Corriente de probabilidad

Valor del flujo de probabilidad en la mecánica cuántica

En mecánica cuántica , la corriente de probabilidad (a veces llamada flujo de probabilidad ) es una cantidad matemática que describe el flujo de probabilidad . Específicamente, si uno piensa en la probabilidad como un fluido heterogéneo , entonces la corriente de probabilidad es la tasa de flujo de este fluido. Es un vector real que cambia con el espacio y el tiempo. Las corrientes de probabilidad son análogas a las corrientes de masa en hidrodinámica y a las corrientes eléctricas en electromagnetismo . Como en esos campos, la corriente de probabilidad (es decir, la densidad de corriente de probabilidad) está relacionada con la función de densidad de probabilidad a través de una ecuación de continuidad . La corriente de probabilidad es invariante bajo la transformación de calibre .

El concepto de corriente de probabilidad también se utiliza fuera de la mecánica cuántica, cuando se trata de funciones de densidad de probabilidad que cambian con el tiempo, por ejemplo en el movimiento browniano y la ecuación de Fokker-Planck . ^[1]

El equivalente relativista de la corriente de probabilidad se conoce como corriente de cuatro probabilidades.

Definición (3-corrientes no relativistas)

Partícula de espín libre 0

En mecánica cuántica no relativista, la corriente de probabilidad j de la función de onda Ψ de una partícula de masa m en una dimensión se define como ^[2] donde $${\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},}$$

• ${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ;
• ${\displaystyle \Psi ^{*}}$denota el conjugado complejo de la función de onda ;
• ${\displaystyle \Re }$denota la parte real ;
• ${\displaystyle \Im }$denota la parte imaginaria .

Nótese que la corriente de probabilidad es proporcional a un wronskiano. ${\displaystyle W(\Psi ,\Psi ^{*}).}$

En tres dimensiones, esto se generaliza a donde denota el operador del o gradiente . Esto se puede simplificar en términos del operador de momento cinético , para obtener $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {\nabla }{i}}\Psi \right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,}$$ ${\displaystyle \nabla }$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$ $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)\,.}$$

Estas definiciones utilizan la base de posición (es decir, para una función de onda en el espacio de posición ), pero es posible el espacio de momento .

Partícula de espín 0 en un campo electromagnético

La definición anterior debe modificarse para un sistema en un campo electromagnético externo . En unidades del SI , una partícula cargada de masa m y carga eléctrica q incluye un término debido a la interacción con el campo electromagnético; ^[3] donde A = A ( r , t ) es el potencial vectorial magnético . El término q A tiene dimensiones de momento. Nótese que aquí se utiliza el momento canónico y no es invariante de calibre , a diferencia del operador de momento cinético . $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$

En unidades gaussianas : donde c es la velocidad de la luz . $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$

Girar-sPartícula en un campo electromagnético

Si la partícula tiene espín , tiene un momento magnético correspondiente , por lo que es necesario agregar un término adicional que incorpore la interacción del espín con el campo electromagnético.

Según el Curso de Física Teórica de Landau-Lifschitz la densidad de corriente eléctrica está en unidades gaussianas: ^[4] $${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-{\frac {2q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

Y en unidades del SI: $${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

Por lo tanto, la corriente de probabilidad (densidad) está en unidades del SI: $${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{e}/q={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

donde S es el vector de espín de la partícula con el momento magnético de espín correspondiente μ _S y el número cuántico de espín s .

