En geometría , el pequeño dodecaedro estrellado es un poliedro de Kepler-Poinsot , bautizado así por Arthur Cayley y cuyo símbolo de Schläfli es { 5 / 2,5 }. Es uno de los cuatro poliedros regulares no convexos . Está compuesto por 12 caras pentagrámicas , con cinco pentagramas que se encuentran en cada vértice.
Comparte la misma disposición de vértices que el icosaedro regular convexo . También comparte la misma disposición de aristas con el gran icosaedro , con el que forma una figura compuesta uniforme degenerada .
Es la segunda de cuatro estelaciones del dodecaedro (incluido el propio dodecaedro original).
El pequeño dodecaedro estrellado se puede construir de forma análoga al pentagrama, su análogo bidimensional, mediante la extensión de los bordes (caras 1) del politopo central hasta que se alcanza un punto donde se cruzan.
Si las caras del pentagrama se consideran como 5 caras triangulares, comparte la misma topología de superficie que el dodecaedro pentakis , pero con caras de triángulos isósceles mucho más altas , con la altura de las pirámides pentagonales ajustada de modo que los cinco triángulos del pentagrama se vuelvan coplanares. El ángulo crítico es atan(2) por encima de la cara del dodecaedro.
Si consideramos que tiene 12 pentagramas como caras, con estos pentagramas encontrándose en 30 aristas y 12 vértices, podemos calcular su género usando la fórmula de Euler y concluir que el pequeño dodecaedro estrellado tiene género 4. Esta observación, hecha por Louis Poinsot , fue inicialmente confusa, pero Felix Klein demostró en 1877 que el pequeño dodecaedro estrellado podía verse como una cubierta ramificada de la esfera de Riemann por una superficie de Riemann de género 4, con puntos de ramificación en el centro de cada pentagrama. Esta superficie de Riemann, llamada curva de Bring , tiene el mayor número de simetrías de cualquier superficie de Riemann de género 4: el grupo simétrico actúa como automorfismos [1]
Un pequeño dodecaedro estrellado se puede ver en un mosaico de piso en la Basílica de San Marcos , Venecia , realizado por Paolo Uccello c. 1430. [ 2] La misma forma es central en dos litografías de MC Escher : Contraste (Orden y Caos) (1950) y Gravitación (1952). [3]
Para un pequeño dodecaedro estrellado con longitud de arista E,
Su envoltura convexa es el icosaedro regular convexo . También comparte sus aristas con el gran icosaedro ; el compuesto con ambos es el gran icosidodecaedro complejo .
Hay cuatro poliedros uniformes relacionados, construidos como grados de truncamiento. El dual es un gran dodecaedro . El dodecadodecaedro es una rectificación, donde las aristas se truncan hasta convertirse en puntos.
El dodecaedro estrellado pequeño truncado puede considerarse un poliedro uniforme degenerado, ya que las aristas y los vértices coinciden, pero se incluye para completar. Visualmente, parece un dodecaedro regular en la superficie, pero tiene 24 caras en pares superpuestos. Las puntas están truncadas hasta que alcanzan el plano del pentagrama debajo de ellas. Las 24 caras son 12 pentágonos a partir de los vértices truncados y 12 decágonos que toman la forma de pentágonos doblemente enrollados que se superponen a los primeros 12 pentágonos. Las últimas caras se forman truncando los pentagramas originales. Cuando se trunca un { n ⁄ d }-gono, se convierte en un { 2 n ⁄ d }-gono. Por ejemplo, un pentágono truncado { 5 ⁄ 1 } se convierte en un decágono { 10 ⁄ 1 }, por lo que truncar un pentagrama { 5 ⁄ 2 } se convierte en un pentágono doblemente enrollado { 10 ⁄ 2 } (el factor común entre 10 y 2 significa que visitamos cada vértice dos veces para completar el polígono).
