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Crecimiento exponencial

El gráfico ilustra cómo el crecimiento exponencial (verde) supera tanto al crecimiento lineal (rojo) como al cúbico (azul).
  Crecimiento lineal
  Crecimiento exponencial

El crecimiento exponencial se produce cuando una cantidad crece a un ritmo directamente proporcional a su tamaño actual. Por ejemplo, si es tres veces más grande que ahora, crecerá tres veces más rápido que ahora.

En un lenguaje más técnico, su tasa instantánea de cambio (es decir, la derivada ) de una cantidad con respecto a una variable independiente es proporcional a la cantidad misma. A menudo, la variable independiente es el tiempo. Descrita como una función , una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (en contraste con otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático ). El crecimiento exponencial es el inverso del crecimiento logarítmico .

No todos los casos de crecimiento a una tasa siempre creciente son instancias de crecimiento exponencial. Por ejemplo, la función crece a una tasa siempre creciente, pero está muy lejos de crecer exponencialmente. Por ejemplo, cuando crece a un ritmo de 3 veces su tamaño, pero cuando crece al 30% de su tamaño. Si una función de crecimiento exponencial crece a una tasa que es 3 veces su tamaño actual, entonces siempre crece a una tasa que es 3 veces su tamaño actual. Cuando es 10 veces más grande que ahora, crecerá 10 veces más rápido.

Si la constante de proporcionalidad es negativa, entonces la cantidad disminuye con el tiempo y se dice que está experimentando un decaimiento exponencial . En el caso de un dominio de definición discreto con intervalos iguales, también se denomina crecimiento geométrico o decaimiento geométrico , ya que los valores de la función forman una progresión geométrica .

La fórmula para el crecimiento exponencial de una variable x a la tasa de crecimiento r , a medida que transcurre el tiempo t en intervalos discretos (es decir, en tiempos enteros 0, 1, 2, 3, ...), es

donde x 0 es el valor de x en el tiempo 0. El crecimiento de una colonia bacteriana se utiliza a menudo para ilustrarlo. Una bacteria se divide en dos, cada una de las cuales se divide a sí misma dando como resultado cuatro, luego ocho, 16, 32, y así sucesivamente. La cantidad de aumento sigue aumentando porque es proporcional al número cada vez mayor de bacterias. Un crecimiento como este se observa en actividades o fenómenos de la vida real, como la propagación de una infección viral, el crecimiento de la deuda debido al interés compuesto y la propagación de videos virales . En casos reales, el crecimiento exponencial inicial a menudo no dura para siempre, sino que se desacelera eventualmente debido a límites superiores causados ​​por factores externos y se convierte en crecimiento logístico .

Términos como "crecimiento exponencial" a veces se interpretan incorrectamente como "crecimiento rápido". De hecho, algo que crece exponencialmente puede, de hecho, crecer lentamente al principio. [1] [2]

Ejemplos

Las bacterias exhiben un crecimiento exponencial en condiciones óptimas.

Biología

Física

Ciencias económicas

Finanzas

Ciencias de la Computación

Fenómenos de Internet

Fórmula básica

crecimiento exponencial:
decaimiento exponencial:

Una cantidad x depende exponencialmente del tiempo t si donde la constante a es el valor inicial de x , la constante b es un factor de crecimiento positivo y τ es la constante de tiempo (el tiempo requerido para que x aumente en un factor de b ):

Si τ > 0 y b > 1 , entonces x tiene crecimiento exponencial. Si τ < 0 y b > 1 , o τ > 0 y 0 < b < 1 , entonces x tiene decaimiento exponencial .

Ejemplo: Si una especie de bacteria se duplica cada diez minutos, comenzando con una sola bacteria, ¿cuántas bacterias estarían presentes después de una hora? La pregunta implica a = 1 , b = 2 y τ = 10 min .

Después de una hora, o seis intervalos de diez minutos, habría sesenta y cuatro bacterias.

Muchos pares ( b , τ ) de un número adimensional no negativo b y una cantidad de tiempo τ (una cantidad física que puede expresarse como el producto de un número de unidades y una unidad de tiempo) representan la misma tasa de crecimiento, con τ proporcional a log b . Para cualquier b fijo no igual a 1 (por ejemplo, e o 2), la tasa de crecimiento está dada por el tiempo distinto de cero τ . Para cualquier tiempo distinto de cero τ la tasa de crecimiento está dada por el número positivo adimensional  b .

