Vibraciones de una membrana circular

Ecuaciones de ondas en un disco con forma de parche de tambor

Uno de los posibles modos de vibración de un parche circular idealizado (modo con la notación que aparece a continuación). Otros modos posibles se muestran al final del artículo. ${\displaystyle u_{12}}$

Una membrana elástica bidimensional bajo tensión puede soportar vibraciones transversales . Las propiedades de un parche idealizado pueden modelarse mediante las vibraciones de una membrana circular de espesor uniforme, unida a un marco rígido. Debido al fenómeno de resonancia , a ciertas frecuencias de vibración , sus frecuencias resonantes , la membrana puede almacenar energía vibracional, moviéndose la superficie en un patrón característico de ondas estacionarias . Esto se llama modo normal . Una membrana tiene un número infinito de estos modos normales, comenzando con uno de frecuencia más baja llamado modo fundamental .

Existen infinitas formas en las que una membrana puede vibrar, cada una de ellas dependiendo de la forma de la membrana en un momento inicial y de la velocidad transversal de cada punto de la membrana en ese momento. Las vibraciones de la membrana se dan mediante las soluciones de la ecuación de onda bidimensional con condiciones de contorno de Dirichlet que representan la restricción del marco. Se puede demostrar que cualquier vibración arbitrariamente compleja de la membrana se puede descomponer en una serie posiblemente infinita de modos normales de la membrana. Esto es análogo a la descomposición de una señal temporal en una serie de Fourier .

El estudio de las vibraciones de los tambores llevó a los matemáticos a plantear un famoso problema matemático sobre si se puede escuchar la forma de un tambor , cuya respuesta (no se puede) se dio en 1992 en un entorno bidimensional.

Importancia práctica

El análisis del problema de la vibración del parche del tambor explica los instrumentos de percusión como los tambores y los timbales . Sin embargo, también existe una aplicación biológica en el funcionamiento del tímpano . Desde un punto de vista educativo, los modos de un objeto bidimensional son una forma conveniente de demostrar visualmente el significado de los modos, los nodos, los antinodos e incluso los números cuánticos . Estos conceptos son importantes para la comprensión de la estructura del átomo.

El problema

Consideremos un disco abierto de radio centrado en el origen, que representará la forma "inmóvil" del parche del tambor. En cualquier momento, la altura de la forma del parche del tambor en un punto medido desde la forma "inmóvil" del parche del tambor se denotará por que puede tomar valores tanto positivos como negativos. Sea el límite de esto el círculo de radio centrado en el origen, que representa el marco rígido al que está unido el parche del tambor. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u(x,y,t),}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle a}$

La ecuación matemática que gobierna la vibración del parche del tambor es la ecuación de onda con condiciones de contorno cero,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right){\text{ for }}(x,y)\in \Omega \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega .\,}$

Debido a la geometría circular de , será conveniente utilizar coordenadas polares. Entonces, las ecuaciones anteriores se escriben como ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (r,\theta ).}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ for }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ for }}r=a.\,}$

Aquí, es una constante positiva, que da la velocidad a la que se propagan las ondas de vibración transversales en la membrana. En términos de los parámetros físicos, la velocidad de onda, c, está dada por ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {N_{rr}^{*}}{\rho h}}}}$

donde , es la resultante radial de la membrana en el límite de la membrana ( ), , es el espesor de la membrana y es la densidad de la membrana. Si la membrana tiene tensión uniforme, la fuerza de tensión uniforme en un radio dado, puede escribirse ${\displaystyle N_{rr}^{*}}$ ${\displaystyle r=a}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle F=rN_{rr}^{r}=rN_{\theta \theta }^{r}}$

donde es la resultante de la membrana en la dirección azimutal. ${\displaystyle N_{\theta \theta }^{r}=N_{rr}^{r}}$

El caso axisimétrico

Primero estudiaremos los posibles modos de vibración de un parche circular que sean axisimétricos . Luego, la función no depende del ángulo y la ecuación de onda se simplifica a ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta ,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right).}$

