La entropía es una de las pocas cantidades en las ciencias físicas que requiere una dirección particular para el tiempo , a veces llamada flecha del tiempo . A medida que uno avanza en el tiempo, dice la segunda ley de la termodinámica , la entropía de un sistema aislado puede aumentar, pero no disminuir . Así, la medición de la entropía es una forma de distinguir el pasado del futuro . En sistemas termodinámicos que no están aislados, la entropía local puede disminuir con el tiempo, acompañada de un aumento compensador de entropía en el entorno ; los ejemplos incluyen objetos que se enfrían , sistemas vivos y la formación de cristales típicos .
Al igual que la temperatura , a pesar de ser un concepto abstracto, todo el mundo tiene una idea intuitiva de los efectos de la entropía. Por ejemplo, a menudo es muy fácil diferenciar entre un vídeo que se reproduce hacia adelante o hacia atrás. Un vídeo puede mostrar un fuego de leña que derrite un bloque de hielo cercano; Jugado al revés, mostraría un charco de agua convirtiendo una nube de humo en madera sin quemar y congelándose en el proceso. Sorprendentemente, en cualquier caso, la gran mayoría de las leyes de la física no se violan mediante estos procesos, siendo la segunda ley de la termodinámica una de las únicas excepciones. Cuando una ley de la física se aplica igualmente cuando se invierte el tiempo, se dice que muestra simetría T ; en este caso, la entropía es la que permite decidir si el video descrito anteriormente se reproduce hacia adelante o hacia atrás, ya que intuitivamente identificamos que solo cuando se reproduce hacia adelante la entropía de la escena aumenta. Debido a la segunda ley de la termodinámica, la entropía impide que los procesos macroscópicos muestren simetría T.
Cuando se estudia a escala microscópica, no se pueden hacer los juicios anteriores. Al observar una sola partícula de humo sacudida por el aire , no quedaría claro si un vídeo se está reproduciendo hacia adelante o hacia atrás y, de hecho, no sería posible ya que las leyes que se aplican muestran simetría T. A medida que se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha, cualitativamente no parece diferente; sólo cuando el gas se estudia a escala macroscópica se hacen perceptibles los efectos de la entropía (véase la paradoja de Loschmidt ). En promedio, se esperaría que las partículas de humo alrededor de una cerilla encendida se alejaran unas de otras, difundiéndose por todo el espacio disponible. Sería un evento astronómicamente improbable que todas las partículas se agruparan, pero no se puede predecir el movimiento de una sola partícula de humo.
Por el contrario, ciertas interacciones subatómicas que involucran la fuerza nuclear débil violan la conservación de la paridad , pero sólo en muy raras ocasiones. [1] Según el teorema CPT , esto significa que también deberían ser irreversibles en el tiempo , y así establecer una flecha del tiempo. Esto, sin embargo, no está vinculado a la flecha termodinámica del tiempo ni tiene nada que ver con la experiencia cotidiana de la irreversibilidad del tiempo. [2]
La segunda ley de la termodinámica permite que la entropía permanezca igual independientemente de la dirección del tiempo. Si la entropía es constante en cualquier dirección del tiempo, no habría una dirección preferida. Sin embargo, la entropía sólo puede ser constante si el sistema se encuentra en el mayor estado de desorden posible, como un gas que siempre estuvo, y siempre estará, uniformemente distribuido en su contenedor. La existencia de una flecha termodinámica del tiempo implica que el sistema está altamente ordenado en una sola dirección del tiempo, que por definición sería el "pasado". Por tanto, esta ley trata de las condiciones de frontera más que de las ecuaciones de movimiento .
La segunda ley de la termodinámica es de naturaleza estadística y, por tanto, su fiabilidad surge de la enorme cantidad de partículas presentes en los sistemas macroscópicos. En principio, no es imposible que los 6 × 10 23 átomos de un mol de gas migren espontáneamente a la mitad de un recipiente; es simplemente fantásticamente improbable, tan improbable que nunca se haya observado una violación macroscópica de la Segunda Ley.
