Serie Volterra

Modelo para aproximar efectos no lineales, similar a una serie de Taylor

La serie de Volterra es un modelo de comportamiento no lineal similar a la serie de Taylor . Se diferencia de la serie de Taylor en su capacidad para capturar efectos de "memoria". La serie de Taylor se puede utilizar para aproximar la respuesta de un sistema no lineal a una entrada dada si la salida del sistema depende estrictamente de la entrada en ese momento en particular. En la serie de Volterra, la salida del sistema no lineal depende de la entrada al sistema en todos los demás momentos. Esto proporciona la capacidad de capturar el efecto de "memoria" de dispositivos como capacitores e inductores .

Se ha aplicado en los campos de la medicina ( ingeniería biomédica ) y la biología, especialmente la neurociencia . ^[1] También se utiliza en ingeniería eléctrica para modelar la distorsión de intermodulación en muchos dispositivos, incluidos amplificadores de potencia y mezcladores de frecuencia . ^{[ cita requerida ]} Su principal ventaja radica en su generalización: puede representar una amplia gama de sistemas. Por ello, a veces se considera un modelo no paramétrico .

En matemáticas , una serie de Volterra denota una expansión funcional de una función dinámica, no lineal e invariante en el tiempo . Las series de Volterra se utilizan con frecuencia en la identificación de sistemas . La serie de Volterra, que se utiliza para demostrar el teorema de Volterra, es una suma infinita de integrales convolucionales multidimensionales.

Historia

La serie de Volterra es una versión modernizada de la teoría de los funcionales analíticos del matemático italiano Vito Volterra , en su obra que data de 1887. ^{[2] [3]} Norbert Wiener se interesó en esta teoría en la década de 1920 debido a su contacto con el estudiante de Volterra Paul Lévy . Wiener aplicó su teoría del movimiento browniano para la integración de los funcionales analíticos de Volterra. El uso de la serie de Volterra para el análisis de sistemas se originó a partir de un informe restringido de 1942 en tiempos de guerra ^[4] de Wiener, quien entonces era profesor de matemáticas en el MIT . Usó la serie para hacer un análisis aproximado del efecto del ruido del radar en un circuito receptor no lineal. El informe se hizo público después de la guerra. ^[5] Como método general de análisis de sistemas no lineales, la serie de Volterra comenzó a usarse después de aproximadamente 1957 como resultado de una serie de informes, al principio circulados de forma privada, del MIT y otros lugares. ^[6] El nombre en sí, serie Volterra , comenzó a usarse unos años más tarde.

Teoría matemática

La teoría de la serie de Volterra se puede ver desde dos perspectivas diferentes:

• Un operador que mapea entre dos espacios de funciones (reales o complejos)
• Una aplicación funcional real o compleja de un espacio de funciones a números reales o complejos

La última perspectiva de mapeo funcional se utiliza con más frecuencia debido a la supuesta invariancia temporal del sistema.

Tiempo continuo

Un sistema continuo invariante en el tiempo con x ( t ) como entrada e y ( t ) como salida se puede expandir en la serie de Volterra como

${\displaystyle y(t)=h_{0}+\sum _{n=1}^{N}\int _{a}^{b}\cdots \int _{a}^{b}h_{n}(\tau _{1},\dots ,\tau _{n})\prod _{j=1}^{n}x(t-\tau _{j})\,d\tau _{j}.}$

Aquí, el término constante del lado derecho se suele tomar como cero mediante la elección adecuada del nivel de salida . La función se denomina núcleo de Volterra de orden n . Puede considerarse como una respuesta al impulso de orden superior del sistema. Para que la representación sea única, los núcleos deben ser simétricos en las n variables . Si no es simétrico, puede reemplazarse por un núcleo simetrizado, que es el promedio de las n permutaciones de estas n variables . ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle h_{n}(\tau _{1},\dots ,\tau _{n})}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Si N es finito, se dice que la serie está truncada . Si a , b y N son finitos, la serie se llama doblemente finita .

A veces, el término de orden n se divide por n !, una convención que resulta conveniente cuando se toma la salida de un sistema Volterra como entrada de otro ("en cascada").

