matriz de hurwitz

Elemento de matriz algebraica para analizar un polinomio por sus coeficientes

En matemáticas , una matriz de Hurwitz , o matriz de Routh-Hurwitz , en ingeniería matriz de estabilidad , es una matriz cuadrada real estructurada construida con coeficientes de un polinomio real.

Matriz de Hurwitz y criterio de estabilidad de Hurwitz

Es decir, dado un polinomio real

${\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}$

la matriz cuadrada ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

Se llama matriz de Hurwitz correspondiente al polinomio . Adolf Hurwitz estableció en 1895 que un polinomio real con es estable (es decir, todas sus raíces tienen parte real estrictamente negativa) si y sólo si todos los principales menores principales de la matriz son positivos: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{0}>0}$ ${\displaystyle H(p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}$

etcétera. Los menores se denominan determinantes de Hurwitz . De manera similar, si entonces el polinomio es estable si y solo si los menores principales tienen signos alternos que comienzan con uno negativo. ${\displaystyle \Delta _{k}(p)}$ ${\displaystyle a_{0}<0}$

Matrices estables de Hurwitz

En ingeniería y teoría de la estabilidad , una matriz cuadrada se llama matriz de Hurwitz si cada valor propio de tiene una parte real estrictamente negativa , es decir, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Re} [\lambda _{i}]<0\,}$

para cada valor propio . También se llama matriz estable , porque entonces la ecuación diferencial ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

es asintóticamente estable , es decir, como ${\displaystyle x(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty .}$

Si es una función de transferencia (valorada en matriz) , entonces se llama Hurwitz si los polos de todos los elementos de tienen parte real negativa. Tenga en cuenta que no es necesario que para un argumento específico sea una matriz de Hurwitz; ni siquiera es necesario que sea cuadrada. La conexión es que si es una matriz de Hurwitz, entonces el sistema dinámico ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(s),}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

tiene una función de transferencia de Hurwitz.

Cualquier punto fijo hiperbólico (o punto de equilibrio ) de un sistema dinámico continuo es localmente asintóticamente estable si y sólo si el jacobiano del sistema dinámico es estable de Hurwitz en el punto fijo.

La matriz de estabilidad de Hurwitz es una parte crucial de la teoría del control . Un sistema es estable si su matriz de control es una matriz de Hurwitz. Los componentes reales negativos de los valores propios de la matriz representan retroalimentación negativa . De manera similar, un sistema es inherentemente inestable si alguno de los valores propios tiene componentes reales positivos, lo que representa una retroalimentación positiva .

Ver también

• Criterio de Liénard-Chipart
• matriz M
• matriz P
• Teorema de Perron-Frobenius
• matriz Z
• Criterio de estabilidad del jurado , para el criterio analógico para sistemas de tiempo discreto.

Referencias

• Asner, Bernard A. Jr. (1970). "Sobre la no negatividad total de la matriz de Hurwitz". Revista SIAM de Matemática Aplicada . 18 (2): 407–414. doi :10.1137/0118035. JSTOR  2099475.
• Dimitrov, Dimitar K.; Peña, Juan Manuel (2005). "Positividad total casi estricta y una clase de polinomios de Hurwitz". Revista de teoría de la aproximación . 132 (2): 212–223. doi : 10.1016/j.jat.2004.10.010 . hdl : 11449/21728 .
• Gantmacher, FR (1959). Aplicaciones de la Teoría de Matrices . Nueva York: Interciencia .
• Hurwitz, A. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativos reellen Teilen besitzt". Annalen Matemáticas . 46 (2): 273–284. doi :10.1007/BF01446812. S2CID  121036103.
• Khalil, Hassan K. (2002). Sistemas no lineales . Prentice Hall .
• Lehnigk, Siegfried H. (1970). "Sobre la matriz de Hurwitz". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik . 21 (3): 498–500. Código bibliográfico : 1970ZaMP...21..498L. doi :10.1007/BF01627957. S2CID  123380473.

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enlaces externos

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