizado en $ℝ n$ es

$\mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c}$

donde $c \in ℝ n$ es el centro del círculo (irrelevante ya que desaparece en las derivadas), $a, b \in ℝ n$ son vectores perpendiculares de longitud $ρ$ (es decir, $a \cdot a = b \cdot b = ρ 2$ y $a \cdot b = 0$ ), y $h : ℝ \to ℝ$ es una función arbitraria que es dos veces diferenciable en $t$ .

Las derivadas relevantes de $g$ resultan ser

${\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}$

Si ahora igualamos estas derivadas de $g$ a las derivadas correspondientes de $γ$ en $t$ obtenemos

${\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}$

Estas tres ecuaciones con tres incógnitas ( $ρ$ , $h'(t)$ y $h ″(t)$ ) se pueden resolver para $ρ$ , obteniéndose la fórmula para el radio de curvatura:

$\rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,$

o, omitiendo el parámetro $t$ para facilitar la lectura,

$\rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.$

Ejemplos

Semicírculos y círculos

Para un semicírculo de radio $a$ en el semiplano superior con ${\textstyle R=|-a|=a\,,}$

${\begin{aligned}y&={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\\y'&={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\\y''&={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,.\end{aligned}}$

Para un semicírculo de radio $a$ en el semiplano inferior $y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,.$

El círculo de radio $a$ tiene un radio de curvatura igual a $a$ .

Elipses

En una elipse con eje mayor $2a$ y eje menor $2b$ , los $vértices$ del eje mayor tienen el radio de curvatura más pequeño de todos los puntos, ; y los vértices del eje menor tienen el radio de curvatura más grande de todos los $puntos$ , $R$ $=$ $⁠$ ${\textstyle R={b^{2} \over a}}$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}un 2/b⁠$ .

El radio de curvatura de una elipse, en función del parámetro $t$ (la amplitud de Jacobi ), es ^[4]

$R(t)={\frac {(b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t)^{3/2}}{ab}}\,,$

dónde ${\textstyle \theta =\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {y}{x}}{\Big )}=\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {b}{a}}\;\tan \;t{\Big )}\,.}$

El radio de curvatura de una elipse, en función de $θ$ , es

$R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,$

donde la excentricidad de la elipse , $e$ , está dada por

$e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,.$

Aplicaciones

Para su uso en geometría diferencial , véase ecuación de Cesàro .
Para el radio de curvatura de la Tierra (aproximado por un elipsoide achatado); véase también: medición del arco
El radio de curvatura también se utiliza en una ecuación de tres partes para la flexión de vigas .
Radio de curvatura (óptica)
Tecnologías de películas delgadas
Electrónica impresa
Radio mínimo de curva de ferrocarril
Sonda AFM

Estrés en estructuras semiconductoras

La tensión en la estructura de semiconductores que involucra películas delgadas evaporadas generalmente resulta de la expansión térmica (tensión térmica) durante el proceso de fabricación. La tensión térmica se produce porque las deposiciones de películas generalmente se realizan por encima de la temperatura ambiente. Al enfriarse desde la temperatura de deposición hasta la temperatura ambiente, la diferencia en los coeficientes de expansión térmica del sustrato y la película causa tensión térmica. ^[5]

La tensión intrínseca resulta de la microestructura creada en la película a medida que los átomos se depositan sobre el sustrato. La tensión de tracción resulta de los microhuecos (pequeños orificios, considerados defectos) en la película delgada, debido a la interacción atractiva de los átomos a través de los huecos.

La tensión en las estructuras semiconductoras de película delgada da como resultado el pandeo de las obleas. El radio de curvatura de la estructura estresada está relacionado con el tensor de tensión en la estructura y se puede describir mediante la fórmula de Stoney modificada. ^[6] La topografía de la estructura estresada, incluidos los radios de curvatura, se puede medir utilizando métodos de escáner óptico. Las herramientas de escáner modernas tienen la capacidad de medir la topografía completa del sustrato y de medir ambos radios de curvatura principales, al tiempo que brindan una precisión del orden del 0,1 % para radios de curvatura de 90 metros y más. ^[7]

Véase también

Referencias

^ Weisstien, Eric. "Radio de curvatura". Wolfram Mathworld . Consultado el 15 de agosto de 2016 .
^ ab Kishan, Hari (2007). Cálculo diferencial. Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.
^ abcd Love, Clyde E. ; Rainville, Earl D. (1962). Cálculo diferencial e integral (sexta edición). Nueva York: MacMillan.
^ Weisstein, Eric W. "Elipse". mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de febrero de 2022 .
^ "Control de la tensión en películas delgadas". Flipchips.com . Consultado el 22 de abril de 2016 .
^ "Sobre la determinación de la tensión de la película a partir de la flexión del sustrato: la fórmula de Stoney y sus límites" (PDF) . Qucosa.de . Archivado desde el original (PDF) el 2017-08-08 . Consultado el 2016-04-22 .
^ Peter Walecki. "Modelo X". Zebraoptical.com . Consultado el 22 de abril de 2016 .

Lectura adicional

do Carmo, Manfredo (1976). Geometría diferencial de curvas y superficies . Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.

Enlaces externos

El Centro de Geometría: Curvaturas Principales
15.3 Curvatura y radio de curvatura Archivado el 29 de abril de 2021 en Wayback Machine.
Weisstein, Eric W. "Curvaturas principales". MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Radio principal de curvatura". MathWorld .