Buscaremos soluciones en variables separadas, sustituyendo esto en la ecuación anterior y dividiendo ambos lados por obtenemos ${\displaystyle u(r,t)=R(r)T(t).}$ ${\displaystyle c^{2}R(r)T(t)}$

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {1}{R(r)}}\left(R''(r)+{\frac {1}{r}}R'(r)\right).}$

El lado izquierdo de esta igualdad no depende de y el lado derecho no depende de se deduce que ambos lados deben ser iguales a alguna constante Obtenemos ecuaciones separadas para y : ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle R(r)}$

${\displaystyle T''(t)=Kc^{2}T(t)\,}$

${\displaystyle rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,}$

La ecuación para tiene soluciones que crecen o decaen exponencialmente para son lineales o constantes para y son periódicas para . Físicamente se espera que una solución al problema de un parche de tambor vibrante sea oscilatoria en el tiempo, y esto deja solo el tercer caso, por lo que elegimos por conveniencia. Entonces, es una combinación lineal de funciones seno y coseno, ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle K>0,}$ ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle K<0}$ ${\displaystyle K<0,}$ ${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$ ${\displaystyle T(t)}$

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

Volviendo a la ecuación con la observación de que todas las soluciones de esta ecuación diferencial de segundo orden son una combinación lineal de funciones de Bessel de orden 0, ya que este es un caso especial de la ecuación diferencial de Bessel : ${\displaystyle R(r),}$ ${\displaystyle K=-\lambda ^{2},}$

${\displaystyle R(r)=c_{1}J_{0}(\lambda r)+c_{2}Y_{0}(\lambda r).\,}$

La función de Bessel no tiene límites, por lo que se obtiene una solución no física para el problema del parche vibrante, por lo que la constante debe ser nula. También supondremos que, de lo contrario, esta constante puede absorberse más adelante en las constantes y, a partir de allí, se deduce que ${\displaystyle Y_{0}}$ ${\displaystyle r\to 0,}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}=1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T(t).}$

${\displaystyle R(r)=J_{0}(\lambda r).}$

El requisito de que la altura sea cero en el límite del parche del tambor da como resultado la condición ${\displaystyle u}$

${\displaystyle R(a)=J_{0}(\lambda a)=0.}$

La función de Bessel tiene un número infinito de raíces positivas, ${\displaystyle J_{0}}$

${\displaystyle 0<\alpha _{01}<\alpha _{02}<\cdots }$

Lo conseguimos por tanto tiempo ${\displaystyle \lambda a=\alpha _{0n},}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

${\displaystyle R(r)=J_{0}\left({\frac {\alpha _{0n}}{a}}r\right).}$

Por lo tanto, las soluciones axisimétricas del problema del parche vibrante del tambor que se pueden representar en variables separadas son ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u_{0n}(r,t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right){\text{ for }}n=1,2,\dots ,\,}$

dónde ${\displaystyle \lambda _{0n}=\alpha _{0n}/a.}$

El caso general

El caso general, cuando también puede depender del ángulo, se trata de manera similar. Suponemos una solución en variables separadas, ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta ,}$

${\displaystyle u(r,\theta ,t)=R(r)\Theta (\theta )T(t).\,}$

Sustituyendo esto en la ecuación de onda y separando las variables, obtenemos

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=K}$

donde es una constante. Como antes, de la ecuación para se deduce que con y ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

De la ecuación

${\displaystyle {\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}}$

obtenemos, multiplicando ambos lados por y separando variables, que ${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}r^{2}+{\frac {r^{2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L}$

y

${\displaystyle -{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=L,}$

para alguna constante Dado que es periódica, siendo el período una variable angular, se deduce que ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle \Theta (\theta )}$ ${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Theta (\theta )=C\cos m\theta +D\sin m\theta ,\,}$

donde y y son algunas constantes. Esto también implica ${\displaystyle m=0,1,\dots }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle L=m^{2}.}$

