Fórmula de Landau-Zener

Fórmula para la probabilidad de que un sistema cambie entre dos estados de energía.

Esquema de un cruce evitado . El gráfico representa las energías del sistema a lo largo de un parámetro z (que puede variar en el tiempo). Las líneas discontinuas representan las energías de los estados diabáticos, que se cruzan entre sí en z _c , y las líneas continuas representan la energía de los estados adiabáticos (valores propios del hamiltoniano).

La fórmula de Landau-Zener es una solución analítica a las ecuaciones de movimiento que rigen la dinámica de transición de un sistema cuántico de dos estados , con un hamiltoniano dependiente del tiempo que varía de modo que la separación energética de los dos estados es una función lineal del tiempo. La fórmula, que da la probabilidad de una transición diabática (no adiabática ) entre los dos estados de energía, fue publicada por separado por Lev Landau , ^[1] Clarence Zener , ^[2] Ernst Stueckelberg , ^[3] y Ettore Majorana , ^[4] en 1932.

Si el sistema comienza, en el pasado infinito, en el estado propio de energía más baja, queremos calcular la probabilidad de encontrar el sistema en el estado propio de energía más alta en el futuro infinito (la llamada transición de Landau-Zener). Para una variación infinitamente lenta de la diferencia de energía (es decir, una velocidad de Landau-Zener de cero), el teorema adiabático nos dice que no se producirá tal transición, ya que el sistema siempre estará en un estado propio instantáneo del hamiltoniano en ese momento en el tiempo. A velocidades distintas de cero, las transiciones ocurren con probabilidad como se describe en la fórmula de Landau-Zener.

Condiciones y aproximación

Estas transiciones se producen entre estados de todo el sistema; por lo tanto, cualquier descripción del sistema debe incluir todas las influencias externas, incluidas las colisiones y los campos eléctricos y magnéticos externos . Para que las ecuaciones de movimiento del sistema puedan resolverse analíticamente, se realiza un conjunto de simplificaciones, conocidas colectivamente como la aproximación de Landau-Zener. Las simplificaciones son las siguientes:

1. El parámetro de perturbación en el hamiltoniano es una función lineal conocida del tiempo.
2. La separación energética de los estados diabáticos varía linealmente con el tiempo.
3. El acoplamiento en la matriz hamiltoniana diabática es independiente del tiempo

La primera simplificación convierte este tratamiento en un tratamiento semiclásico. En el caso de un átomo en un campo magnético, la intensidad del campo se convierte en una variable clásica que puede medirse con precisión durante la transición. Este requisito es bastante restrictivo, ya que un cambio lineal no será, en general, el perfil óptimo para lograr la probabilidad de transición deseada.

La segunda simplificación nos permite realizar la sustitución

${\displaystyle \Delta E=E_{2}(t)-E_{1}(t)\equiv \alpha t,\,}$

donde y son las energías de los dos estados en el tiempo t , dadas por los elementos diagonales de la matriz hamiltoniana, y es una constante. Para el caso de un átomo en un campo magnético esto corresponde a un cambio lineal en el campo magnético. Para un desplazamiento Zeeman lineal esto se deduce directamente del punto 1. ${\displaystyle E_{1}(t)}$ ${\displaystyle E_{2}(t)}$ ${\displaystyle \alpha }$

La simplificación final requiere que la perturbación dependiente del tiempo no acople los estados diabáticos; más bien, el acoplamiento debe deberse a una desviación estática de un potencial de Coulomb , comúnmente descrito por un defecto cuántico . ${\displaystyle 1/r}$

Fórmula

Los detalles de la solución de Zener son algo opacos, ya que se basa en un conjunto de sustituciones para poner la ecuación de movimiento en la forma de la ecuación de Weber ^{[5] y utilizar la solución conocida.} Curt Wittig ^[6] proporciona una solución más transparente utilizando la integración de contornos .

La cifra clave de mérito en este enfoque es la velocidad de Landau-Zener:

${\displaystyle v_{\rm {LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}},}$

donde q es la variable de perturbación (campo eléctrico o magnético, longitud de enlace molecular o cualquier otra perturbación del sistema), y y son las energías de los dos estados diabáticos (cruzados). Un valor grande da como resultado una probabilidad de transición diabática grande y viceversa. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle v_{\rm {LZ}}}$

Utilizando la fórmula de Landau-Zener la probabilidad, , de una transición diabática está dada por ${\displaystyle P_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\end{aligned}}}$

La cantidad es el elemento fuera de la diagonal del acoplamiento hamiltoniano de las bases del sistema de dos niveles y, como tal, es la mitad de la distancia entre las dos energías propias no perturbadas en el cruce evitado, cuando . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$

Problema multiestatal

La generalización más simple del modelo Landau-Zener de dos estados es un sistema multiestado con un hamiltoniano de la forma

${\displaystyle H(t)=A+Bt}$,

donde A y B son matrices hermíticas N x N con elementos independientes del tiempo. El objetivo de la teoría multiestado de Landau-Zener es determinar los elementos de la matriz de dispersión y las probabilidades de transición entre los estados de este modelo después de la evolución con dicho hamiltoniano desde el tiempo infinito negativo al infinito positivo. Las probabilidades de transición son el valor absoluto al cuadrado de los elementos de la matriz de dispersión.

