estrés de reynolds

Concepto en mecánica de fluidos.

En dinámica de fluidos , la tensión de Reynolds es el componente del tensor de tensión total en un fluido obtenido de la operación de promedio sobre las ecuaciones de Navier-Stokes para tener en cuenta las fluctuaciones turbulentas en el momento del fluido .

Definición

El campo de velocidades de un flujo se puede dividir en una parte media y una parte fluctuante mediante la descomposición de Reynolds . Nosotros escribimos

${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u_{i}',\,}$

siendo el vector de velocidad del flujo que tiene componentes en la dirección de las coordenadas (denotando las componentes del vector de coordenadas ). Las velocidades medias se determinan mediante un promedio de tiempo , un promedio espacial o un promedio de conjunto , dependiendo del flujo bajo estudio. Además, denota la parte fluctuante (turbulencia) de la velocidad. ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$ ${\displaystyle u'_{i}}$

Consideramos un fluido homogéneo, cuya densidad ρ se considera constante. Para tal fluido, los componentes _τ'ij del tensor de tensión de Reynolds se definen como:

${\displaystyle \tau '_{ij}\equiv \rho \,{\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

Otra definición (utilizada con frecuencia) para densidad constante de los componentes de la tensión de Reynolds es:

${\displaystyle \tau ''_{ij}\equiv {\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

que tiene las dimensiones de velocidad al cuadrado, en lugar de tensión.

Promedio y estrés de Reynolds

A modo de ilustración, se utiliza la notación de índice vectorial cartesiano . Para simplificar, considere un fluido incompresible :

Dada la velocidad del fluido en función de la posición y el tiempo, escriba la velocidad promedio del fluido como y la fluctuación de la velocidad es . Entonces . ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$ ${\displaystyle u'_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u'_{i}}$

Las reglas convencionales de promediación de conjuntos son que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bar {a}}}&={\bar {a}},\\{\overline {a+b}}&={\bar {a}}+{\bar {b}},\\{\overline {a{\bar {b}}}}&={\bar {a}}{\bar {b}}.\end{aligned}}}$

Se dividen las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) o las ecuaciones de Navier-Stokes en una parte promedio y una parte fluctuante. Se encuentra que al promediar las ecuaciones de fluidos, aparece una tensión en el lado derecho de la forma . Esta es la tensión de Reynolds, escrita convencionalmente : ${\displaystyle \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

${\displaystyle R_{ij}\ \equiv \ \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$

La divergencia de esta tensión es la densidad de fuerza sobre el fluido debido a las fluctuaciones turbulentas.

Promedio de Reynolds de las ecuaciones de Navier-Stokes

Por ejemplo, para un fluido newtoniano viscoso e incompresible , las ecuaciones de continuidad y momento (las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes ) se pueden escribir (en forma no conservativa) como

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0,}$

y

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right),}$

¿Dónde está la derivada lagrangiana o la derivada sustancial ? ${\displaystyle D/Dt}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

Al definir las variables de flujo anteriores con un componente promediado en el tiempo y un componente fluctuante, las ecuaciones de continuidad y momento se convierten en

${\displaystyle {\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{i}}}=0,}$

y

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Al examinar uno de los términos del lado izquierdo de la ecuación del momento, se ve que

${\displaystyle \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}-\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}},}$

donde el último término del lado derecho desaparece como resultado de la ecuación de continuidad. En consecuencia, la ecuación del momento se convierte en

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Ahora se promediarán las ecuaciones de continuidad y momento. Es necesario emplear las reglas de conjunto de promediación, teniendo presente que el promedio de productos de cantidades fluctuantes no desaparecerá en general. Después de promediar, las ecuaciones de continuidad y momento quedan

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0,}$

y

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Usando la regla del producto en uno de los términos del lado izquierdo, se revela que

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}={\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{i}}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}},}$

donde el último término del lado derecho desaparece como resultado de la ecuación de continuidad promediada. La ecuación de impulso promedio ahora queda, después de un reordenamiento:

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}-\rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}\right),}$

donde las tensiones de Reynolds, , se recogen con los términos de tensión normal viscosa y de corte , . ${\displaystyle \rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}$ ${\displaystyle \mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}}$

Discusión

La ecuación de evolución temporal de la tensión de Reynolds fue dada por primera vez por la ecuación (1.6) en el artículo de Zhou Peiyuan . ^[1] La ecuación en forma moderna es

$${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}} _{\rm {storage}}+\!\!\underbrace {{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {mean~advection}}=-\ \underbrace {{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {shear~production}}+\underbrace {\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}} _{\rm {pressure-scrambling}}-\underbrace {{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)} _{\rm {transport~terms}}-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}},}$$

viscosidad cinemáticaenergía cinética de turbulencia ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu {\overline {{\tfrac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\tfrac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle g}$

La pregunta entonces es ¿cuál es el valor de la tensión de Reynolds? Esto ha sido objeto de intenso modelado e interés durante aproximadamente el siglo pasado. El problema se reconoce como un problema de cierre , similar al problema de cierre en la jerarquía BBGKY . Se puede encontrar una ecuación de transporte para la tensión de Reynolds tomando el producto exterior de las ecuaciones del fluido para la velocidad fluctuante consigo mismo.

Se encuentra que la ecuación de transporte para la tensión de Reynolds incluye términos con correlaciones de orden superior (específicamente, la triple correlación ), así como correlaciones con fluctuaciones de presión (es decir, el impulso transmitido por las ondas sonoras). Una solución común es modelar estos términos mediante simples prescripciones ad hoc . ${\displaystyle {\overline {v'_{i}v'_{j}v'_{k}}}}$

La teoría de la tensión de Reynolds es bastante análoga a la teoría cinética de los gases y, de hecho, se puede considerar que el tensor de tensión en un fluido en un punto es el promedio conjunto de la tensión debida a las velocidades térmicas de las moléculas en un punto dado. un fluido. Así, por analogía, a veces se piensa que la tensión de Reynolds consiste en una parte de presión isotrópica, denominada presión turbulenta, y una parte fuera de la diagonal que puede considerarse como una viscosidad turbulenta efectiva.

De hecho, si bien se ha invertido mucho esfuerzo en desarrollar buenos modelos para la tensión de Reynolds en un fluido, en la práctica, cuando se resuelven las ecuaciones de fluidos utilizando dinámica de fluidos computacional, a menudo los modelos de turbulencia más simples resultan ser los más efectivos. Una clase de modelos, estrechamente relacionada con el concepto de viscosidad turbulenta, son los modelos de turbulencia k-épsilon , basados ​​en ecuaciones de transporte acopladas para la densidad de energía turbulenta (similar a la presión turbulenta, es decir, la traza de la tensión de Reynolds) y la viscosidad turbulenta. tasa de disipación . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Normalmente, el promedio se define formalmente como un promedio de conjunto como en la teoría estadística de conjuntos . Sin embargo, desde un punto de vista práctico, el promedio también puede considerarse como un promedio espacial sobre alguna escala de longitud, o un promedio temporal. Tenga en cuenta que, si bien formalmente la conexión entre tales promedios está justificada en la mecánica estadística de equilibrio por el teorema ergódico , la mecánica estadística de la turbulencia hidrodinámica está actualmente lejos de comprenderse. De hecho, la tensión de Reynolds en cualquier punto dado de un fluido turbulento está sujeta a interpretación, dependiendo de cómo se defina el promedio.

Referencias

1. PY Chou (1945). "Sobre las correlaciones de velocidad y las soluciones de las ecuaciones de fluctuación turbulenta". Cuarto de galón. Aplica. Matemáticas . 3 : 38–54. doi : 10.1090/qam/11999 .

• Hinze, JO (1975). Turbulencia (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-029037-7.
• Tennekes, H .; Lumley, JL (1972). Un primer curso de turbulencias . Prensa del MIT. ISBN 0-262-20019-8.
• Papa, Stephen B. (2000). Flujos turbulentos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-59886-9.