Volviendo a la ecuación para su solución es una combinación lineal de funciones de Bessel y con un argumento similar al del apartado anterior llegamos a ${\displaystyle R(r),}$ ${\displaystyle J_{m}}$ ${\displaystyle Y_{m}.}$

${\displaystyle R(r)=J_{m}(\lambda _{mn}r),\,}$ ${\displaystyle m=0,1,\dots ,}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

donde con la raíz positiva -ésima de ${\displaystyle \lambda _{mn}=\alpha _{mn}/a,}$ ${\displaystyle \alpha _{mn}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J_{m}.}$

Demostramos que todas las soluciones en variables separadas del problema del parche vibrante del tambor tienen la forma

${\displaystyle u_{mn}(r,\theta ,t)=\left(A\cos c\lambda _{mn}t+B\sin c\lambda _{mn}t\right)J_{m}\left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )}$

para ${\displaystyle m=0,1,\dots ,n=1,2,\dots }$

Animaciones de varios modos de vibración.

A continuación se muestran varios modos junto con sus números cuánticos. También se indican las funciones de onda análogas del átomo de hidrógeno, así como las frecuencias angulares asociadas . Los valores de son las raíces de la función de Bessel . Esto se deduce de la condición de contorno que produce . ${\displaystyle \omega _{mn}=\lambda _{mn}c={\dfrac {\alpha _{mn}}{a}}c=\alpha _{mn}c/a}$ ${\displaystyle \alpha _{mn}}$ ${\displaystyle J_{m}}$ ${\displaystyle \forall \theta \in [0,2\pi ],\forall t,\ u_{mn}(r=a,\theta ,t)=0}$ ${\displaystyle J_{m}(\lambda _{mn}a)=J_{m}(\alpha _{mn})=0}$

• 
  Modo (1s) con ${\displaystyle u_{01}}$ ${\displaystyle \alpha _{01}=2.40483}$
• 
  Modo (2s) con ${\displaystyle u_{02}}$ ${\displaystyle \alpha _{02}=5.52008}$
• 
  Modo (3s) con ${\displaystyle u_{03}}$ ${\displaystyle \alpha _{03}=8.65373}$

• 
  Modo (2p) con ${\displaystyle u_{11}}$ ${\displaystyle \alpha _{11}=3.83171}$
• 
  Modo (3p) con ${\displaystyle u_{12}}$ ${\displaystyle \alpha _{12}=7.01559}$
• 
  Modo (4p) con ${\displaystyle u_{13}}$ ${\displaystyle \alpha _{13}=10.1735}$

• 
  Modo (3d) con ${\displaystyle u_{21}}$ ${\displaystyle \alpha _{21}=5.13562}$
• 
  Modo (4d) con ${\displaystyle u_{22}}$ ${\displaystyle \alpha _{22}=8.41724}$
• 
  Modo (5d) con ${\displaystyle u_{23}}$ ${\displaystyle \alpha _{23}=11.6198}$

Se pueden calcular fácilmente más valores de utilizando el siguiente código Python con la biblioteca: ^[1] ${\displaystyle \alpha _{mn}}$scipy

Desde  scipy  importar  especial  como  scm  =  0  # orden de la función de Bessel (es decir, modo angular para la membrana circular)nz  =  3  # número deseado de raícesalpha_mn  =  sc . jn_zeros ( m ,  nz )  # genera nz ceros de Jm

Véase también

• Cuerda vibrante , el caso unidimensional
• Patrones de Chladni , una descripción temprana de un fenómeno relacionado, en particular con los instrumentos musicales; véase también cimática
• Escuchar la forma de un tambor , caracterizar los modos con respecto a la forma de la membrana.
• Orbital atómico , un problema mecánico-cuántico y tridimensional relacionado

Referencias

1. Guía del usuario de SciPy sobre las funciones de Bessel

• H. Asmar, Nakhle (2005). Ecuaciones diferenciales parciales con series de Fourier y problemas de valores en la frontera . Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall. p. 198. ISBN 0-13-148096-0.