Mapeo de cizallamiento

Tipo de transformación geométrica

Corte horizontal del plano, que transforma la figura azul en roja. El punto negro es el origen.

En dinámica de fluidos, un mapeo de corte representa el flujo de fluido entre placas paralelas en movimiento relativo.

En geometría plana , una aplicación de corte es una transformación afín que desplaza cada punto en una dirección fija en una cantidad proporcional a su distancia con signo desde una línea dada paralela a esa dirección. ^[1] Este tipo de aplicación también se denomina transformación de corte , transvección o simplemente corte . Las transformaciones se pueden aplicar con una matriz de corte o transvección , una matriz elemental que representa la adición de un múltiplo de una fila o columna a otra. Dicha matriz se puede derivar tomando la matriz identidad y reemplazando uno de los elementos cero con un valor distinto de cero.

Un ejemplo es el mapa lineal que lleva cualquier punto con coordenadas al punto . En este caso, el desplazamiento es horizontal por un factor de 2, donde la línea fija es el eje x y la distancia con signo es la coordenada y . Nótese que los puntos en lados opuestos de la línea de referencia se desplazan en direcciones opuestas. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x+2y,y)}$

Las aplicaciones de cizallamiento no deben confundirse con las rotaciones . La aplicación de una aplicación de cizallamiento a un conjunto de puntos del plano cambiará todos los ángulos entre ellos (excepto los ángulos rectos ) y la longitud de cualquier segmento de línea que no sea paralelo a la dirección de desplazamiento. Por lo tanto, generalmente distorsionará la forma de una figura geométrica, por ejemplo, convirtiendo cuadrados en paralelogramos y círculos en elipses . Sin embargo, un cizallamiento preserva el área de las figuras geométricas y la alineación y las distancias relativas de los puntos colineales . Una aplicación de cizallamiento es la principal diferencia entre los estilos de letras verticales e inclinadas (o cursivas) .

La misma definición se utiliza en geometría tridimensional , excepto que la distancia se mide desde un plano fijo. Una transformación de cizallamiento tridimensional conserva el volumen de las figuras sólidas, pero cambia las áreas de las figuras planas (excepto las que son paralelas al desplazamiento). Esta transformación se utiliza para describir el flujo laminar de un fluido entre placas, una de las cuales se mueve en un plano superior y paralelo a la primera.

En el espacio cartesiano general n - dimensional , la distancia se mide desde un hiperplano fijo paralelo a la dirección de desplazamiento. Esta transformación geométrica es una transformación lineal de que preserva la medida n -dimensional (hipervolumen) de cualquier conjunto. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición

Cortante horizontal y vertical del plano

Corte horizontal de un cuadrado en paralelogramos con factores y ${\displaystyle \cot(60^{\circ })\approx 0.58}$ ${\displaystyle \cot(45^{\circ })=1}$

En el plano , una cortante horizontal (o cortante paralela al eje x ) es una función que toma un punto genérico con coordenadas en el punto ; donde m es un parámetro fijo, llamado factor de cortante . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x+my,y)}$

El efecto de esta función es desplazar cada punto horizontalmente en una cantidad proporcional a su coordenada y . Cualquier punto por encima del eje x se desplaza hacia la derecha ( x aumenta ) si m > 0 , y hacia la izquierda si m < 0. Los puntos por debajo del eje x se mueven en la dirección opuesta, mientras que los puntos sobre el eje permanecen fijos.

Las líneas rectas paralelas al eje x permanecen donde están, mientras que todas las demás líneas giran (en varios ángulos) alrededor del punto donde cruzan el eje x . Las líneas verticales, en particular, se convierten en líneas oblicuas con pendiente . Por lo tanto, el factor de corte m es la cotangente del ángulo de corte entre las verticales anteriores y el eje x . (En el ejemplo de la derecha, el cuadrado está inclinado 30°, por lo que el ángulo de corte es de 60°). ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}.}$ ${\displaystyle \varphi }$

Si las coordenadas de un punto se escriben como un vector columna (una matriz 2×1 ), la función de corte se puede escribir como una multiplicación por una matriz 2×2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Una cizalladura vertical (o cizalladura paralela al eje y ) de líneas es similar, excepto que los papeles de x e y están intercambiados. Corresponde a multiplicar el vector de coordenadas por la matriz transpuesta :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

La cizalladura vertical desplaza los puntos situados a la derecha del eje y hacia arriba o hacia abajo, según el signo de m . Deja invariables las líneas verticales, pero inclina todas las demás líneas respecto del punto en el que se encuentran con el eje y . Las líneas horizontales, en particular, se inclinan por el ángulo de cizalladura para convertirse en líneas con pendiente m . ${\displaystyle \varphi }$

Composición

Se pueden combinar dos o más transformaciones de corte.

Si dos matrices de corte son y ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}}$

entonces su matriz de composición es que también tiene determinante 1, por lo que el área se conserva. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+\lambda \mu &\lambda \\\mu &1\end{pmatrix}},}$$

En particular, si tenemos ${\displaystyle \lambda =\mu }$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+\lambda ^{2}&\lambda \\\lambda &1\end{pmatrix}},}$$

que es una matriz definida positiva .