Así, la ley de crecimiento exponencial puede escribirse en formas diferentes pero matemáticamente equivalentes, utilizando una base diferente . Las formas más comunes son las siguientes: donde x 0 expresa la cantidad inicial x (0) .

Parámetros (negativos en el caso de decaimiento exponencial):

Las cantidades k , τ y T , y para un p dado también r , tienen una relación biunívoca dada por la siguiente ecuación (que se puede derivar tomando el logaritmo natural de la anterior): donde k = 0 corresponde a r = 0 y a que τ y T son infinitos.

Si p es la unidad de tiempo, el cociente t / p es simplemente el número de unidades de tiempo. Si se utiliza la notación t para el número (adimensional) de unidades de tiempo en lugar del tiempo en sí, t / p se puede sustituir por t , pero para lograr uniformidad, se ha evitado este cambio. En este caso, la división por p en la última fórmula tampoco es una división numérica, sino que convierte un número adimensional en la cantidad correcta, incluida la unidad.

Un método aproximado popular para calcular el tiempo de duplicación a partir de la tasa de crecimiento es la regla de 70 , es decir, .

Gráficos que comparan los tiempos de duplicación y las vidas medias de crecimientos exponenciales (líneas en negrita) y decrecimientos (líneas tenues) y sus aproximaciones 70/ t y 72/ t . En la versión SVG, pase el cursor sobre un gráfico para resaltarlo y su complemento.

Reformulación como crecimiento log-lineal

Si una variable x exhibe un crecimiento exponencial según , entonces el logaritmo (en cualquier base) de x crece linealmente con el tiempo, como se puede ver tomando los logaritmos de ambos lados de la ecuación de crecimiento exponencial:

Esto permite modelar una variable que crece exponencialmente con un modelo log-lineal . Por ejemplo, si se desea estimar empíricamente la tasa de crecimiento a partir de datos intertemporales en x , se puede realizar una regresión lineal de log x en t .

Ecuación diferencial

La función exponencial satisface la ecuación diferencial lineal : diciendo que el cambio por instante de tiempo de x en el tiempo t es proporcional al valor de x ( t ) , y x ( t ) tiene el valor inicial .

La ecuación diferencial se resuelve por integración directa: de modo que

En la ecuación diferencial anterior, si k < 0 , entonces la cantidad experimenta un decaimiento exponencial .

Para una variación no lineal de este modelo de crecimiento, consulte la función logística .

Otras tasas de crecimiento

A largo plazo, el crecimiento exponencial de cualquier tipo superará al crecimiento lineal de cualquier tipo (que es la base de la catástrofe maltusiana ), así como a cualquier crecimiento polinomial , es decir, para todo α :

Existe toda una jerarquía de tasas de crecimiento concebibles que son más lentas que la exponencial y más rápidas que la lineal (a largo plazo). Véase Grado de un polinomio § Calculado a partir de los valores de la función .

Las tasas de crecimiento también pueden ser más rápidas que las exponenciales. En el caso más extremo, cuando el crecimiento aumenta sin límite en un tiempo finito, se denomina crecimiento hiperbólico . Entre el crecimiento exponencial y el hiperbólico hay más clases de comportamiento de crecimiento, como las hiperoperaciones que comienzan en la tetración y la diagonal de la función de Ackermann .

Crecimiento logístico

El crecimiento exponencial en forma de J (izquierda, azul) y el crecimiento logístico en forma de S (derecha, rojo).

En realidad, el crecimiento exponencial inicial no suele sostenerse indefinidamente. Después de un tiempo, se verá frenado por factores externos o ambientales. Por ejemplo, el crecimiento demográfico puede alcanzar un límite superior debido a limitaciones de recursos. [9] En 1845, el matemático belga Pierre François Verhulst propuso por primera vez un modelo matemático de crecimiento como este, llamado " crecimiento logístico ". [10]

Limitaciones de los modelos

Los modelos de crecimiento exponencial de los fenómenos físicos sólo se aplican en regiones limitadas, ya que el crecimiento ilimitado no es físicamente realista. Aunque el crecimiento puede ser inicialmente exponencial, los fenómenos modelados eventualmente ingresarán en una región en la que los factores de retroalimentación negativa previamente ignorados se vuelven significativos (lo que lleva a un modelo de crecimiento logístico ) o se rompen otros supuestos subyacentes del modelo de crecimiento exponencial, como la continuidad o la retroalimentación instantánea.