La condición de causalidad : dado que en cualquier sistema físicamente realizable la salida solo puede depender de valores previos de la entrada, los núcleos serán cero si alguna de las variables es negativa. Las integrales pueden entonces escribirse sobre la mitad del rango de cero a infinito. Por lo tanto, si el operador es causal, . ${\displaystyle h_{n}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

Teorema de aproximación de Fréchet : El uso de la serie de Volterra para representar una relación funcional invariante en el tiempo se justifica a menudo apelando a un teorema debido a Fréchet . Este teorema establece que una relación funcional invariante en el tiempo (que satisface ciertas condiciones muy generales) puede aproximarse de manera uniforme y con un grado arbitrario de precisión mediante una serie de Volterra de orden finito suficientemente alto. Entre otras condiciones, se requiere que el conjunto de funciones de entrada admisibles para las que se cumplirá la aproximación sea compacto . Por lo general, se considera que es un conjunto de funciones equicontinuo y uniformemente acotado , que es compacto según el teorema de Arzelà-Ascoli . En muchas situaciones físicas, esta suposición sobre el conjunto de entrada es razonable. Sin embargo, el teorema no da ninguna indicación sobre cuántos términos se necesitan para una buena aproximación, que es una cuestión esencial en las aplicaciones. ${\displaystyle x(t)}$

Tiempo discreto

El caso de tiempo discreto es similar al caso de tiempo continuo, excepto que las integrales se reemplazan por sumas:

$${\displaystyle y(n)=h_{0}+\sum _{p=1}^{P}\sum _{\tau _{1}=a}^{b}\cdots \sum _{\tau _{p}=a}^{b}h_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})\prod _{j=1}^{p}x(n-\tau _{j}),}$$donde Cada función se denomina núcleo de Volterra de tiempo discreto . Si P es finito, se dice que el operador de serie está truncado . Si a , b y P son finitos, el operador de serie se denomina serie de Volterra doblemente finita . Si , se dice que el operador es causal . ${\displaystyle P\in \{1,2,\dots \}\cup \{\infty \}.}$ ${\displaystyle h_{p}}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

Siempre podemos considerar, sin pérdida de generalidad, el núcleo como simétrico. De hecho, para la conmutatividad de la multiplicación siempre es posible simetrizarla formando un nuevo núcleo tomado como la media de los núcleos para todas las permutaciones de las variables . ${\displaystyle h_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})}$ ${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{p}}$

Para un sistema causal con núcleos simétricos podemos reescribir el término n -ésimo aproximadamente en forma triangular

${\displaystyle \sum _{\tau _{1}=0}^{M}\sum _{\tau _{2}=\tau _{1}}^{M}\cdots \sum _{\tau _{p}=\tau _{p-1}}^{M}h_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})\prod _{j=1}^{p}x(n-\tau _{j}).}$

Métodos para estimar los coeficientes kernel

La estimación de los coeficientes de Volterra individualmente es complicada, ya que los funcionales de base de la serie de Volterra están correlacionados. Esto conduce al problema de resolver simultáneamente un conjunto de ecuaciones integrales para los coeficientes. Por lo tanto, la estimación de los coeficientes de Volterra generalmente se realiza estimando los coeficientes de una serie ortogonalizada, por ejemplo, la serie de Wiener , y luego recalculando los coeficientes de la serie de Volterra original. El principal atractivo de la serie de Volterra sobre la serie ortogonalizada radica en su estructura intuitiva y canónica, es decir, todas las interacciones de la entrada tienen un grado fijo. Los funcionales de base ortogonalizados generalmente serán bastante complicados.

Un aspecto importante, con respecto al cual difieren los siguientes métodos, es si la ortogonalización de los funcionales de base se debe realizar sobre la especificación idealizada de la señal de entrada (por ejemplo, gaussiana, ruido blanco ) o sobre la realización real de la entrada (es decir, la versión pseudoaleatoria, acotada y casi blanca del ruido blanco gaussiano, o cualquier otro estímulo). Se ha demostrado que los últimos métodos, a pesar de su falta de elegancia matemática, son más flexibles (ya que se pueden acomodar fácilmente entradas arbitrarias) y precisos (debido al efecto de que la versión idealizada de la señal de entrada no siempre es realizable).

Método de correlación cruzada

Este método, desarrollado por Lee y Schetzen, ortogonaliza con respecto a la descripción matemática real de la señal, es decir, la proyección sobre los nuevos funcionales base se basa en el conocimiento de los momentos de la señal aleatoria.

