Teorema de Stone-von Neumann

En matemáticas y física teórica , el teorema de Stone-von Neumann se refiere a cualquiera de varias formulaciones diferentes de la unicidad de las relaciones de conmutación canónicas entre operadores de posición y momento . Lleva el nombre de Marshall Stone y John von Neumann . ^{[1] [2] [3] [4]}

Cuestiones de representación de las relaciones de conmutación.

En mecánica cuántica , los observables físicos se representan matemáticamente mediante operadores lineales en espacios de Hilbert .

Para una sola partícula que se mueve sobre la línea real , hay dos observables importantes: posición y momento . En la descripción cuántica de representación de Schrödinger de dicha partícula, el operador de posición x y el operador de momento vienen dados respectivamente por ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}[][x\psi ](x_{0})&=x_{0}\psi (x_{0})\\[][p\psi ](x_{0})&=-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x_{0})\end{aligned}}}$$

distinto de ceroconstante de Planck reducidamultiplicada por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$

Los operadores satisfacen la relación de conmutación canónica del álgebra de Lie, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle [x,p]=xp-px=i\hbar .}$$

Ya en su libro clásico, ^[5] Hermann Weyl observó que esta ley de conmutación era imposible de satisfacer para los operadores lineales p , x que actúan en espacios de dimensión finita a menos que ħ desaparezca. Esto es evidente al tomar la traza en ambos lados de la última ecuación y usar la relación Traza ( AB ) = Traza ( BA ) ; el lado izquierdo es cero, el lado derecho es distinto de cero. Un análisis más detallado muestra que dos operadores autoadjuntos cualesquiera que satisfagan la relación de conmutación anterior no pueden ser ambos acotados (de hecho, un teorema de Wielandt muestra que la relación no puede ser satisfecha por elementos de ningún álgebra normada ^{[nota 1]} ). Por conveniencia de notación, la raíz cuadrada que no desaparece de ℏ puede absorberse en la normalización de p y x , de modo que, efectivamente, se reemplace por 1. Asumiremos esta normalización en lo que sigue.

La idea del teorema de Stone-von Neumann es que dos representaciones irreductibles cualesquiera de las relaciones de conmutación canónicas son unitariamente equivalentes. Sin embargo, dado que los operadores involucrados son necesariamente ilimitados (como se señaló anteriormente), existen cuestiones de dominio complicadas que permiten contraejemplos. ^{[6] : Ejemplo 14.5} Para obtener un resultado riguroso, se debe exigir que los operadores satisfagan la forma exponencial de las relaciones de conmutación canónicas, conocidas como relaciones de Weyl. Los operadores exponenciales son acotados y unitarios. Aunque, como se señala más adelante, estas relaciones son formalmente equivalentes a las relaciones de conmutación canónicas estándar, esta equivalencia no es rigurosa debido (nuevamente) a la naturaleza ilimitada de los operadores. (También hay un análogo discreto de las relaciones de Weyl, que puede cumplirse en un espacio de dimensión finita, ^{[6] : Capítulo 14, Ejercicio 5,} a saber, las matrices de reloj y desplazamiento de Sylvester en el grupo finito de Heisenberg, que se analizan a continuación).

Unicidad de representación

A uno le gustaría clasificar las representaciones de la relación de conmutación canónica mediante dos operadores autoadjuntos que actúan en espacios de Hilbert separables, hasta la equivalencia unitaria . Según el teorema de Stone , existe una correspondencia uno a uno entre operadores autoadjuntos y grupos unitarios de un parámetro (fuertemente continuos).

Sean Q y P dos operadores autoadjuntos que satisfacen la relación de conmutación canónica, [ Q ,  P ] = i , y s y t dos parámetros reales. Introduzca e ^itQ y e ^isP , los grupos unitarios correspondientes dados por el cálculo funcional . (Para los operadores explícitos x y p definidos anteriormente, estos son la multiplicación por e ^itx y el retroceso por traslación x → x + s ). Un cálculo formal ^{[6] : Sección 14.2} (usando un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff ) cede fácilmente

$${\displaystyle e^{itQ}e^{isP}=e^{-ist}e^{isP}e^{itQ}.}$$

Por el contrario, dados dos grupos unitarios de un parámetro U ( t ) y V ( s ) que satisfacen la relación de trenzado

${\displaystyle U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,}$   ( E1 )

diferenciar formalmente en 0 muestra que los dos generadores infinitesimales satisfacen la relación de conmutación canónica anterior. Esta formulación trenzada de las relaciones de conmutación canónicas (CCR) para grupos unitarios de un parámetro se denomina forma Weyl de CCR .

