En el área matemática de la teoría de grupos , los grupos de recubrimiento de los grupos alternados y simétricos son grupos que se utilizan para entender las representaciones proyectivas de los grupos alternados y simétricos . Los grupos de recubrimiento se clasificaron en (Schur 1911): para n ≥ 4 , los grupos de recubrimiento son recubrimientos de 2 pliegues excepto para los grupos alternados de grado 6 y 7 donde los recubrimientos son de 6 pliegues.
Por ejemplo, el grupo icosaédrico binario cubre el grupo icosaédrico , un grupo alterno de grado 5, y el grupo tetraédrico binario cubre el grupo tetraédrico , un grupo alterno de grado 4.
Se dice que un homomorfismo de grupo de D a G es una cubierta de Schur del grupo finito G si:
El multiplicador de Schur de G es el núcleo de cualquier recubrimiento de Schur y tiene muchas interpretaciones. Cuando se entiende el homomorfismo, el grupo D se suele denominar recubrimiento de Schur o Darstellungsgruppe.
Las cubiertas de Schur de los grupos simétricos y alternados se clasificaron en (Schur 1911). El grupo simétrico de grado n ≥ 4 tiene cubiertas de Schur de orden 2⋅ n ! Hay dos clases de isomorfismo si n ≠ 6 y una clase de isomorfismo si n = 6. El grupo alternado de grado n tiene una clase de isomorfismo de cubierta de Schur, que tiene orden n ! excepto cuando n es 6 o 7, en cuyo caso la cubierta de Schur tiene orden 3⋅ n !.
Las cubiertas de Schur se pueden describir mediante generadores y relaciones. El grupo simétrico S n tiene una presentación en n − 1 generadores t i para i = 1, 2, ..., n − 1 y relaciones
Estas relaciones se pueden utilizar para describir dos recubrimientos no isomorfos del grupo simétrico. Un grupo de recubrimiento 2⋅S−n
tiene generadores z , t 1 , ..., t n −1 y relaciones:
El mismo grupo 2⋅S−n
Se puede dar la siguiente presentación usando los generadores z y s i dados por t i o t i z según sea i par o impar:
El otro grupo de cobertura 2⋅S+
ntiene generadores z , t 1 , ..., t n −1 y relaciones:
El mismo grupo 2⋅S+
nSe puede dar la siguiente presentación usando los generadores z y s i dados por t i o t i z según sea i par o impar:
A veces todas las relaciones del grupo simétrico se expresan como ( t i t j ) m ij = 1 , donde m ij son números enteros no negativos, es decir m ii = 1 , m i , i +1 = 3 y m ij = 2 , para 1 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n − 1 . La presentación de 2⋅S−n
se vuelve particularmente simple en esta forma: ( t i t j ) m ij = z , y zz = 1. El grupo 2⋅S+
ntiene la agradable propiedad de que todos sus generadores tienen orden 2.
Los grupos de recubrimiento fueron introducidos por Issai Schur para clasificar representaciones proyectivas de grupos. Una representación lineal (compleja) de un grupo G es un homomorfismo de grupo G → GL( n , C ) del grupo G a un grupo lineal general , mientras que una representación proyectiva es un homomorfismo G → PGL( n , C ) de G a un grupo lineal proyectivo . Las representaciones proyectivas de G corresponden naturalmente a representaciones lineales del grupo de recubrimiento de G .
Las representaciones proyectivas de grupos alternados y simétricos son el tema del libro (Hoffman y Humphreys 1992).
Los grupos de recubrimiento corresponden al segundo grupo de homología , H 2 ( G , Z ), también conocido como multiplicador de Schur . Los multiplicadores de Schur de los grupos alternantes A n (en el caso en que n sea al menos 4) son los grupos cíclicos de orden 2, excepto en el caso en que n sea 6 o 7, en cuyo caso también hay una triple cobertura. En estos casos, entonces, el multiplicador de Schur es el grupo cíclico de orden 6, y el grupo de recubrimiento es una cobertura séxtuple.
Para el grupo simétrico, el multiplicador de Schur se desvanece para n ≤ 3, y es el grupo cíclico de orden 2 para n ≥ 4:
Las cubiertas dobles se pueden construir como cubiertas de espín (respectivamente, pin) de representaciones lineales fieles e irreducibles de A n y S n . Estas representaciones de espín existen para todos los n, pero son los grupos de cobertura solo para n ≥ 4 ( n ≠ 6, 7 para A n ). Para n ≤ 3, S n y A n son sus propias cubiertas de Schur.