Sesgo de crecimiento exponencial

Los estudios muestran que los seres humanos tienen dificultades para comprender el crecimiento exponencial. El sesgo de crecimiento exponencial es la tendencia a subestimar los procesos de crecimiento compuesto. Este sesgo también puede tener implicaciones financieras. [11]

Arroz en un tablero de ajedrez

Según la leyenda, el visir Sissa Ben Dahir le regaló al rey indio Sharim un hermoso tablero de ajedrez hecho a mano . El rey le preguntó qué quería a cambio de su regalo y el cortesano sorprendió al rey pidiéndole un grano de arroz en la primera casilla, dos granos en la segunda, cuatro granos en la tercera, y así sucesivamente. El rey aceptó de inmediato y pidió que le trajeran el arroz. Todo fue bien al principio, pero el requisito de 2 n −1 granos en la casilla n exigía más de un millón de granos en la casilla 21, más de un millón de millones ( es decir , un billón ) en la 41 y simplemente no había suficiente arroz en todo el mundo para las casillas finales. (De Swirski, 2006) [12]

La " segunda mitad del tablero de ajedrez " se refiere al momento en el que una influencia que crece exponencialmente tiene un impacto económico significativo en la estrategia comercial general de una organización.

Nenúfar

A unos niños franceses se les propone un acertijo que parece ser un aspecto del crecimiento exponencial: "la aparente rapidez con la que una cantidad que crece exponencialmente se acerca a un límite fijo". El acertijo imagina una planta de nenúfar que crece en un estanque. La planta duplica su tamaño cada día y, si se la deja sola, asfixiaría el estanque en 30 días matando a todos los demás seres vivos del agua. Día tras día, el crecimiento de la planta es pequeño, por lo que se decide que no será un problema hasta que cubra la mitad del estanque. ¿Qué día será ese? El día 29, lo que deja solo un día para salvar el estanque. [13] [12]

Véase también

Referencias

  1. ^ Suri, Manil (4 de marzo de 2019). "Opinión | Dejen de decir 'exponencial'. Atentamente, un nerd de las matemáticas". The New York Times .
  2. ^ "10 palabras científicas que probablemente estés usando de forma incorrecta". HowStuffWorks . 11 de julio de 2014.
  3. ^ Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M .; van Oudenaarden, Alexander (2014). "Se puede mantener una tasa de crecimiento constante disminuyendo el flujo de energía y aumentando la glucólisis aeróbica". Cell Reports . 7 (3): 705–714. doi :10.1016/j.celrep.2014.03.057. ISSN  2211-1247. PMC 4049626 . PMID  24767987. 
  4. ^ Sublette, Carey. "Introducción a la física y el diseño de armas nucleares". Archivo de armas nucleares . Consultado el 26 de mayo de 2009 .
  5. ^ Crauder, Evans y Noell 2008, págs. 314–315.
  6. ^ ab Ariel Cintrón-Arias (2014). "Volverse viral". arXiv : 1402.3499 [physics.soc-ph].
  7. ^ Karine Nahon; Jeff Hemsley (2013). Volverse viral. Polity. pág. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1.
  8. ^ YouTube (2012). "Gangnam Style vs Call Me Maybe: Una comparación de popularidad". Tendencias de YouTube .
  9. ^ Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008). Funciones y cambio: un enfoque de modelado para el álgebra universitaria. Houghton Mifflin Harcourt. pág. 398. ISBN 978-1-111-78502-4.
  10. ^ Bernstein, Ruth (2003). Ecología de poblaciones: Introducción a las simulaciones por computadora. John Wiley & Sons. pág. 37. ISBN 978-0-470-85148-7.
  11. ^ Stango, Victor; Zinman, Jonathan (2009). "Sesgo de crecimiento exponencial y finanzas de los hogares". The Journal of Finance . 64 (6): 2807–2849. doi :10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x.
  12. ^ ab Porritt, Jonathan (2005). Capitalismo: como si el mundo importara . Londres: Earthscan. p. 49. ISBN 1-84407-192-8.
  13. ^ Meadows, Donella (2004). Los límites del crecimiento: actualización a 30 años . Chelsea Green Publishing. pág. 21. ISBN 9781603581554.

Fuentes

Enlaces externos