Es importante señalar que la derivación anterior es puramente formal. Dado que los operadores involucrados son ilimitados, los problemas técnicos impiden la aplicación de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff sin suposiciones de dominio adicionales. De hecho, existen operadores que satisfacen la relación de conmutación canónica pero no las relaciones de Weyl ( E1 ). ^{[6] : Ejemplo 14.5} Sin embargo, en casos "buenos", esperamos que los operadores que satisfacen la relación de conmutación canónica también satisfagan las relaciones de Weyl.

El problema pasa entonces a clasificar dos grupos unitarios de un parámetro conjuntamente irreducibles U ( t ) y V ( s ) que satisfacen la relación de Weyl en espacios de Hilbert separables. La respuesta es el contenido del teorema de Stone-von Neumann : todos esos pares de grupos unitarios de un parámetro son unitariamente equivalentes . ^{[6] : Teorema 14.8} En otras palabras, para dos U ( t ) y V ( s ) cualesquiera que actúen conjuntamente de manera irreducible en un espacio de Hilbert H , existe un operador unitario W  : L ² ( R ) → H de modo que

$${\displaystyle W^{*}U(t)W=e^{itx}\quad {\text{and}}\quad W^{*}V(s)W=e^{isp},}$$

pxWUxPe ^{− itQ}  P  e ^itQ = P + tPQ

También existe una extensión sencilla del teorema de Stone-von Neumann a n grados de libertad. ^{[6] : Teorema 14.8} Históricamente, este resultado fue significativo, porque fue un paso clave para demostrar que la mecánica matricial de Heisenberg , que presenta observables y dinámicas de la mecánica cuántica en términos de matrices infinitas, es unitariamente equivalente a la mecánica ondulatoria de Schrödinger. formulación (ver imagen de Schrödinger ),

$${\displaystyle [U(t)\psi ](x)=e^{itx}\psi (x),\qquad [V(s)\psi ](x)=\psi (x+s).}$$

Formulación de la teoría de la representación.

En términos de teoría de la representación, el teorema de Stone-von Neumann clasifica ciertas representaciones unitarias del grupo de Heisenberg . Esto se analiza con más detalle en la sección del grupo Heisenberg, a continuación.

Dicho de manera informal, con ciertas suposiciones técnicas, cada representación del grupo de Heisenberg H _{2 n  + 1} es equivalente a los operadores de posición y operadores de impulso en R ⁿ . Alternativamente, todos son equivalentes al álgebra de Weyl (o álgebra CCR ) en un espacio simpléctico de dimensión 2 n .

Más formalmente, hay una representación unitaria central fuertemente continua, única (a escala) y no trivial.

Esto fue más tarde generalizado por la teoría de Mackey y fue la motivación para la introducción del grupo de Heisenberg en la física cuántica.

En detalle:

• El grupo continuo de Heisenberg es una extensión central del grupo abeliano de Lie R ^{2 n} por una copia de R ,
• el álgebra de Heisenberg correspondiente es una extensión central del álgebra abeliana de Lie R ^{2 n} (con corchetes triviales ) por una copia de R ,
• el grupo discreto de Heisenberg es una extensión central del grupo abeliano libre Z ^{2 n} por una copia de Z , y
• el grupo discreto de Heisenberg módulo p es una extensión central del grupo p abeliano libre ( Z / p Z ) ^{2 n} mediante una copia de Z / p Z.

En todos los casos, si uno tiene una representación H _{2 n  + 1} → A , donde A es un álgebra ^{[ se necesita aclaración ]} y el centro se asigna a cero, entonces simplemente tenemos una representación del grupo abeliano o álgebra correspondiente, que es Fourier teoría . ^{[ se necesita aclaración ]}

Si el centro no se corresponde con cero, uno tiene una teoría más interesante, particularmente si uno se limita a las representaciones centrales .

Concretamente, por representación central se entiende una representación tal que el centro del grupo de Heisenberg se asigna al centro del álgebra : por ejemplo, si se estudian representaciones matriciales o representaciones por operadores en un espacio de Hilbert, entonces el centro de la matriz El álgebra o álgebra de operadores son las matrices escalares . Así, la representación del centro del grupo de Heisenberg está determinada por un valor de escala, llamado valor de cuantificación (en términos de física, la constante de Planck), y si éste llega a cero, se obtiene una representación del grupo abeliano (en términos de física, la constante de Planck). , este es el límite clásico).

Más formalmente, el álgebra de grupos del grupo de Heisenberg sobre su campo de escalares K , escrito K [ H ] , tiene centro K [ R ] , por lo que en lugar de pensar simplemente en el álgebra de grupos como un álgebra sobre el campo K , se puede pensar de ello como un álgebra sobre el álgebra conmutativa K [ R ] . Como el centro de un álgebra matricial o álgebra de operadores son las matrices escalares, una estructura K [ R ] en el álgebra matricial es una elección de matriz escalar, una elección de escala. Dada tal elección de escala, una representación central del grupo de Heisenberg es un mapa de K [ R ] -álgebras K [ H ] → A , que es la forma formal de decir que envía el centro a una escala elegida.

Entonces, el teorema de Stone-von Neumann es que, dada la escala mecánica cuántica estándar (efectivamente, el valor de ħ), cada representación unitaria fuertemente continua es unitariamente equivalente a la representación estándar con posición y momento.

Reformulación mediante transformada de Fourier.

Sea G un grupo abeliano localmente compacto y G ^{^} el dual de Pontryagin de G . La transformada de Fourier-Plancherel definida por

$${\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}(\gamma )=\int _{G}{\overline {\gamma (t)}}f(t)d\mu (t)}$$

grupo C*-álgebra C*( G )GC ₀ ( G ^{^} )espectroC*( G )G ^{^}GR

El grupo G actúa sobre el álgebra C * C ₀ ( G ) por traducción correcta ρ : para s en G y f en C ₀ ( G ) ,

$${\displaystyle (s\cdot f)(t)=f(t+s).}$$

Según el isomorfismo dado anteriormente, esta acción se convierte en la acción natural de G sobre C*( G ^{^} ) :

$${\displaystyle {\widehat {(s\cdot f)}}(\gamma )=\gamma (s){\hat {f}}(\gamma ).}$$

Entonces una representación covariante correspondiente al producto cruzado C *-

$${\displaystyle C^{*}\left({\hat {G}}\right)\rtimes _{\hat {\rho }}G}$$

U ( s )GV ( γ )G ^{^}

$${\displaystyle U(s)V(\gamma )U^{*}(s)=\gamma (s)V(\gamma ).}$$

Es un hecho general que las representaciones covariantes están en correspondencia uno a uno con la representación * del producto cruzado correspondiente. Por otra parte, todas las representaciones irreductibles de

$${\displaystyle C_{0}(G)\rtimes _{\rho }G}$$

compactosL ² ( G )){ U ( s ),  V ( γ )}G = R ${\displaystyle {\mathcal {K}}\left(L^{2}(G)\right)}$

grupo heisenberg

Las relaciones de conmutación canónicas anteriores para P , Q son idénticas a las relaciones de conmutación que especifican el álgebra de Lie del grupo general de Heisenberg H _{2 n +1} para n un entero positivo. Este es el grupo de Lie de ( n  + 2) × ( n  + 2 ) matrices cuadradas de la forma

$${\displaystyle \mathrm {M} (a,b,c)={\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1_{n}&b\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

De hecho, utilizando el grupo de Heisenberg, se puede reformular el teorema de Stone von Neumann en el lenguaje de la teoría de la representación.

Tenga en cuenta que el centro de H _2n+1 consta de matrices M(0, 0,  c ) . Sin embargo, este centro no es el operador de identidad en los CCR originales de Heisenberg. Los generadores de álgebra de Lie del grupo de Heisenberg, por ejemplo para n = 1 , son

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},&Q&={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}},&z&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$

z = log M (0, 0, 1) = exp( z ) − 1

Teorema  :  para cada número real h distinto de cero, existe una representación irreducible U _h que actúa sobre el espacio de Hilbert L 2 ( R ⁿ ) por

$${\displaystyle \left[U_{h}(\mathrm {M} (a,b,c))\right]\psi (x)=e^{i(b\cdot x+hc)}\psi (x+ha).}$$

Todas estas representaciones son unitariamente desiguales ; y cualquier representación irreductible que no sea trivial en el centro de H _n es unitariamente equivalente exactamente a una de éstas.

Tenga en cuenta que U _h es un operador unitario porque es la composición de dos operadores que se ven fácilmente como unitarios: la traslación hacia la izquierda por ha y la multiplicación por una función de valor absoluto 1. Demostrar que U _h es multiplicativo es una tarea sencilla. cálculo. La parte difícil del teorema es mostrar la unicidad; Sin embargo, esta afirmación se desprende fácilmente del teorema de Stone-von Neumann como se indicó anteriormente. A continuación esbozaremos una demostración del correspondiente teorema de Stone-von Neumann para ciertos grupos finitos de Heisenberg.

En particular, las representaciones irreducibles π , π′ del grupo de Heisenberg H _n que no son triviales en el centro de H _n son unitariamente equivalentes si y sólo si π ( z ) = π′ ( z ) para cualquier z en el centro de H _n .

Una representación del grupo de Heisenberg que es importante en la teoría de números y la teoría de formas modulares es la representación theta , llamada así porque la función theta de Jacobi es invariante bajo la acción del subgrupo discreto del grupo de Heisenberg.

Relación con la transformada de Fourier

Para cualquier h distinto de cero , el mapeo

$${\displaystyle \alpha _{h}:\mathrm {M} (a,b,c)\to \mathrm {M} \left(-h^{-1}b,ha,c-a\cdot b\right)}$$

automorfismoH _nH _nU _hU _h αWL ² ( R ⁿ )gH _n

$${\displaystyle WU_{h}(g)W^{*}=U_{h}\alpha (g).}$$

Además, por irreductibilidad de las representaciones U _h , se sigue que hasta un escalar , tal operador W es único (cf. lema de Schur ). Dado que W es unitario, este múltiplo escalar está determinado de forma única y, por tanto, dicho operador W es único.

Teorema  :  el operador W es la transformada de Fourier en L ² ( R ⁿ ) .

Esto significa que, ignorando el factor de (2 π ) ^{n /2} en la definición de la transformada de Fourier,

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-ix\cdot p}e^{i(b\cdot x+hc)}\psi (x+ha)\ dx=e^{i(ha\cdot p+h(c-b\cdot a))}\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-iy\cdot (p-b)}\psi (y)\ dy.}$$

Este teorema tiene la implicación inmediata de que la transformada de Fourier es unitaria , también conocida como teorema de Plancherel . Además,

$${\displaystyle (\alpha _{h})^{2}\mathrm {M} (a,b,c)=\mathrm {M} (-a,-b,c).}$$

Teorema  :  el operador W ₁ tal que

$${\displaystyle W_{1}U_{h}W_{1}^{*}=U_{h}\alpha ^{2}(g)}$$

es el operador de reflexión

$${\displaystyle [W_{1}\psi ](x)=\psi (-x).}$$

De este hecho se desprende fácilmente la fórmula de inversión de Fourier .

Ejemplo: espacio de Segal-Bargmann

El espacio de Segal-Bargmann es el espacio de funciones holomorfas en C ⁿ que son integrables al cuadrado con respecto a una medida gaussiana. Fock observó en la década de 1920 que los operadores

$${\displaystyle a_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}},\qquad a_{j}^{*}=z_{j},}$$

$${\displaystyle \left[a_{j},a_{k}^{*}\right]=\delta _{j,k}.}$$

En 1961, Bargmann demostró que^∗
_jes en realidad el adjunto de a _j con respecto al producto interno proveniente de la medida gaussiana. Tomando combinaciones lineales apropiadas de a _j y a^∗
_j, entonces se pueden obtener operadores de "posición" y "momento" que satisfagan las relaciones de conmutación canónicas. No es difícil demostrar que los exponenciales de estos operadores satisfacen las relaciones de Weyl y que los operadores exponenciales actúan de manera irreducible. ^{[6] : Sección 14.4} El teorema de Stone-von Neumann, por lo tanto, se aplica e implica la existencia de un mapa unitario desde L ² ( R ⁿ ) al espacio de Segal-Bargmann que entrelaza los operadores habituales de aniquilación y creación con los operadores a _j y a.^∗
_j. Este mapa unitario es la transformada de Segal-Bargmann .

Representaciones de grupos finitos de Heisenberg.

El grupo de Heisenberg H _n ( K ) se define para cualquier anillo conmutativo K . En esta sección especialicémonos en el campo K = Z / p Z para p un primo. Este campo tiene la propiedad de que hay una incrustación ω de K como grupo aditivo en el grupo circular T. Tenga en cuenta que H _n ( K ) es finito con cardinalidad | k | ^{2 norte  + 1} . Para el grupo finito de Heisenberg H _n ( K ), se puede dar una prueba simple del teorema de Stone-von Neumann utilizando propiedades simples de funciones de caracteres de representaciones. Estas propiedades se derivan de las relaciones de ortogonalidad para caracteres de representaciones de grupos finitos.

Para cualquier h distinto de cero en K, defina la representación U _h en el espacio producto interno de dimensión finita ℓ ² ( K ⁿ ) por

$${\displaystyle \left[U_{h}\mathrm {M} (a,b,c)\psi \right](x)=\omega (b\cdot x+hc)\psi (x+ha).}$$

Teorema  :  para un h fijo distinto de cero , la función de carácter χ de U _h viene dada por:

$${\displaystyle \chi (\mathrm {M} (a,b,c))={\begin{cases}|K|^{n}\,\omega (hc)&{\text{if }}a=b=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Resulta que

$${\displaystyle {\frac {1}{\left|H_{n}(\mathbf {K} )\right|}}\sum _{g\in H_{n}(K)}|\chi (g)|^{2}={\frac {1}{|K|^{2n+1}}}|K|^{2n}|K|=1.}$$

Por las relaciones de ortogonalidad para caracteres de representaciones de grupos finitos, este hecho implica el correspondiente teorema de Stone-von Neumann para grupos de Heisenberg H _n ( Z / p Z ) , particularmente:

• Irreductibilidad de U _h
• Inequivalencia por pares de todas las representaciones U _h .

En realidad, todas las representaciones irreductibles de H _n ( K ) sobre las cuales actúa el centro de manera no trivial surgen de esta manera. ^{[6] : Capítulo 14, Ejercicio 5}

Generalizaciones

El teorema de Stone-von Neumann admite numerosas generalizaciones. Gran parte del trabajo inicial de George Mackey estuvo dirigido a obtener una formulación ^[7] de la teoría de representaciones inducidas desarrollada originalmente por Frobenius para grupos finitos en el contexto de representaciones unitarias de grupos topológicos localmente compactos.

Ver también

• Representación del oscilador
• Transformada de Wigner-Weyl
• Álgebras CCR y CAR (para bosones y fermiones respectivamente)
• Espacio Segal-Bargmann
• producto moyal
• álgebra de Weyl
• Teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro
• Teorema de Hille-Yosida
• C0-semigrupo

Notas

1. [ x ⁿ ,  p ] = i  ℏ  nx ^{n  − 1} , por lo tanto 2‖ p ‖ ‖ x ‖ ⁿ ≥ n  ℏ ‖ x ‖ ^{n  − 1} , de modo que, ∀ n : 2‖ p ‖ ‖ x ‖ ≥ n  ℏ .

Referencias

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2. von Neumann, J. (1932), "Ueber Einen Satz Von Herrn MH Stone", Annals of Mathematics , segunda serie (en alemán), 33 (3), Annals of Mathematics: 567–573, doi :10.2307/1968535, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968535
3. Stone, MH (1930), "Transformaciones lineales en el espacio de Hilbert. III. Métodos operativos y teoría de grupos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 16 (2), Academia Nacional de Ciencias: 172– 175, código Bib : 1930PNAS...16..172S, doi : 10.1073/pnas.16.2.172 , ISSN  0027-8424, JSTOR  85485, PMC 1075964 , PMID  16587545 
4. Stone, MH (1932), "Sobre grupos unitarios de un parámetro en el espacio de Hilbert", Annals of Mathematics , 33 (3): 643–648, doi :10.2307/1968538, JSTOR  1968538
5. Weyl, H. (1927), "Quantenmechanik und Gruppentheorie", Zeitschrift für Physik , 46 (1927) págs. 1–46, doi :10.1007/BF02055756; Weyl, H., La teoría de los grupos y la mecánica cuántica , Publicaciones de Dover, 1950, ISBN 978-1-163-18343-4 . 
6. Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
7. Mackey, GW (1976). La teoría de las representaciones de grupos unitarios , The University of Chicago Press, 1976.

• Kirillov, AA (1976), Elementos de la teoría de las representaciones , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 220, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-07476-4, SEÑOR  0407202
• Rosenberg, Jonathan (2004) "Una historia selectiva del teorema de Stone-von Neumann" Matemáticas contemporáneas 365 . Sociedad Matemática Estadounidense.
• Veranos, Stephen J. (2001). "Sobre el teorema de unicidad de Stone-von Neumann y sus ramificaciones". En John von Neumann y los fundamentos de la física cuántica , págs. 135-152. Springer, Dordrecht, 2001, en línea.