Explícitamente, S n actúa sobre el espacio n -dimensional R n permutando coordenadas (en matrices, como matrices de permutación ). Esto tiene una subrepresentación trivial unidimensional correspondiente a vectores con todas las coordenadas iguales, y la subrepresentación complementaria ( n − 1) -dimensional (de vectores cuyas coordenadas suman 0) es irreducible para n ≥ 4 . Geométricamente, estas son las simetrías del ( n − 1) - símplex , y algebraicamente, produce mapas y expresándolos como subgrupos discretos ( grupos de puntos ). El grupo ortogonal especial tiene una cobertura doble por el grupo de espín Spin( n ) → SO( n ) , y restringiendo esta cobertura a A n y tomando la preimagen se obtiene una cobertura doble 2⋅A n → A n . Una construcción similar con un grupo pin produce la cobertura doble del grupo simétrico: Pin ± ( n ) → O( n ) . Como hay dos grupos pin, hay dos coberturas dobles distintas del grupo simétrico, 2⋅S ±
n, también llamado y Ŝ n .
La triple cobertura de A 6 , denotada 3⋅A 6 , y la triple cobertura correspondiente de S 6 , denotada 3⋅S 6 , pueden construirse como simetrías de un cierto conjunto de vectores en un 6-espacio complejo. Si bien las triples coberturas excepcionales de A 6 y A 7 se extienden a extensiones de S 6 y S 7 , estas extensiones no son centrales y, por lo tanto, no forman coberturas de Schur.
Esta construcción es importante en el estudio de los grupos esporádicos , y en gran parte del comportamiento excepcional de pequeños grupos clásicos y excepcionales, incluyendo: construcción del grupo de Mathieu M 24 , las coberturas excepcionales del grupo unitario proyectivo U 4 (3) y el grupo lineal especial proyectivo y la doble cobertura excepcional del grupo de tipo Lie G 2 (4). [ cita requerida ]
Para dimensiones bajas existen isomorfismos excepcionales con la aplicación de un grupo lineal especial sobre un cuerpo finito al grupo lineal especial proyectivo .
Para n = 3, el grupo simétrico es SL(2, 2) ≅ PSL(2, 2) y es su propia cubierta de Schur.
Para n = 4, la cobertura de Schur del grupo alternado está dada por SL(2, 3) → PSL(2, 3) ≅ A 4 , que también puede considerarse como el grupo tetraédrico binario que cubre al grupo tetraédrico . De manera similar, GL(2, 3) → PGL(2, 3) ≅ S 4 es una cobertura de Schur, pero hay una segunda cobertura de Schur no isomorfa de S 4 contenida en GL(2,9) – note que 9 = 3 2 por lo que esta es una extensión de escalares de GL(2, 3). En términos de las presentaciones anteriores, GL(2, 3) ≅ Ŝ 4 .
Para n = 5, la cobertura de Schur del grupo alternado está dada por SL(2, 5) → PSL(2, 5) ≅ A 5 , que también puede considerarse como el grupo icosaédrico binario que cubre al grupo icosaédrico . Aunque PGL(2, 5) ≅ S 5 , GL(2, 5) → PGL(2, 5) no es una cobertura de Schur ya que el núcleo no está contenido en el subgrupo derivado de GL(2 ,5). La cobertura de Schur de PGL(2, 5) está contenida en GL(2, 25) – como antes, 25 = 5 2 , por lo que esto extiende los escalares.
Para n = 6, la doble cobertura del grupo alternante está dada por SL(2, 9) → PSL(2, 9) ≅ A 6 . Mientras que PGL(2, 9) está contenido en el grupo de automorfismos PΓL (2, 9) de PSL(2, 9) ≅ A 6 , PGL(2, 9) no es isomorfo a S 6 , y sus coberturas de Schur (que son coberturas dobles) no están contenidas en ni son cociente de GL(2, 9). Nótese que en casi todos los casos, con la única excepción de A 6 , debido al excepcional automorfismo externo de A 6 . Otro subgrupo del grupo de automorfismos de A 6 es M 10 , el grupo de Mathieu de grado 10, cuya cobertura de Schur es una triple cobertura. Las cubiertas de Schur del grupo simétrico S 6 no tienen representaciones fieles como subgrupo de GL( d , 9) para d ≤ 3. Las cuatro cubiertas de Schur del grupo de automorfismos PΓL(2, 9) de A 6 son cubiertas dobles.
Para n = 8, el grupo alternado A 8 es isomorfo a SL(4, 2) = PSL(4, 2), y por lo tanto SL(4, 2) → PSL(4, 2), que es 1 a 1, no 2 a 1, no es una cobertura de Schur.
Las cubiertas de Schur de grupos perfectos finitos son superperfectas , es decir, tanto su primera como su segunda homología integral se anulan. En particular, las cubiertas dobles de A n para n ≥ 4 son superperfectas, excepto para n = 6, 7, y las cubiertas séxtuples de A n son superperfectas para n = 6, 7.
Como extensiones de un grupo simple, los grupos de cobertura de A n son grupos cuasisimples para n ≥ 5.
{{citation}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace ){{citation}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )