Vibración de cuerdas

Una ola

Vibración, ondas estacionarias en una cuerda. La fundamental y los primeros 5 armónicos de la serie armónica .

Una vibración en una cuerda es una onda . La resonancia hace que una cuerda que vibra produzca un sonido con frecuencia constante, es decir, tono constante . Si se ajusta correctamente la longitud o tensión de la cuerda, el sonido producido es un tono musical . Las cuerdas vibrantes son la base de instrumentos de cuerda como guitarras , violonchelos y pianos .

Ola

La velocidad de propagación de una onda en una cuerda ( ) es proporcional a la raíz cuadrada de la fuerza de tensión de la cuerda ( ) e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal ( ) de la cuerda: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}.}$

Esta relación fue descubierta por Vincenzo Galilei a finales del siglo XVI. ^{[ cita necesaria ]}

Derivación

Ilustración para una cuerda vibrante.

Fuente: ^[1]

Sea la longitud de un trozo de cuerda, su masa y su densidad lineal . Si los ángulos y son pequeños, entonces las componentes horizontales de la tensión en cada lado pueden aproximarse mediante una constante , para la cual la fuerza horizontal neta es cero. En consecuencia, utilizando la aproximación de ángulo pequeño, las tensiones horizontales que actúan en ambos lados del segmento de cuerda están dadas por ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.}$

${\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}$

De la segunda ley de Newton para la componente vertical, la masa (que es el producto de su densidad lineal y longitud) de esta pieza por su aceleración, será igual a la fuerza neta sobre la pieza: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Al dividir esta expresión y sustituir la primera y la segunda ecuación se obtiene (podemos elegir la primera o la segunda ecuación para , por lo que elegimos convenientemente cada una con el ángulo coincidente y ) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle -{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )={\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Según la aproximación de ángulos pequeños, las tangentes de los ángulos en los extremos del trozo de cuerda son iguales a las pendientes en los extremos, con un signo menos adicional debido a la definición de y . Usar este hecho y reorganizar proporciona ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

En el límite que tiende a cero, el lado izquierdo es la definición de la segunda derivada de : ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Esta es la ecuación de onda para , y el coeficiente del segundo término de la derivada temporal es igual a ; de este modo ${\displaystyle y(x,t)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},}$

¿ Dónde está la velocidad de propagación de la onda en la cuerda (consulte el artículo sobre la ecuación de onda para obtener más información sobre esto)? Sin embargo, esta derivación sólo es válida para vibraciones de pequeña amplitud; para aquellos de gran amplitud, no es una buena aproximación para la longitud del trozo de cuerda, la componente horizontal de la tensión no es necesariamente constante. Las tensiones horizontales no están bien aproximadas por . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle T}$

Frecuencia de la onda

Una vez conocida la velocidad de propagación, se puede calcular la frecuencia del sonido producido por la cuerda. La velocidad de propagación de una onda es igual a la longitud de onda dividida por el período , o multiplicada por la frecuencia : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.}$

Si la longitud de la cuerda es , el armónico fundamental es el producido por la vibración cuyos nodos son los dos extremos de la cuerda, también lo es la mitad de la longitud de onda del armónico fundamental. De ahí se obtienen las leyes de Mersenne : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle f={\frac {v}{2L}}={1 \over 2L}{\sqrt {T \over \mu }}}$

donde es la tensión (en Newtons), es la densidad lineal (es decir, la masa por unidad de longitud) y es la longitud de la parte vibrante de la cuerda. Por lo tanto: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L}$

• cuanto más corta es la cuerda, mayor es la frecuencia de la fundamental
• cuanto mayor es la tensión, mayor es la frecuencia de la fundamental
• cuanto más ligera es la cuerda, mayor es la frecuencia de la fundamental

Además, si consideramos que el enésimo armónico tiene una longitud de onda dada por , entonces obtenemos fácilmente una expresión para la frecuencia del enésimo armónico: ${\displaystyle \lambda _{n}=2L/n}$

${\displaystyle f_{n}={\frac {nv}{2L}}}$

Y para una cuerda bajo una tensión T con densidad lineal , entonces ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle f_{n}={\frac {n}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

Observando las vibraciones de las cuerdas

Se pueden ver las formas de onda en una cuerda vibrante si la frecuencia es lo suficientemente baja y la cuerda vibrante se sostiene frente a una pantalla CRT , como la de un televisor o una computadora ( no la de un osciloscopio analógico). Este efecto se llama efecto estroboscópico , y la velocidad a la que la cuerda parece vibrar es la diferencia entre la frecuencia de la cuerda y la frecuencia de actualización de la pantalla. Lo mismo puede ocurrir con una lámpara fluorescente , a una velocidad que es la diferencia entre la frecuencia de la cuerda y la frecuencia de la corriente alterna . (Si la frecuencia de actualización de la pantalla es igual a la frecuencia de la cuerda o un múltiplo entero de la misma, la cuerda aparecerá quieta pero deformada). A la luz del día y otras fuentes de luz no oscilantes, este efecto no ocurre y la cuerda aparece quieta pero más espesa y más clara o borrosa, debido a la persistencia de la visión .

Se puede obtener un efecto similar pero más controlable usando un estroboscopio . Este dispositivo permite adaptar la frecuencia de la lámpara de xenón a la frecuencia de vibración de la cuerda. En una habitación oscura, esto muestra claramente la forma de onda. De lo contrario, se puede doblar o, quizás más fácilmente, ajustar los cabezales de la máquina para obtener la misma frecuencia de CA, o un múltiplo, para lograr el mismo efecto. Por ejemplo, en el caso de una guitarra, la sexta cuerda (la de tono más bajo) presionada hasta el tercer traste produce un G a 97,999 Hz. Un ligero ajuste puede alterarla a 100 Hz, exactamente una octava por encima de la frecuencia de la corriente alterna en Europa y la mayoría de los países de África y Asia, 50 Hz. En la mayoría de los países de América, donde la frecuencia alterna es de 60 Hz, alterar La# en la quinta cuerda, primer traste, de 116,54 Hz a 120 Hz produce un efecto similar.

Ejemplo del mundo real

La guitarra eléctrica Jackson Professional Soloist XL de un usuario de Wikipedia tiene una distancia entre cejilla y puente (correspondiente a lo anterior) de 25 5 ⁄ 8 pulgadas y cuerdas de guitarra eléctrica EXL-120 de calibre superligero entorchadas en níquel D'Addario XL con el siguientes especificaciones del fabricante: ${\displaystyle L}$

Dadas las especificaciones anteriores, ¿cuáles serían las frecuencias vibratorias calculadas ( ) de los armónicos fundamentales de las cuerdas anteriores si las cuerdas estuvieran encordadas con las tensiones recomendadas por el fabricante? ${\displaystyle f}$

Para responder a esto, podemos comenzar con la fórmula de la sección anterior, con : ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

La densidad lineal se puede expresar en términos de densidad espacial (masa/volumen) mediante la relación , donde es el radio de la cuerda y es el diámetro (también conocido como espesor) en la tabla anterior: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu =\pi r^{2}\rho =\pi d^{2}\rho /4}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\pi d^{2}\rho /4}}}={\frac {1}{2Ld}}{\sqrt {\frac {4T}{\pi \rho }}}={\frac {1}{Ld}}{\sqrt {\frac {T}{\pi \rho }}}}$

Para propósitos de cálculo, podemos sustituir la tensión anterior, vía la segunda ley de Newton (Fuerza = masa × aceleración), por la expresión , donde es la masa que, en la superficie de la Tierra, tendría el peso equivalente correspondiente a los valores de tensión en la tabla anterior, relacionada a través de la aceleración estándar debida a la gravedad en la superficie de la Tierra, cm/s ² . (Esta sustitución es conveniente aquí ya que las tensiones de las cuerdas proporcionadas por el fabricante arriba están en libras de fuerza , que se pueden convertir más convenientemente a masas equivalentes en kilogramos mediante el conocido factor de conversión 1 libra = 453,59237 g). La fórmula anterior entonces explícitamente se convierte en: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=ma}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g_{0}=980.665}$

${\displaystyle f_{\mathrm {Hz} }={\frac {1}{L_{\mathrm {in} }\times 2.54\ \mathrm {cm/in} \times d_{\mathrm {in} }\times 2.54\ \mathrm {cm/in} }}{\sqrt {\frac {T_{\mathrm {lb} }\times 453.59237\ \mathrm {g/lb} \times 980.665\ \mathrm {cm/s^{2}} }{\pi \times \rho _{\mathrm {g/cm^{3}} }}}}}$

Usando esta fórmula para calcular la cadena no. 1 arriba produce: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{25.625\ \mathrm {in} \times 2.54\ \mathrm {cm/in} \times 0.00899\ \mathrm {in} \times 2.54\ \mathrm {cm/in} }}{\sqrt {\frac {13.1\ \mathrm {lb} \times 453.59237\ \mathrm {g/lb} \times 980.665\ \mathrm {cm/s^{2}} }{\pi \times 7.726\ \mathrm {g/cm^{3}} }}}\approx 330\ \mathrm {Hz} }$

Repetir este cálculo para las seis cuerdas da como resultado las siguientes frecuencias. Junto a cada frecuencia se muestra la nota musical (en notación científica de tono ) en la afinación de guitarra estándar cuya frecuencia es más cercana, lo que confirma que encordar las cuerdas anteriores con las tensiones recomendadas por el fabricante da como resultado los tonos estándar de una guitarra:

Ver también

• Instrumentos con trastes
• Acústica musical
• Vibraciones de un tambor circular.
• El experimento de Melde.
• 3er puente (resonancia armónica basada en divisiones iguales de cuerdas)
• resonancia de cuerdas
• Cambio de fase de reflexión

Referencias

• Molteno, TCA; NB Tufillaro (septiembre de 2004). "Una investigación experimental sobre la dinámica de una cuerda". Revista Estadounidense de Física . 72 (9): 1157-1169. Código Bib : 2004AmJPh..72.1157M. doi :10.1119/1.1764557.
• Tufillaro, NB (1989). "Vibraciones de cuerdas caóticas y no lineales". Revista Estadounidense de Física . 57 (5): 408. Código bibliográfico : 1989AmJPh..57..408T. doi :10.1119/1.16011.

Específico

1. La ecuación de onda y la velocidad de onda.

enlaces externos

• "La cuerda vibrante" de Alain Goriely y Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project .