Existen fórmulas exactas, llamadas restricciones de jerarquía, que proporcionan expresiones analíticas para elementos especiales de la matriz de dispersión en cualquier modelo Landau-Zener de múltiples estados. ^[7] Los casos especiales de estas relaciones se conocen como la fórmula de Brundobler-Elser (BE), ^{[8] [9] [10]} ), y el teorema de no-go ,. ^{[11] [12]} Las simetrías discretas a menudo conducen a restricciones que reducen el número de elementos independientes de la matriz de dispersión. ^{[13] [14]}

También existen condiciones de integrabilidad que, cuando se satisfacen, conducen a expresiones exactas para todas las matrices de dispersión en modelos Landau-Zener multiestado. Se han identificado numerosos modelos completamente solucionables, entre ellos:

• Modelo de Demkov-Osherov ^[15] que describe un único nivel que cruza una banda de niveles paralelos. Un hecho sorprendente sobre la solución de este modelo es la coincidencia de la matriz de probabilidad de transición obtenida exactamente con su forma obtenida con una simple aproximación de cruce independiente semiclásica. Con algunas generalizaciones, esta propiedad aparece en casi todos los sistemas Landau-Zener resolubles con un número finito de estados interactuantes.
• Modelo de pajarita generalizado. ^[16] El modelo describe el acoplamiento de dos niveles (o uno en el caso límite degenerado) a un conjunto de estados diabáticos que de otro modo no interactuarían y que se cruzan en un único punto.
• El modelo impulsado por Tavis-Cummings ^{[17] describe la} interacción de N espines-1/2⁠ con un modo bosónico en un campo magnético linealmente dependiente del tiempo. Este es el sistema resuelto más rico conocido. Tiene complejidad combinatoria: la dimensión de su espacio vectorial de estado crece exponencialmente con el número de espines N. Las probabilidades de transición en este modelo se describen mediante las estadísticas binomiales q-deformadas. ^[18] Esta solución ha encontrado aplicaciones prácticas en la física de los condensados ​​de Bose-Einstein. ^[19]
• Cúmulos de espín que interactúan con campos magnéticos dependientes del tiempo. ^[20] Esta clase de modelos muestra un comportamiento relativamente complejo de las probabilidades de transición debido a los efectos de interferencia de trayectoria en la aproximación de cruce independiente semiclásica.
• Modelos Landau-Zener multiestado reducibles (o compuestos). ^{[21] [22]} Esta clase consiste en sistemas que pueden desacoplarse a subconjuntos de otros modelos resolubles y más simples mediante una transformación de simetría. El ejemplo notable es un hamiltoniano de espín arbitrario , donde S _z y S _x son operadores de espín y S >1/2; b y g son parámetros constantes. Este es el primer sistema resoluble conocido, que fue analizado por Majorana en 1932. Entre los otros ejemplos hay modelos de un par de cruces de nivel degenerados, ^[23] y la cadena de Ising cuántica 1D en un campo magnético que cambia linealmente. ^{[24] [25]} ${\textstyle H=gS_{x}+btS_{z}}$
• Transiciones Landau-Zener en cadenas lineales infinitas. ^[26] Esta clase contiene los sistemas con un número formalmente infinito de estados interactuantes. Aunque la mayoría de sus casos conocidos pueden obtenerse como límites de los modelos de tamaño finito (como el modelo de Tavis-Cummings), también hay casos que no pertenecen a esta clasificación. Por ejemplo, hay cadenas infinitas resolubles con acoplamientos no nulos entre estados no más cercanos. ^[27]

Estudio del ruido

Las aplicaciones de la solución de Landau-Zener a los problemas de preparación y manipulación de estados cuánticos con grados discretos de libertad estimularon el estudio de los efectos del ruido y la decoherencia en la probabilidad de transición en un sistema de dos estados controlado. Se han derivado varios resultados analíticos compactos para describir estos efectos, incluida la fórmula de Kayanuma ^[28] para un ruido diagonal fuerte y la fórmula de Pokrovsky-Sinitsyn ^[29] para el acoplamiento a un ruido coloreado rápido con componentes fuera de la diagonal.

Utilizando la función de Green de Schwinger–Keldysh, Ao y Rammer realizaron a finales de los años 1980 un estudio bastante completo y exhaustivo sobre el efecto del ruido cuántico en todos los regímenes de parámetros, desde el acoplamiento débil al fuerte, de baja a alta temperatura, de paso lento a rápido, etc. Se obtuvieron expresiones analíticas concisas en varios límites, mostrando los ricos comportamientos de dicho problema. ^[30] Los efectos del baño de espín nuclear y el acoplamiento del baño de calor en el proceso Landau–Zener fueron explorados por Sinitsyn y Prokof'ev ^[31] y Pokrovsky y Sun, ^{[32] [33] [34]} respectivamente.

Los resultados exactos de la teoría multiestado de Landau-Zener ( teorema de no-go y fórmula BE) se pueden aplicar a sistemas Landau-Zener que están acoplados a baños compuestos por una cantidad infinita de osciladores y/o baños de espín (transiciones disipativas de Landau-Zener). Proporcionan expresiones exactas para las probabilidades de transición promediadas sobre los estados finales del baño si la evolución comienza desde el estado fundamental a temperatura cero, véase la referencia para los baños de osciladores ^{[35] y para los resultados universales que incluyen baños de espín en la referencia [36]} .

Véase también

• Teoría de estados de transición no adiabáticos
• Teorema adiabático
• Suavizado de enlaces
• Endurecimiento de la unión
• Ecuación de Froissart-Stora

Referencias

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