Superficie de curvatura media constante

Nodoide, una superficie con curvatura media constante

Onduloide, una superficie con curvatura media constante

En geometría diferencial , las superficies de curvatura media constante (CMC) son superficies con curvatura media constante . ^{[1] [2]} Esto incluye las superficies mínimas como un subconjunto, pero normalmente se las trata como un caso especial.

Tenga en cuenta que estas superficies son generalmente diferentes de las superficies de curvatura gaussiana constante , con la importante excepción de la esfera .

Historia

En 1841 Delaunay demostró que las únicas superficies de revolución con curvatura media constante eran las superficies obtenidas al girar las ruletas de las cónicas. Estas son el plano, el cilindro, la esfera, la catenoide , la onduloide y la nodoide . ^[3]

En 1853 JH Jellet demostró que si es una superficie compacta en forma de estrella en con curvatura media constante, entonces es la esfera estándar. ^[4] Posteriormente, AD Alexandrov demostró que una superficie compacta empotrada en con curvatura media constante debe ser una esfera, ^[5] y H. Hopf demostró que una esfera sumergida en con curvatura media constante debe ser una esfera estándar. ^[6] Con base en esto, H. Hopf conjeturó en 1956 que cualquier hipersuperficie compacta orientable de curvatura media constante sumergida en debe ser una esfera estándar empotrada . Esta conjetura fue refutada en 1982 por Wu-Yi Hsiang usando un contraejemplo en . En 1984 Henry C. Wente construyó el toro de Wente , una inmersión en de un toro con curvatura media constante. ^[7] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle H\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle H\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Hasta este punto, parecía que las superficies CMC eran raras. En 1987, Nikolaos Kapouleas utilizó técnicas de pegado para construir una plétora de ejemplos de superficies CMC completamente sumergidas en la mayoría de los tipos topológicos y al menos dos extremos. ^{[8] [9]} Posteriormente, Kapouleas construyó superficies CMC compactas en la que cada género era mayor que uno. ^{[10] [11]} En particular, los métodos de pegado parecen permitir combinar superficies CMC de manera bastante arbitraria. ^{[12] [13] [14]} Las superficies de Delaunay también se pueden combinar con "burbujas" sumergidas, conservando sus propiedades CMC. ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Triunduloides con diferentes tamaños de cuello. A medida que varían los tamaños de cuello, cambian las direcciones asintóticas.

Meeks demostró que no hay superficies CMC embebidas con un solo extremo en . ^[16] Korevaar, Kusner y Solomon demostraron que una superficie CMC embebida completa tendrá extremos asintóticos a los onduloides. ^[17] Cada extremo lleva una "fuerza" a lo largo del eje asintótico del onduloide (donde n es la circunferencia de los cuellos), cuya suma debe estar equilibrada para que exista la superficie. El trabajo actual implica la clasificación de familias de superficies CMC embebidas en términos de sus espacios de módulos . ^[18] En particular, para k -unduloides coplanares de género 0 satisfacen para k impar , y para k par  . Como máximo k  − 2 extremos pueden ser cilíndricos. ^[13] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle n(2\pi -n)}$ ${\displaystyle k\geq 3}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}\leq (k-1)\pi }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}\leq k\pi }$

Métodos de generación

Fórmula de representación

Al igual que en el caso de las superficies mínimas, existe un vínculo estrecho con las funciones armónicas. Una superficie orientada en tiene una curvatura media constante si y solo si su mapa de Gauss es un mapa armónico . ^[19] La fórmula de representación de Kenmotsu ^[20] es la contraparte de la parametrización de Weierstrass-Enneper de las superficies mínimas: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Sea un subconjunto abierto simplemente conexo de y una constante real arbitraria distinta de cero. Supóngase que es una función armónica en la esfera de Riemann. Si entonces se define por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi :V\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi _{\bar {z}}\neq 0}$ ${\displaystyle X:V\rightarrow R}$

${\displaystyle X(z)=\Re \int _{z_{0}}^{z}X_{z}(z')\,dz'}$

con

${\displaystyle X_{z}(z)={\frac {-1}{H(1+\phi (z){\bar {\phi }}(z))^{2}}}\left\{(1-\phi (z)^{2},i(1+\phi (z)^{2}),2\phi (z)){\frac {\bar {\partial \phi }}{\partial {\bar {z}}}}(z)\right\}}$

para es una superficie regular que tiene como mapa de Gauss y curvatura media . ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle H}$

Porque y esto produce la esfera. y da un cilindro donde . ${\displaystyle \phi (z)=-1/{\bar {z}}}$ ${\displaystyle H=1}$ ${\displaystyle \phi (z)=-e^{ix}}$ ${\displaystyle H=1/2}$ ${\displaystyle z=x+iv}$

Método de primos conjugados

Lawson demostró en 1970 que cada superficie CMC en tiene una superficie mínima "prima" isométrica en . ^{[21] [22]} Esto permite construcciones a partir de polígonos geodésicos en , que están abarcados por un parche mínimo que puede extenderse a una superficie completa por reflexión, y luego convertirse en una superficie CMC. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$

