Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds

Enfoque de modelado de turbulencia

Las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds ( ecuaciones RANS ) son ecuaciones de movimiento promediadas en el tiempo ^{[a] para} el flujo de fluidos . La idea detrás de las ecuaciones es la descomposición de Reynolds , por la cual una cantidad instantánea se descompone en sus cantidades promediadas en el tiempo y fluctuantes, una idea propuesta por primera vez por Osborne Reynolds . ^[1] Las ecuaciones RANS se utilizan principalmente para describir flujos turbulentos . Estas ecuaciones se pueden utilizar con aproximaciones basadas en el conocimiento de las propiedades de la turbulencia del flujo para dar soluciones aproximadas promediadas en el tiempo a las ecuaciones de Navier-Stokes . Para un flujo estacionario de un fluido newtoniano incompresible , estas ecuaciones se pueden escribir en notación de Einstein en coordenadas cartesianas como: $${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].}$$

El lado izquierdo de esta ecuación representa el cambio en el momento medio de un elemento de fluido debido a la inestabilidad en el flujo medio y la convección por el flujo medio. Este cambio se equilibra con la fuerza media del cuerpo, la tensión isotrópica debido al campo de presión media, las tensiones viscosas y la tensión aparente debido al campo de velocidad fluctuante, generalmente denominada tensión de Reynolds . Este término de tensión de Reynolds no lineal requiere un modelado adicional para cerrar la ecuación RANS para su resolución, y ha llevado a la creación de muchos modelos de turbulencia diferentes . El operador de promedio temporal es un operador de Reynolds . ${\displaystyle \left(-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {.}}}$

Derivación de ecuaciones RANS

La herramienta básica requerida para la derivación de las ecuaciones RANS a partir de las ecuaciones instantáneas de Navier-Stokes es la descomposición de Reynolds . La descomposición de Reynolds se refiere a la separación de la variable de flujo (como la velocidad ) en el componente medio (promediado en el tiempo) ( ) y el componente fluctuante ( ). Debido a que el operador medio es un operador de Reynolds , tiene un conjunto de propiedades. Una de estas propiedades es que la media de la cantidad fluctuante es igual a cero . Por lo tanto, donde es el vector de posición. Algunos autores ^[2] prefieren usar en lugar de para el término medio (ya que a veces se usa una barra superior para representar un vector). En este caso, el término fluctuante se representa en cambio por . Esto es posible porque los dos términos no aparecen simultáneamente en la misma ecuación. Para evitar confusiones, se utilizará la notación , , y para representar los términos instantáneo, medio y fluctuante, respectivamente. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\overline {u}}}$ ${\displaystyle u^{\prime }}$ ${\displaystyle ({\bar {u'}}=0)}$ $${\displaystyle u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x}})+u'({\boldsymbol {x}},t),}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x,y,z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle u^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle u'}$

Las propiedades de los operadores de Reynolds son útiles para la derivación de las ecuaciones RANS. Utilizando estas propiedades, las ecuaciones de movimiento de Navier-Stokes, expresadas en notación tensorial, son (para un fluido newtoniano incompresible): donde es un vector que representa fuerzas externas. $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$$ ${\displaystyle f_{i}}$

A continuación, cada cantidad instantánea se puede dividir en componentes promediados en el tiempo y fluctuantes, y la ecuación resultante promediada en el tiempo, ^[b] para obtener:

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{j}^{\prime }{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$$

La ecuación del momento también se puede escribir como, ^[c]

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{j}}}.}$$Tras posteriores manipulaciones, se obtiene lo siguiente: $${\displaystyle \rho {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right]}$$

donde, es la tasa media del tensor de deformación. ${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$

Finalmente, dado que la integración en el tiempo elimina la dependencia temporal de los términos resultantes, se debe eliminar la derivada temporal, quedando: $${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].}$$

Ecuaciones de tensión de Reynolds

La ecuación de evolución temporal de la tensión de Reynolds se obtiene mediante la ecuación ^[3] . Esta ecuación es muy complicada. Si se traza, se obtiene la energía cinética de la turbulencia . El último término es la tasa de disipación turbulenta. Todos los modelos RANS se basan en la ecuación anterior. $${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}=-{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}}-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$

Aplicaciones (modelado RANS)

• Se determinó un modelo para probar el rendimiento que, cuando se combina con el método de red de vórtices (VLM) o el método de elementos de contorno (BEM), RANS resultó útil para modelar el flujo de agua entre dos hélices de rotación contraria, donde VLM o BEM se aplican a las hélices y RANS se utiliza para el estado entre hélices con flujo dinámico. ^[4]
• Las ecuaciones RANS se han utilizado ampliamente como modelo para determinar las características del flujo y evaluar el confort del viento en entornos urbanos. Este enfoque computacional se puede ejecutar a través de cálculos directos que implican la solución de las ecuaciones RANS, o a través de un método indirecto que implica el entrenamiento de algoritmos de aprendizaje automático utilizando las ecuaciones RANS como base. El enfoque directo es más preciso que el indirecto, pero requiere experiencia en métodos numéricos y dinámica de fluidos computacional (CFD), así como recursos computacionales sustanciales para manejar la complejidad de las ecuaciones. ^[5]

Notas

1. El promedio temporal verdadero ( ) de una variable ( ) se define por Para que este sea un término bien definido, el límite ( ) debe ser independiente de la condición inicial en . En el caso de un sistema dinámico caótico , que se cree que son las ecuaciones en condiciones turbulentas, esto significa que el sistema solo puede tener un atractor extraño , un resultado que aún debe demostrarse para las ecuaciones de Navier-Stokes. Sin embargo, suponiendo que exista el límite (lo que ocurre para cualquier sistema acotado, que sin duda lo son las velocidades del fluido), existe alguno tal que la integración de a es arbitrariamente cercana al promedio. Esto significa que, dados los datos transitorios durante un tiempo suficientemente grande, el promedio se puede calcular numéricamente dentro de un pequeño error. Sin embargo, no existe una forma analítica de obtener un límite superior en . ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\bar {X}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x\,dt.}$$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
2. Dividir cada cantidad instantánea en sus componentes promediados y fluctuantes da como resultado, Promediar en el tiempo estas ecuaciones da como resultado, Nótese que los términos no lineales (como ) se pueden simplificar a $${\displaystyle {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}+\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}=\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$$ $${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}=0}$$ $${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}}+{\overline {\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}}}={\overline {\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)}}-{\frac {1}{\rho }}{\overline {\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}+\nu {\overline {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}.}$$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$ $${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}={\overline {\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right)}}={\overline {{\bar {u_{i}}}{\bar {u}}_{j}+{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }+u_{i}^{\prime }{\bar {u}}_{j}+u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}={\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}+{\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$$
3. Esto se desprende de la ecuación de conservación de masa que da, $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{i}}}=0}$$

Véase también

• Promedio de Favre

Referencias

1. Reynolds, Osborne (1895). "Sobre la teoría dinámica de fluidos viscosos incompresibles y la determinación del criterio". Philosophical Transactions of the Royal Society of London A . 186 : 123–164. Bibcode :1895RSPTA.186..123R. doi : 10.1098/rsta.1895.0004 . JSTOR  90643.
2. Tennekes, H.; Lumley, JL (1992). Un primer curso sobre turbulencia (14.ª edición impresa). Cambridge, Mass. [ua]: MIT Press. ISBN 978-0-262-20019-6.
3. PY Chou (1945). "Sobre correlaciones de velocidad y las soluciones de las ecuaciones de fluctuación turbulenta". Quart. Appl. Math . 3 : 38–54. doi : 10.1090/qam/11999 .
4. Su, Yiran; Kinnas, Spyros A.; Jukola, Hannu (junio de 2017). "Aplicación de un método interactivo BEM/RANS a hélices contrarrotativas" (PDF) . www.marinepropulsors.com . Espoo , Finlandia: Simposio internacional sobre propulsión marina. (Su: Ocean Engineering Group, Department of Civil, Architectural and Environmental Engineering The University of Texas at Austin ; Jukola: Steerprop Ltd. PO Box 217, FI-26101 Rauma, Finlandia ). pág. 1 . Consultado el 2 de julio de 2021 – vía Google Scholar .{{cite web}}: CS1 maint: date and year (link)
5. BenMoshe, Nir; Fattal, Eyal; Leitl, Bernd; Arav, Yehuda (junio de 2023). "Uso del aprendizaje automático para predecir el flujo del viento en áreas urbanas". Atmósfera . 14 (6): 990. doi : 10.3390/atmos14060990 .