La flecha termodinámica a menudo se vincula con la flecha cosmológica del tiempo, porque en última instancia se trata de las condiciones límite del universo primitivo. Según la teoría del Big Bang , el Universo estaba inicialmente muy caliente y la energía se distribuía uniformemente. Para un sistema en el que la gravedad es importante, como el universo, este es un estado de baja entropía (en comparación con un estado de alta entropía en el que toda la materia colapsa en agujeros negros , un estado al que el sistema puede eventualmente evolucionar). A medida que el Universo crece, su temperatura desciende, lo que deja menos energía [por unidad de volumen de espacio] disponible para realizar trabajos en el futuro que la que había disponible en el pasado. Además, aumentan las perturbaciones en la densidad de energía (eventualmente se forman galaxias y estrellas ). Por tanto, el Universo mismo tiene una flecha termodinámica del tiempo bien definida. Pero esto no aborda la cuestión de por qué el estado inicial del universo era de baja entropía. Si la expansión cósmica se detuviera y se revirtiera debido a la gravedad, la temperatura del Universo volvería a aumentar, pero su entropía también continuaría aumentando debido al crecimiento continuo de las perturbaciones y la eventual formación de agujeros negros, [3] hasta el últimas etapas del Big Crunch cuando la entropía sería menor que ahora. [ cita necesaria ]
Consideremos la situación en la que un recipiente grande está lleno con dos líquidos separados, por ejemplo, un tinte por un lado y agua por el otro. Sin barrera entre los dos líquidos, el empujón aleatorio de sus moléculas hará que se mezclen más a medida que pasa el tiempo. Sin embargo, si el tinte y el agua se mezclan, no se espera que se separen nuevamente cuando se dejan solos. Una película de la mezcla parecería realista cuando se reproduce hacia adelante, pero poco realista cuando se reproduce hacia atrás.
Si se observa el recipiente grande al principio del proceso de mezcla, es posible que se encuentre sólo parcialmente mezclado. Sería razonable concluir que, sin intervención externa, el líquido alcanzó este estado porque estuvo más ordenado en el pasado, cuando había mayor separación, y estará más desordenado o mezclado en el futuro.
Ahora imaginemos que se repite el experimento, esta vez con sólo unas pocas moléculas, tal vez diez, en un recipiente muy pequeño. Uno puede imaginar fácilmente que al observar el empujón aleatorio de las moléculas podría ocurrir (sólo por casualidad) que las moléculas quedaran claramente segregadas, con todas las moléculas de tinte en un lado y todas las moléculas de agua en el otro. Del teorema de la fluctuación se puede concluir que esto puede ocurrir de vez en cuando ; por tanto, no es imposible que las moléculas se segreguen. Sin embargo, para un gran número de moléculas es tan improbable que habría que esperar, en promedio, muchas veces más que la edad actual del universo para que esto ocurra. Así, una película que mostrara un gran número de moléculas segregándose como se describe anteriormente parecería poco realista y uno se inclinaría a decir que la película se estaba reproduciendo al revés. Véase la segunda ley de Boltzmann como una ley del desorden .
Las matemáticas detrás de la flecha del tiempo , la entropía y la base de la segunda ley de la termodinámica se derivan de la siguiente configuración, detallada por Carnot (1824), Clapeyron (1832) y Clausius (1854):
En este caso, como lo demuestra la experiencia común, cuando un cuerpo caliente T 1 , como un horno, se pone en contacto físico, como por ejemplo al estar conectado a través de un cuerpo de fluido ( cuerpo de trabajo ), con un cuerpo frío T 2 , como una corriente de agua fría, la energía fluirá invariablemente de caliente a fría en forma de calor Q y, con el tiempo, el sistema alcanzará el equilibrio . La entropía, definida como Q/T, fue concebida por Rudolf Clausius como una función para medir la irreversibilidad molecular de este proceso, es decir, el trabajo disipativo que los átomos y las moléculas realizan entre sí durante la transformación.