Podemos escribir la serie de Volterra en términos de operadores homogéneos , como

${\displaystyle y(n)=h_{0}+\sum _{p=1}^{P}H_{p}x(n),}$

dónde

${\displaystyle H_{p}x(n)=\sum _{\tau _{1}=a}^{b}\cdots \sum _{\tau _{p}=a}^{b}h_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})\prod _{j=1}^{p}x(n-\tau _{j}).}$

Para permitir la ortogonalización de la identificación, las series de Volterra deben reorganizarse en términos de operadores G ortogonales no homogéneos ( series de Wiener ):

${\displaystyle y(n)=\sum _{p}H_{p}x(n)\equiv \sum _{p}G_{p}x(n).}$

Los operadores G se pueden definir de la siguiente manera:

${\displaystyle E\{H_{i}x(n)G_{j}x(n)\}=0;\quad i<j,}$

${\displaystyle E\{G_{i}x(n)G_{j}x(n)\}=0;\quad i\neq j,}$

siempre que Volterra sea arbitrariamente homogéneo, x ( n ) es un ruido blanco estacionario (SWN) con media cero y varianza A . ${\displaystyle H_{i}x(n)}$

Recordando que todo funcional de Volterra es ortogonal a todo funcional de Wiener de orden mayor, y considerando el siguiente funcional de Volterra:

${\displaystyle H_{\overline {p}}^{*}x(n)=\prod _{j=1}^{\overline {p}}x(n-\tau _{j}),}$

podemos escribir

${\displaystyle E\left\{y(n)H_{\overline {p}}^{*}x(n)\right\}=E\left\{\sum _{p=0}^{\infty }G_{p}x(n)H_{\overline {p}}^{*}x(n)\right\}.}$

Si x es SWN, y dejando , tenemos ${\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}\neq \ldots \neq \tau _{P}}$ ${\displaystyle A=\sigma _{x}^{2}}$

${\displaystyle E\left\{y(n)\prod _{j=1}^{\overline {p}}x(n-\tau _{j})\right\}=E\left\{G_{\overline {p}}x(n)\prod _{j=1}^{\overline {p}}x(n-\tau _{j})\right\}={\overline {p}}!A^{\overline {p}}k_{\overline {p}}(\tau _{1},\dots ,\tau _{\overline {p}}).}$

Entonces, si excluimos los elementos diagonales, es ${\displaystyle {\tau _{i}\neq \tau _{j},\ \forall i,j}}$

${\displaystyle k_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})={\frac {E\left\{y(n)x(n-\tau _{1})\cdots x(n-\tau _{p})\right\}}{p!A^{p}}}.}$

Si queremos considerar los elementos diagonales, la solución propuesta por Lee y Schetzen es

${\displaystyle k_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})={\frac {E\left\{\left(y(n)-\sum \limits _{m=0}^{p-1}G_{m}x(n)\right)x(n-\tau _{1})\cdots x(n-\tau _{p})\right\}}{p!A^{p}}}.}$

El principal inconveniente de esta técnica es que los errores de estimación, cometidos sobre todos los elementos de los núcleos de orden inferior, afectarán a cada elemento diagonal de orden p mediante la suma , concebida como la solución para la estimación de los propios elementos diagonales. Existen fórmulas eficientes para evitar este inconveniente y referencias para la estimación de elementos del núcleo diagonal ^{[7] [8]} ${\displaystyle \sum \limits _{m=0}^{p-1}G_{m}x(n)}$

Una vez identificados los núcleos de Wiener, los núcleos de Volterra se pueden obtener utilizando fórmulas de Wiener a Volterra, como se informa a continuación para una serie de Volterra de quinto orden:

${\displaystyle h_{5}=k_{5},}$

${\displaystyle h_{4}=k_{4},}$

${\displaystyle h_{3}=k_{3}-10A\sum _{\tau _{4}}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4}),}$

${\displaystyle h_{2}=k_{2}-6A\sum _{\tau _{3}}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3}),}$

${\displaystyle h_{1}=k_{1}-3A\sum _{\tau _{2}}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})+15A^{2}\sum _{\tau 2}\sum _{\tau _{3}}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3}),}$

${\displaystyle h_{0}=k_{0}-A\sum _{\tau _{1}}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1})+3A^{2}\sum _{\tau _{1}}\sum _{\tau _{2}}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2}).}$

Método de varianza múltiple

En el algoritmo ortogonal tradicional, el uso de valores altos de entrada tiene la ventaja de estimular la no linealidad de orden alto, de modo de lograr una identificación más precisa de los núcleos de orden alto. Como desventaja, el uso de valores altos causa un alto error de identificación en los núcleos de orden inferior, ^[9] principalmente debido a la no idealidad de la entrada y a errores de truncamiento. ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$

Por el contrario, el uso de números inferiores en el proceso de identificación puede conducir a una mejor estimación del kernel de orden inferior, pero puede ser insuficiente para estimular la no linealidad de orden superior. ${\displaystyle \sigma _{x}}$

Este fenómeno, que puede denominarse localidad de la serie de Volterra truncada, puede revelarse calculando el error de salida de una serie en función de diferentes varianzas de entrada. Esta prueba puede repetirse con series identificadas con diferentes varianzas de entrada, obteniéndose diferentes curvas, cada una con un mínimo en correspondencia con la varianza utilizada en la identificación.

Para superar esta limitación, se debe utilizar un valor bajo para el núcleo de orden inferior y aumentarlo gradualmente para los núcleos de orden superior. Este no es un problema teórico en la identificación del núcleo de Wiener, ya que los funcionales de Wiener son ortogonales entre sí, pero se necesita una normalización adecuada en las fórmulas de conversión de Wiener a Volterra para tener en cuenta el uso de diferentes varianzas. Además, se necesitan nuevas fórmulas de conversión de Wiener a Volterra. ${\displaystyle \sigma _{x}}$

La identificación tradicional del núcleo de Wiener debería modificarse de la siguiente manera: ^[9]

${\displaystyle k_{0}^{(0)}=E\{y^{(0)}(n)\},}$

${\displaystyle k_{1}^{(1)}(\tau _{1})={\frac {1}{A_{1}}}E\left\{y^{(1)}(n)x^{(1)}(n-\tau _{1})\right\},}$

${\displaystyle k_{2}^{(2)}(\tau _{1},\tau _{2})={\frac {1}{2!A_{2}^{2}}}\left\{E\left\{y^{(2)}(n)\prod _{i=1}^{2}x^{(2)}(n-\tau _{i})\right\}-A_{2}k_{0}^{(2)}\delta _{\tau _{1}\tau _{2}}\right\},}$

${\displaystyle k_{3}^{(3)}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})={\frac {1}{3!A_{3}^{3}}}\left\{E\left\{y^{(3)}(n)\prod _{i=1}^{3}x^{(3)}(n-\tau _{i})\right\}-A_{3}^{2}\left[k_{1}^{(3)}(\tau _{1})\delta _{\tau _{2}\tau _{3}}+k_{1}^{(3)}(\tau _{2})\delta _{\tau _{1}\tau _{3}}+k_{1}^{(3)}(\tau _{3})\delta _{\tau _{1}\tau _{2}}\right]\right\}.}$

En las fórmulas anteriores se introducen las funciones de impulso para la identificación de los puntos del núcleo diagonal. Si se extraen los núcleos de Wiener con las nuevas fórmulas, se necesitan las siguientes fórmulas de Wiener a Volterra (explicadas hasta el quinto orden):

${\displaystyle h_{5}=k_{5}^{(5)},}$

${\displaystyle h_{4}=k_{4}^{(4)},}$

${\displaystyle h_{3}=k_{3}^{(3)}-10A_{3}\sum _{\tau _{4}}k_{5}^{(5)}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4}),}$

${\displaystyle h_{2}=k_{2}^{(2)}-6A_{2}\sum _{\tau _{3}}k_{4}^{(4)}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3}),}$

${\displaystyle h_{1}=k_{1}^{(1)}-3A_{1}\sum _{\tau _{2}}k_{3}^{(3)}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})+15A_{1}^{2}\sum _{\tau 2}\sum _{\tau _{3}}k_{5}^{(5)}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3}),}$

${\displaystyle h_{0}=k_{0}^{(0)}-A_{0}\sum _{\tau _{1}}k_{2}^{(2)}(\tau _{1},\tau _{1})+3A_{0}^{2}\sum _{\tau _{1}}\sum _{\tau _{2}}k_{4}^{(4)}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2}).}$