Dimensiones superiores

Una matriz de corte típica tiene la forma $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Esta matriz se corta paralelamente al eje x en la dirección de la cuarta dimensión del espacio vectorial subyacente.

Una cizalladura paralela al eje x da como resultado y . En forma matricial: ${\displaystyle x'=x+\lambda y}$ ${\displaystyle y'=y}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

De manera similar, una fuerza cortante paralela al eje y tiene y . En forma matricial: ${\displaystyle x'=x}$ ${\displaystyle y'=y+\lambda x}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

En el espacio 3D esta matriz corta el plano YZ en el plano diagonal que pasa por estos 3 puntos: ${\displaystyle (0,0,0)}$ ${\displaystyle (\lambda ,1,0)}$ ${\displaystyle (\mu ,0,1)}$ $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &\mu \\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

El determinante siempre será 1, ya que sin importar dónde se coloque el elemento de corte, será un miembro de una diagonal oblicua que también contiene cero elementos (ya que todas las diagonales oblicuas tienen una longitud de al menos dos) por lo tanto, su producto seguirá siendo cero y no contribuirá al determinante. Por lo tanto, cada matriz de corte tiene una inversa , y la inversa es simplemente una matriz de corte con el elemento de corte negado, lo que representa una transformación de corte en la dirección opuesta. De hecho, esto es parte de un resultado más general fácilmente derivado: si S es una matriz de corte con elemento de corte λ , entonces S ⁿ es una matriz de corte cuyo elemento de corte es simplemente n λ . Por lo tanto, elevar una matriz de corte a una potencia n multiplica su factor de corte por n .

Propiedades

Si S es una matriz de corte n × n , entonces:

• S tiene rango n y por lo tanto es invertible
• 1 es el único valor propio de S , por lo que det S = 1 y tr S = n
• El espacio propio de S (asociado con el valor propio 1) tiene n − 1 dimensiones.
• S es defectuoso
• S es asimétrico
• S puede convertirse en una matriz de bloques mediante, como máximo, una operación de intercambio de columnas y una operación de intercambio de filas.
• El área , el volumen o cualquier capacidad interior de orden superior de un politopo es invariante bajo la transformación cortante de los vértices del politopo.

Mapeos generales de cizallamiento

Para un espacio vectorial V y un subespacio W , una fijación cortante W traslada todos los vectores en una dirección paralela a W .

Para ser más precisos, si V es la suma directa de W y W′ , y escribimos los vectores como

${\displaystyle v=w+w'}$

correspondientemente, la cizalladura típica L que fija W es

${\displaystyle L(v)=(Lw+Lw')=(w+Mw')+w',}$

donde M es una función lineal de W′ en W . Por lo tanto, en términos de matriz de bloques, L se puede representar como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}.}$

Aplicaciones

William Kingdon Clifford señaló las siguientes aplicaciones del mapeo de cizallamiento :

"Una sucesión de cortes nos permitirá reducir cualquier figura limitada por líneas rectas a un triángulo de igual área."

"...podemos cortar cualquier triángulo para convertirlo en un triángulo rectángulo, y esto no alterará su área. Por lo tanto, el área de cualquier triángulo es la mitad del área del rectángulo de la misma base y con una altura igual a la perpendicular a la base desde el ángulo opuesto". ^[2]

La propiedad de conservación del área de una función de corte se puede utilizar para resultados que involucran áreas. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras se ha ilustrado con la función de corte ^[3], así como el teorema de la media geométrica relacionado .

Las matrices de corte se utilizan a menudo en gráficos por computadora . ^{[4] [5] [6]}

Un algoritmo creado por Alan W. Paeth utiliza una secuencia de tres asignaciones de corte (horizontal, vertical y nuevamente horizontal) para rotar una imagen digital en un ángulo arbitrario. El algoritmo es muy simple de implementar y muy eficiente, ya que cada paso procesa solo una columna o una fila de píxeles a la vez. ^[7]

En tipografía , el texto normal transformado mediante un mapeo de corte da como resultado un tipo oblicuo .

En la relatividad galileana preeinsteiniana , las transformaciones entre marcos de referencia son aplicaciones de corte llamadas transformaciones galileanas . Estas también se observan a veces al describir marcos de referencia móviles en relación con un marco "preferido", a veces denominado tiempo y espacio absolutos .

Véase también

• Matriz de transformación

Referencias

1. Definición según Weisstein, Eric W. Shear De MathWorld − Un recurso web de Wolfram
2. William Kingdon Clifford (1885) El sentido común y las ciencias exactas , página 113
3. Hohenwarter, M Teorema de Pitágoras por mapeo de corte; realizado con GeoGebra . Arrastre los controles deslizantes para observar los cortes
4. Foley y otros (1991, págs. 207-208, 216-217)
5. Herramientas geométricas para gráficos por computadora, Philip J. Schneider y David H. Eberly, págs. 154-157
6. Gráficos por computadora, Apueva A. Desai, págs. 162-164
7. AW Paeth (1986), Un algoritmo rápido para la rotación general de tramas. Vision Interface (VI1986) pp 077-081.

Bibliografía

• Foley, James D.; van Dam, Andries; Feiner, Steven K.; Hughes, John F. (1991), Gráficos por computadora: principios y práctica (2.ª ed.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-12110-7