En matemáticas , la teoría de operadores es el estudio de los operadores lineales en espacios funcionales , comenzando con los operadores diferenciales y los operadores integrales . Los operadores pueden presentarse de forma abstracta por sus características, como operadores lineales acotados u operadores cerrados , y se puede considerar a los operadores no lineales . El estudio, que depende en gran medida de la topología de los espacios funcionales, es una rama del análisis funcional .
Si una colección de operadores forma un álgebra sobre un cuerpo , entonces es un álgebra de operadores . La descripción de las álgebras de operadores es parte de la teoría de operadores.
La teoría de operadores únicos se ocupa de las propiedades y la clasificación de los operadores, uno por uno. Por ejemplo, la clasificación de los operadores normales en términos de sus espectros cae dentro de esta categoría.
El teorema espectral es cualquiera de una serie de resultados sobre operadores lineales o sobre matrices . [1] En términos generales, el teorema espectral proporciona condiciones bajo las cuales un operador o una matriz pueden ser diagonalizados (es decir, representados como una matriz diagonal en alguna base). Este concepto de diagonalización es relativamente sencillo para operadores en espacios de dimensión finita , pero requiere alguna modificación para operadores en espacios de dimensión infinita. En general, el teorema espectral identifica una clase de operadores lineales que pueden ser modelados por operadores de multiplicación , que son tan simples como uno puede esperar encontrar. En un lenguaje más abstracto, el teorema espectral es una declaración sobre C*-álgebras conmutativas . Véase también teoría espectral para una perspectiva histórica.
Ejemplos de operadores a los que se aplica el teorema espectral son los operadores autoadjuntos o, más generalmente, los operadores normales en los espacios de Hilbert .
El teorema espectral también proporciona una descomposición canónica , llamada descomposición espectral , descomposición de valores propios o descomposición propia , del espacio vectorial subyacente sobre el que actúa el operador.
Un operador normal en un espacio de Hilbert complejo H es un operador lineal continuo N : H → H que conmuta con su adjunto hermítico N* , es decir: NN* = N*N . [2]
Los operadores normales son importantes porque el teorema espectral se cumple para ellos. Hoy en día, la clase de operadores normales se entiende bien. Algunos ejemplos de operadores normales son:
El teorema espectral se extiende a una clase más general de matrices. Sea A un operador en un espacio de producto interno de dimensión finita . Se dice que A es normal si A * A = AA * . Se puede demostrar que A es normal si y solo si es diagonalizable unitariamente: por la descomposición de Schur , tenemos A = UTU * , donde U es unitaria y T triangular superior . Como A es normal, TT * = T * T. Por lo tanto, T debe ser diagonal, ya que las matrices triangulares superiores normales son diagonales. Lo inverso es obvio.
En otras palabras, A es normal si y solo si existe una matriz unitaria U tal que donde D es una matriz diagonal . Entonces, las entradas de la diagonal de D son los valores propios de A . Los vectores columna de U son los vectores propios de A y son ortonormales . A diferencia del caso hermítico, las entradas de D no necesitan ser reales.
La descomposición polar de cualquier operador lineal acotado A entre espacios de Hilbert complejos es una factorización canónica como el producto de una isometría parcial y un operador no negativo. [3]
La descomposición polar para matrices se generaliza de la siguiente manera: si A es un operador lineal acotado, entonces existe una factorización única de A como producto A = UP donde U es una isometría parcial, P es un operador autoadjunto no negativo y el espacio inicial de U es el cierre del rango de P.
El operador U debe debilitarse a una isometría parcial, en lugar de unitario, debido a las siguientes cuestiones. Si A es el desplazamiento unilateral en l 2 ( N ), entonces | A | = ( A*A ) 1/2 = I . Por lo tanto, si A = U | A |, U debe ser A , que no es unitario.
La existencia de una descomposición polar es una consecuencia del lema de Douglas :
Lema — Si A , B son operadores acotados en un espacio de Hilbert H , y A*A ≤ B*B , entonces existe una contracción C tal que A = CB . Además, C es única si Ker ( B* ) ⊂ Ker ( C ).
El operador C puede definirse por C ( Bh ) = Ah , extendido por continuidad hasta la clausura de Ran ( B ), y por cero en el complemento ortogonal de Ran( B ) . El operador C está bien definido ya que A*A ≤ B*B implica Ker( B ) ⊂ Ker( A ) . El lema se deduce entonces.
En particular, si A*A = B*B , entonces C es una isometría parcial, que es única si Ker( B* ) ⊂ Ker( C ). En general, para cualquier operador acotado A , donde ( A*A ) 1/2 es la única raíz cuadrada positiva de A*A dada por el cálculo funcional habitual . Así que por el lema, tenemos para alguna isometría parcial U , que es única si Ker( A ) ⊂ Ker( U ). (Nota Ker( A ) = Ker( A*A ) = Ker( B ) = Ker( B* ) , donde B = B* = ( A*A ) 1/2 .) Tome P como ( A*A ) 1/2 y se obtiene la descomposición polar A = UP . Nótese que se puede usar un argumento análogo para mostrar A = P'U' , donde P' es positivo y U' una isometría parcial.
Cuando H es de dimensión finita, U se puede extender a un operador unitario; esto no es cierto en general (ver el ejemplo anterior). Alternativamente, la descomposición polar se puede mostrar utilizando la versión del operador de la descomposición en valores singulares .
Por propiedad del cálculo funcional continuo , | A | está en el C*-álgebra generada por A . Una afirmación similar pero más débil es válida para la isometría parcial: la parte polar U está en el álgebra de von Neumann generada por A . Si A es invertible, U también estará en el C*-álgebra generada por A .
Muchos operadores que se estudian son operadores en espacios de Hilbert de funciones holomorfas , y el estudio del operador está íntimamente ligado a cuestiones de teoría de funciones. Por ejemplo, el teorema de Beurling describe los subespacios invariantes del desplazamiento unilateral en términos de funciones internas, que son funciones holomorfas acotadas en el disco unitario con valores de contorno unimodulares casi en todas partes del círculo. Beurling interpretó el desplazamiento unilateral como una multiplicación por la variable independiente en el espacio de Hardy . [4] El éxito en el estudio de los operadores de multiplicación, y más generalmente de los operadores de Toeplitz (que son la multiplicación, seguida de la proyección sobre el espacio de Hardy) ha inspirado el estudio de cuestiones similares en otros espacios, como el espacio de Bergman .
La teoría de álgebras de operadores pone en primer plano las álgebras de operadores como las C*-álgebras .
El álgebra AC*, A , es un álgebra de Banach sobre el cuerpo de números complejos , junto con una función * : A → A . Se escribe x* para la imagen de un elemento x de A . La función * tiene las siguientes propiedades: [5]
Observación. Las tres primeras identidades indican que A es una *-álgebra . La última identidad se denomina identidad C* y es equivalente a:
La identidad C* es un requisito muy estricto. Por ejemplo, junto con la fórmula del radio espectral , implica que la norma C* está determinada únicamente por la estructura algebraica:
