Acotación uniforme

En matemáticas , una familia de funciones uniformemente acotada es una familia de funciones acotadas que pueden estar todas acotadas por la misma constante. Esta constante es mayor o igual que el valor absoluto de cualquier valor de cualquiera de las funciones de la familia.

Definición

Línea real y plano complejo

Dejar

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}}$

sea ​​una familia de funciones indexadas por , donde es un conjunto arbitrario y es el conjunto de números reales o complejos . Llamamos uniformemente acotada si existe un número real tal que ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |f_{i}(x)|\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

Espacio métrico

En general, sea un espacio métrico con métrica , entonces el conjunto ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}$

se llama uniformemente acotado si existe un elemento de y un número real tal que ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

Ejemplos

• Toda secuencia uniformemente convergente de funciones acotadas está uniformemente acotada.
• La familia de funciones definidas para números reales con recorrido a través de los enteros , está uniformemente acotada por 1. ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin nx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$
• La familia de derivadas de la familia anterior no está uniformemente acotada. Cada una está acotada por pero no existe ningún número real tal que para todos los enteros ${\displaystyle f'_{n}(x)=n\,\cos nx,}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle |n|,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |n|\leq M}$ ${\displaystyle n.}$

Referencias

• Ma, Tsoy-Wo (2002). Espacios de Banach-Hilbert, medidas vectoriales, representaciones de grupos . World Scientific. pág. 620pp. ISBN 981-238-038-8.