Es dudoso que esta fórmula sea válida para partículas con una estructura interna. ^{[ cita requerida ]} El neutrón tiene carga cero pero momento magnético distinto de cero, por lo que sería imposible (excepto que también sería cero en este caso). Para partículas compuestas con una carga distinta de cero, como el protón que tiene un número cuántico de espín s = 1/2 y μ _S = 2,7927· μ N o el deuterón (núcleo H-2) que tiene s = 1 y μ _S = 0,8574· μ _N ^[5] , es matemáticamente posible pero dudoso. ${\displaystyle {\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$

Conexión con la mecánica clásica

La función de onda también se puede escribir en forma exponencial compleja ( polar ): donde R, S son funciones reales de r y t . $${\displaystyle \Psi =Re^{iS/\hbar }}$$

Escrito de esta manera, la densidad de probabilidad es y la corriente de probabilidad es: $${\displaystyle \rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }\left(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)-Re^{iS/\hbar }\left(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)\right].\end{aligned}}}$$

Los términos exponenciales y R ∇ R se cancelan: $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right].}$$

Finalmente, combinando y cancelando las constantes y reemplazando R ² por ρ , se dice que la variación espacial de la fase de una función de onda caracteriza el flujo de probabilidad de la función de onda. Si tomamos la fórmula familiar para el flujo de masa en hidrodinámica: $${\displaystyle \mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,}$$

donde es la densidad de masa del fluido y v es su velocidad (también la velocidad de grupo de la onda). En el límite clásico, podemos asociar la velocidad con la cual es lo mismo que igualar ∇ S con el momento clásico p = m v sin embargo, no representa una velocidad física o momento en un punto ya que la medición simultánea de la posición y la velocidad viola el principio de incertidumbre . Esta interpretación encaja con la teoría de Hamilton-Jacobi , en la que en coordenadas cartesianas viene dada por ∇ S , donde S es la función principal de Hamilton . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tfrac {\nabla S}{m}},}$ $${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$$

La teoría de De Broglie-Bohm equipara la velocidad con en general (no sólo en el límite clásico) por lo que siempre está bien definida. Es una interpretación de la mecánica cuántica. ${\displaystyle {\tfrac {\nabla S}{m}}}$

Motivación

Ecuación de continuidad para la mecánica cuántica

La definición de corriente de probabilidad y la ecuación de Schrödinger se pueden utilizar para derivar la ecuación de continuidad , que tiene exactamente las mismas formas que las de la hidrodinámica y el electromagnetismo . ^[6]

Para alguna función de onda Ψ , sea:

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$sea ​​la densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de volumen, * denota complejo conjugado ). Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\mathcal {V}}dV\,\rho &=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\psi ^{*}+\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left(-{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \right)\psi ^{*}+{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right)\psi \right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,{\frac {i\hbar }{2m}}[(\nabla ^{2}\psi )\psi ^{*}-\psi (\nabla ^{2}\psi ^{*})]\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\&=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {a} \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\\end{aligned}}}$

donde V es cualquier volumen y S es el límite de V.

Esta es la ley de conservación de la probabilidad en mecánica cuántica. La forma integral se expresa como:

$${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0}$$donde es la corriente de probabilidad o el flujo de probabilidad (flujo por unidad de área). $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$

Aquí, al igualar los términos dentro de la integral se obtiene la ecuación de continuidad para la probabilidad: y la ecuación integral también puede reformularse utilizando el teorema de divergencia como: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$.

En particular, si Ψ es una función de onda que describe una partícula individual, la integral en el primer término de la ecuación anterior, sin la derivada temporal, es la probabilidad de obtener un valor dentro de V cuando se mide la posición de la partícula. El segundo término es entonces la velocidad a la que la probabilidad fluye fuera del volumen V . En conjunto, la ecuación establece que la derivada temporal de la probabilidad de que la partícula se mida en V es igual a la velocidad a la que la probabilidad fluye hacia dentro de V .

Al tomar el límite de la integral de volumen para incluir todas las regiones del espacio, una función de onda de buen comportamiento que tiende a cero en los infinitos en el término integral de superficie implica que la derivada temporal de la probabilidad total es cero, es decir, se conserva la condición de normalización. ^[7] Este resultado concuerda con la naturaleza unitaria de los operadores de evolución temporal que preservan la longitud del vector por definición.

Transmisión y reflexión a través de potenciales

En las regiones donde se produce un potencial de paso o una barrera de potencial , la corriente de probabilidad está relacionada con los coeficientes de transmisión y reflexión, respectivamente T y R ; miden el grado en que las partículas se reflejan desde la barrera de potencial o se transmiten a través de ella. Ambos satisfacen: donde T y R pueden definirse por: donde j _inc , j _ref , j _trans son las corrientes de probabilidad incidente, reflejada y transmitida respectivamente, y las barras verticales indican las magnitudes de los vectores de corriente. La relación entre T y R puede obtenerse a partir de la conservación de la probabilidad: $${\displaystyle T+R=1\,,}$$ $${\displaystyle T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {trans} }+\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.}$$

En términos de un vector unitario n normal a la barrera, estos son equivalentemente: donde se requieren los valores absolutos para evitar que T y R sean negativos. $${\displaystyle T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,}$$

Ejemplos

Onda plana

Para una onda plana que se propaga en el espacio: la densidad de probabilidad es constante en todas partes; (es decir, las ondas planas son estados estacionarios ) pero la corriente de probabilidad es distinta de cero: el cuadrado de la amplitud absoluta de la onda multiplicada por la velocidad de la partícula; $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v} }$$

ilustrando que la partícula puede estar en movimiento incluso si su densidad de probabilidad espacial no tiene una dependencia explícita del tiempo.

Partícula en una caja

Para una partícula en una caja , en una dimensión espacial y de longitud L , confinada en la región , los estados propios de energía son y cero en el resto del espacio. Las corrientes de probabilidad asociadas son, ya que ${\displaystyle 0<x<L}$ $${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$$ $${\displaystyle j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$$ $${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}$$

Definición discreta

Para una partícula en una dimensión en tenemos el hamiltoniano donde es el laplaciano discreto, con S siendo el operador de desplazamiento a la derecha en Entonces la corriente de probabilidad se define como con v el operador de velocidad, igual a y X es el operador de posición en Dado que V es usualmente un operador de multiplicación en podemos escribir con seguridad ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle H=-\Delta +V}$ ${\displaystyle -\Delta \equiv 2I-S-S^{\ast }}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle j\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}iv\Psi \right\},}$ ${\displaystyle v\equiv -i[X,\,H]}$ ${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right).}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),}$ $${\displaystyle -i[X,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\left[X,\,-S-S^{\ast }\right]=iS-iS^{\ast }.}$$

Como resultado encontramos: $${\displaystyle {\begin{aligned}j\left(x\right)\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)iv\Psi (x)\right\}&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left((-S\Psi )(x)+\left(S^{\ast }\Psi \right)(x)\right)\right\}\\&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left(-\Psi (x-1)+\Psi (x+1)\right)\right\}\end{aligned}}}$$

Referencias

1. Paul, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (1999). Procesos estocásticos: de la física a las finanzas . Berlín: Springer. pág. 84. ISBN 3-540-66560-9.
2. McMahon, D. (2008). Teoría cuántica de campos . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
3. Ballentine, Leslie E. (1990). Mecánica cuántica . Serie de referencia avanzada de Prentice Hall. Vol. 280. Englewood Cliffs: Prentice Hall. ISBN 0-13-747932-8.
4. ver página 473, ecuación 115.4, LD Landau, EM Lifschitz. "CURSO DE FÍSICA TEÓRICA Vol. 3 – Mecánica Cuántica" (PDF) . ia803206.us.archive.org (3.ª ed.) . Consultado el 29 de abril de 2023 .
5. "Propiedades de espín de los núcleos". www2.chemistry.msu.edu . Consultado el 29 de abril de 2023 .
6. Mecánica cuántica, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
7. Sakurai, Jun John; Napolitano, Jim (2021). Mecánica cuántica moderna (3.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47322-4.

Lectura adicional

• Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-87373-X.