Como se puede observar, el inconveniente con respecto a la fórmula anterior ^[8] es que para la identificación del núcleo de orden n , todos los núcleos inferiores deben identificarse nuevamente con la varianza más alta. Sin embargo, se obtendrá una mejora notable en el MSE de salida si se obtienen los núcleos de Wiener y Volterra con las nuevas fórmulas. ^[9]

Red de retroalimentación

Este método fue desarrollado por Wray y Green (1994) y utiliza el hecho de que una red neuronal simple de dos capas completamente conectadas (es decir, un perceptrón multicapa ) es computacionalmente equivalente a la serie Volterra y, por lo tanto, contiene los núcleos ocultos en su arquitectura. Una vez que se ha entrenado a una red de este tipo para predecir con éxito la salida en función del estado actual y la memoria del sistema, los núcleos se pueden calcular a partir de los pesos y sesgos de esa red.

La notación general para el núcleo Volterra de orden n está dada por

${\displaystyle h_{n}(\tau _{1},\dots ,\tau _{n})=\sum _{i=1}^{M}(c_{i}a_{ni}\omega _{\tau _{1}i}\dots \omega _{\tau _{n}i}),}$

donde es el orden, los pesos del nodo de salida lineal, los coeficientes de la expansión polinómica de la función de salida de los nodos ocultos, y son los pesos de la capa de entrada a la capa oculta no lineal. Es importante destacar que este método permite la extracción del kernel hasta el número de retardos de entrada en la arquitectura de la red. Además, es vital construir cuidadosamente el tamaño de la capa de entrada de la red para que represente la memoria efectiva del sistema. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle a_{ji}}$ ${\displaystyle \omega _{ji}}$

Algoritmo ortogonal exacto

Este método y su versión más eficiente (algoritmo ortogonal rápido) fueron inventados por Korenberg. ^[10] En este método, la ortogonalización se realiza empíricamente sobre la entrada real. Se ha demostrado que funciona con mayor precisión que el método de correlación cruzada. Otra ventaja es que se pueden utilizar entradas arbitrarias para la ortogonalización y que son suficientes menos puntos de datos para alcanzar un nivel deseado de precisión. Además, la estimación se puede realizar de forma incremental hasta que se cumpla algún criterio.

Regresión lineal

La regresión lineal es una herramienta estándar del análisis lineal. Por lo tanto, una de sus principales ventajas es la existencia generalizada de herramientas estándar para resolver regresiones lineales de manera eficiente. Tiene cierto valor educativo, ya que resalta la propiedad básica de las series de Volterra: combinación lineal de funcionales base no lineales. Para la estimación, se debe conocer el orden del original, ya que los funcionales base de Volterra no son ortogonales y, por lo tanto, la estimación no se puede realizar de manera incremental.

Método del núcleo

Este método fue inventado por Franz y Schölkopf ^[11] y se basa en la teoría del aprendizaje estadístico . En consecuencia, este enfoque también se basa en la minimización del error empírico (a menudo llamado minimización del riesgo empírico ). Franz y Schölkopf propusieron que el método kernel podría reemplazar esencialmente la representación de la serie de Volterra, aunque notaron que esta última es más intuitiva. ^[12]

Muestreo diferencial

Este método fue desarrollado por van Hemmen y colaboradores ^[13] y utiliza funciones delta de Dirac para muestrear los coeficientes de Volterra.

