En geometría , el cuboctaedro truncado o gran rombicuboctaedro es un sólido arquimediano , denominado por Kepler como un truncamiento de un cuboctaedro . Tiene 12 caras cuadradas , 8 caras hexagonales regulares, 6 caras octagonales regulares , 48 vértices y 72 aristas. Dado que cada una de sus caras tiene simetría puntual (equivalente a simetría rotacional de 180° ), el cuboctaedro truncado es un 9 - zonoedro . El cuboctaedro truncado puede teselarse con el prisma octagonal .
Existe un poliedro uniforme no convexo con un nombre similar: el gran rombicuboctaedro no convexo .
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un cuboctaedro truncado que tiene una longitud de arista de 2 y está centrado en el origen son todas las permutaciones de:
El área A y el volumen V del cuboctaedro truncado de longitud de arista a son:
El cuboctaedro truncado es la envoltura convexa de un rombicuboctaedro con cubos sobre sus 12 cuadrados en ejes de simetría doble. El resto de su espacio puede diseccionarse en 6 cúpulas cuadradas debajo de los octógonos y 8 cúpulas triangulares debajo de los hexágonos.
Un cuboctaedro truncado diseccionado puede crear un toroide de Stewart de género 5, 7 u 11 eliminando el rombicuboctaedro central y las 6 cúpulas cuadradas, las 8 cúpulas triangulares o los 12 cubos respectivamente. Muchos otros toroides de simetría inferior también se pueden construir eliminando el rombicuboctaedro central y un subconjunto de los otros componentes de la disección. Por ejemplo, eliminando 4 de las cúpulas triangulares se crea un toroide de género 3; si estas cúpulas se eligen adecuadamente, entonces este toroide tiene simetría tetraédrica. [4] [5]
Sólo existe una coloración uniforme de las caras de este poliedro, un color para cada tipo de cara.
Existe una coloración 2-uniforme, con simetría tetraédrica , con hexágonos coloreados alternativamente.
El cuboctaedro truncado tiene dos proyecciones ortogonales especiales en los planos de Coxeter A 2 y B 2 con simetría proyectiva [6] y [8], y se pueden construir numerosas simetrías [2] a partir de varios planos proyectados relativos a los elementos del poliedro.
El cuboctaedro truncado también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme y conserva los ángulos, pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.
Como muchos otros sólidos, el octaedro truncado tiene simetría octaédrica completa , pero su relación con el grupo octaédrico completo es más estrecha: sus 48 vértices corresponden a los elementos del grupo, y cada cara de su dual es un dominio fundamental del grupo.
La imagen de la derecha muestra las 48 permutaciones del grupo aplicadas a un objeto de ejemplo (es decir, el compuesto JF claro de la izquierda). Los 24 elementos claros son rotaciones y los oscuros son sus reflejos.
Los bordes del sólido corresponden a las 9 reflexiones del grupo:
Los subgrupos corresponden a sólidos que comparten los vértices respectivos del octaedro truncado.
Por ejemplo, los 3 subgrupos con 24 elementos corresponden a un cubo romo no uniforme con simetría octaédrica quiral, un rombicuboctaedro no uniforme con simetría piritoédrica (el octaedro romo cántico ) y un octaedro truncado no uniforme con simetría tetraédrica completa . El único subgrupo con 12 elementos es el grupo alternado A 4 . Corresponde a un icosaedro no uniforme con simetría tetraédrica quiral .
El cuboctaedro truncado pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
Este poliedro puede considerarse miembro de una secuencia de patrones uniformes con configuración de vértices (4.6.2 p ) y diagrama de Coxeter-Dynkin 
Para p < 6, los miembros de la secuencia son poliedros omnitruncados ( zonoedros ), que se muestran a continuación como teselas esféricas. Para p < 6, son teselas del plano hiperbólico, comenzando con la tesela triheptagonal truncada .
Es el primero de una serie de hipercubos cantitruncados:
En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo cuboctaédrico truncado (o gran grafo rombocuboctaédrico ) es el grafo de vértices y aristas del cuboctaedro truncado, uno de los sólidos arquimedianos . Tiene 48 vértices y 72 aristas, y es un grafo arquimediano cúbico y de simetría cero . [7]