Toros de CMC

Hitchin, Pinkall , Sterling y Bobenko demostraron que todas las inmersiones de curvatura media constante de un 2-toro en las formas espaciales y pueden describirse en datos puramente algebro-geométricos. Esto puede extenderse a un subconjunto de inmersiones CMC del plano que son de tipo finito. Más precisamente, existe una biyección explícita entre inmersiones CMC de en y , y datos espectrales de la forma donde es una curva hiperelíptica llamada curva espectral, es una función meromórfica en , y son puntos en , es una involución antiholomórfica y es un fibrado lineal en que obedece ciertas condiciones. ^{[23] [24] [25]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},\mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},\mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\lambda ,\rho ,\lambda _{1},\lambda _{2},L)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Métodos numéricos discretos

La geometría diferencial discreta se puede utilizar para producir aproximaciones a superficies CMC (o contrapartes discretas), generalmente minimizando una función de energía adecuada. ^{[26] [27]}

Aplicaciones

Las superficies CMC son naturales para las representaciones de burbujas de jabón , ya que tienen la curvatura correspondiente a una diferencia de presión distinta de cero .

Además de las superficies de burbujas macroscópicas, las superficies CMC son relevantes para la forma de la interfaz gas-líquido en una superficie superhidrofóbica . ^[28]

Al igual que las superficies mínimas triplemente periódicas, ha habido interés en las superficies CMC periódicas como modelos para copolímeros en bloque donde los diferentes componentes tienen una energía o tensión interfacial distinta de cero. Se han construido análogos CMC de las superficies mínimas periódicas, produciendo particiones desiguales del espacio. ^{[29] [30]} Se han observado estructuras CMC en copolímeros tribloque ABC. ^[31]

En arquitectura, las superficies CMC son relevantes para estructuras soportadas por aire, como domos y recintos inflables, así como una fuente de formas orgánicas fluidas. ^[32]

Véase también

• Conjetura de la doble burbuja
• Superficie libre
• Superficie mínima

Referencias

1. Nick Korevaar, Jesse Ratzkin, Nat Smale, Andrejs Treibergs, Un estudio de la teoría clásica de superficies de curvatura media constante en R3, 2002 [1]
2. Carl Johan Lejdfors, Superficies de curvatura media constante. Tesis de maestría, Universidad de Lund, Centro de Ciencias Matemáticas, Matemáticas 2003:E11 [2]
3. C. Delaunay, Sur la superficie de revolución dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl., 6 (1841), 309–320.
4. JH Jellet, Sur la Surface dont la Courbure Moyenne est Constant, J. Math. Pures Appl., 18 (1853), 163–167
5. AD Alexandrov, Teorema de unicidad para superficies en el gran, V. Vestnik, Universidad de Leningrado 13, 19 (1958), 5–8, Amer. Math. Soc. Trans. (Serie 2) 21, 412–416.
6. H. Hopf, Geometría diferencial en gran escala. Springer-Verlag, Berlín, 1983. vii+184 pp.
7. Wente, Henry C. (1986), "Contraejemplo de una conjetura de H. Hopf.", Pacific Journal of Mathematics , 121 : 193–243, doi : 10.2140/pjm.1986.121.193
8. Nikolaos Kapouleas. Superficies de curvatura media constante en el espacio tridimensional euclidiano. . Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 17 (1987), n.º 2, 318–320.
9. Nikolaos Kapouleas. Superficies completas de curvatura media constante en el espacio tridimensional euclidiano Ann. of Math. (2) 131 (1990), núm. 2, 239-330.
10. Nikolaos Kapouleas. Superficies compactas de curvatura media constante en el espacio tridimensional euclidiano J. Differential Geom. 33 (1991), núm. 3, 683-715.
11. Nikolaos Kapouleas. Superficies de curvatura media constante construidas fusionando toros de Wente Invent. Math. 119 (1995), núm. 3, 443-518.
12. Rafe Mazzeo, Daniel Pollack, Pegado y módulos para problemas geométricos no compactos. 1996 arXiv:dg-ga/9601008 [3]
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14. [5] Nikolaos Kapouleas, Christine Breiner, Stephen Kleene. Leyes de conservación y construcciones de pegado para (hiper)superficies de curvatura media constante. Avisos Amer. Math. Soc. 69 (2022), n.º 5, 762–773.
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16. Meeks WH, La topología y geometría de superficies embebidas de curvatura media constante, J. Diff. Geom. 27 (1988) 539–552.
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22. Karsten Grosse-Brauckmann, Robert B Kusner, John M Sullivan . Triunduloides: superficies de curvatura media constante embebidas con tres extremos y género cero. J. Reine Angew. Math., 564, págs. 35–61 2001 arXiv:math/0102183v2 [7]
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31. Samuel P. Gido, Dwight W. Schwark, Edwin L. Thomas, Maria do Carmo Goncalves, Observación de una interfaz de curvatura media no constante en un copolímero tribloque ABC, Macromolecules, 1993, 26 (10), pp 2636–2640
32. Helmut Pottmann, Yang Liu, Johannes Wallner, Alexander Bobenko, Wenping Wang. Geometría de estructuras multicapa de forma libre para arquitectura. ACM Transactions on Graphics – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2007 Volumen 26 Número 3, julio de 2007 Artículo n.° 65 [9]

Enlaces externos

• Superficies CMC en el Proyecto de Gráficos Científicos [10]
• Galería de superficies de GeometrieWerkstatt [11]
• Galería GANG de superficies CMC [12]
• Noid, software para calcular superficies CMC n -noides [13]