Véase también

• Serie de Viena
• Procesamiento de señales polinómicas

Referencias

1. Friston, KJ; Harrison, L.; Penny, W. (2 de abril de 2003). "Modelado causal dinámico". NeuroImage . 19 (4): 1273–1302. doi :10.1016/S1053-8119(03)00202-7. PMID  12948688 . Consultado el 24 de abril de 2024 .
2. Volterra, Vito (1887). Sopra le funzioni che dipendono da altre funzioni . vol. III. Italia: R. Accademia dei Lincei. págs. 97-105.
3. Vito Volterra. Teoría de las ecuaciones funcionales, integrales y enterodiferenciales. Madrid 1927 (español), versión traducida reimpresa en Nueva York: Dover Publications, 1959.
4. Wiener N: Respuesta de un dispositivo no lineal al ruido. Radiation Lab MIT 1942, informe restringido V-16, n.º 129 (112 pp.). Desclasificado en julio de 1946, publicado como informe n.º PB-1-58087, Departamento de Comercio de EE. UU. URL: http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a800212.pdf
5. Ikehara S: Un método de Wiener en un circuito no lineal. MIT 10 de diciembre de 1951, informe técnico n.º 217, Res. Lab. Electron.
6. Los primeros informes del MIT de Brilliant, Zames, George, Hause y Chesler se pueden encontrar en dspace.mit.edu.
7. M. Pirani; S. Orcioni; C. Turchetti (septiembre de 2004). "Estimación de punto de núcleo diagonal de sistemas Volterra-Wiener discretos de orden n ". Revista EURASIP sobre procesamiento de señales aplicado . 2004 (12): 1807–1816.
8. S. Orcioni; M. Pirani; C. Turchetti (2005). "Avances en el método Lee–Schetzen para la identificación de filtros Volterra". Sistemas multidimensionales y procesamiento de señales . 16 (3): 265–284. doi :10.1007/s11045-004-1677-7. S2CID  57663554.
9. Orcioni, Simone (2014). "Mejora de la capacidad de aproximación de las series de Volterra identificadas con un método de correlación cruzada". Dinámica no lineal . 78 (4): 2861–2869. doi : 10.1007/s11071-014-1631-7 .
10. Korenberg, MJ; Bruder, SB; McIlroy, PJ (1988). "Estimación exacta de kernel ortogonal a partir de registros de datos finitos: extensión de la identificación de sistemas no lineales de Wiener". Ann. Biomed. Eng . 16 (2): 201–214. doi :10.1007/BF02364581. PMID  3382067. S2CID  31320729.
11. Franz, Matthias O.; Bernhard Schölkopf (2006). "Una visión unificadora de la teoría de Wiener y Volterra y la regresión polinómica de núcleo". Computación neuronal . 18 (12): 3097–3118. doi :10.1162/neco.2006.18.12.3097. PMID  17052160. S2CID  9268156.
12. Siamack Ghadimi (12 de septiembre de 2019), Determinación de núcleos de Volterra para amplificadores de RF no lineales , Microwaves&RF
13. JL van Hemmen; WM Kistler; EGF Thomas (2000). "Cálculo de núcleos de Volterra para soluciones de ecuaciones diferenciales no lineales". Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 61 (1): 1–21. doi :10.1137/S0036139999336037. hdl : 11370/eda737ae-40d1-4ff3-93d7-6b2434d23d52 .

Lectura adicional

• Barrett JF: Bibliografía de la serie Volterra, expansiones funcionales de Hermite y temas relacionados . Dept. Electr. Engrg, Univ.Tech. Eindhoven, NL 1977, informe TH 77-E-71. (Lista cronológica de los primeros artículos hasta 1977) URL: http://alexandria.tue.nl/extra1/erap/publichtml/7704263.pdf
• Bussgang, JJ; Ehrman, L.; Graham, JW: Análisis de sistemas no lineales con múltiples entradas, Proc. IEEE, vol. 62, n.º 8, págs. 1088-1119, agosto de 1974
• Giannakis GB y Serpendin E: Bibliografía sobre identificación de sistemas no lineales. Procesamiento de señales, 81 2001 533–580. (Orden alfabético hasta 2001) www.elsevier.nl/locate/sigpro
• Korenberg MJ Hunter IW: La identificación de sistemas biológicos no lineales: enfoques del núcleo de Volterra , Annals Biomedical Engineering (1996), Volumen 24, Número 2.
• Kuo YL: Análisis del dominio de frecuencia de redes débilmente no lineales , IEEE Trans. Circuits & Systems, vol. CS-11(4) agosto de 1977; vol. CS-11(5) octubre de 1977 2–6.
• Rugh WJ: Teoría de sistemas no lineales: el enfoque de Volterra-Wiener. Baltimore 1981 (Johns Hopkins Univ Press) http://rfic.eecs.berkeley.edu/~niknejad/ee242/pdf/volterra_book.pdf
• Schetzen M: Las teorías de Volterra y Wiener de sistemas no lineales , Nueva York: Wiley, 1980.