En este diagrama, se puede calcular el cambio de entropía Δ S para el paso de la cantidad de calor Q desde la temperatura T 1 , a través del "cuerpo de trabajo" de fluido (ver motor térmico ), que típicamente era un cuerpo de vapor, hasta la temperatura T2 . Además, se podría suponer, a efectos del argumento, que el cuerpo que trabaja contiene sólo dos moléculas de agua.
A continuación, si hacemos la tarea, como la hizo originalmente Clausius:
Entonces el cambio de entropía o "valor de equivalencia" para esta transformación es:
que es igual a:
y al factorizar Q, tenemos la siguiente forma, tal como la dedujo Clausius:
Así, por ejemplo, si Q fuera 50 unidades, T 1 fuera inicialmente 100 grados y T 2 fuera 1 grado, entonces el cambio de entropía para este proceso sería 49,5. Por lo tanto, la entropía aumentó para este proceso, el proceso tomó una cierta cantidad de "tiempo" y se puede correlacionar el aumento de entropía con el paso del tiempo. Para esta configuración del sistema, por lo tanto, es una "regla absoluta". Esta regla se basa en el hecho de que todos los procesos naturales son irreversibles en virtud del hecho de que las moléculas de un sistema, por ejemplo dos moléculas en un tanque, no sólo realizan trabajo externo (como empujar un pistón), sino también trabajo interno. trabajan entre sí, en proporción al calor utilizado para realizar el trabajo (ver: Equivalente mecánico del calor ) durante el proceso. La entropía explica el hecho de que existe fricción intermolecular interna.
Una diferencia importante entre el pasado y el futuro es que en cualquier sistema (como un gas de partículas) sus condiciones iniciales suelen ser tales que sus diferentes partes no están correlacionadas, pero a medida que el sistema evoluciona y sus diferentes partes interactúan entre sí, correlacionarse. [4] Por ejemplo, cuando se trata de un gas de partículas, siempre se supone que sus condiciones iniciales son tales que no existe correlación entre los estados de diferentes partículas (es decir, las velocidades y ubicaciones de las diferentes partículas son completamente aleatorias, hasta a la necesidad de ajustarse al macroestado del sistema). Esto está estrechamente relacionado con la segunda ley de la termodinámica: por ejemplo, en un sistema finito que interactúa con depósitos de calor finitos, la entropía es equivalente a las correlaciones sistema-depósito y, por lo tanto, ambos aumentan juntos. [5]
Tomemos, por ejemplo (experimento A), una caja cerrada que, al principio, está llena hasta la mitad con gas ideal. A medida que pasa el tiempo, el gas obviamente se expande hasta llenar toda la caja, de modo que el estado final es una caja llena de gas. Se trata de un proceso irreversible, ya que si la caja está llena al principio (experimento B), no se llena más tarde sólo hasta la mitad, salvo en el caso muy improbable de que las partículas de gas tengan ubicaciones y velocidades muy especiales. Pero esto se debe precisamente a que siempre suponemos que las condiciones iniciales en el experimento B son tales que las partículas tienen ubicaciones y velocidades aleatorias. Esto no es correcto para las condiciones finales del sistema en el experimento A, porque las partículas han interactuado entre sí, de modo que sus ubicaciones y velocidades se han vuelto dependientes unas de otras, es decir, correlacionadas. Esto se puede entender si miramos el experimento A hacia atrás en el tiempo, al que llamaremos experimento C: ahora comenzamos con una caja llena de gas, pero las partículas no tienen ubicaciones ni velocidades aleatorias; más bien, sus ubicaciones y velocidades son tan particulares que después de un tiempo todos se mueven a la mitad de la caja, que es el estado final del sistema (este es el estado inicial del experimento A, porque ahora estamos viendo el mismo experimento al revés!). Las interacciones entre partículas ahora no crean correlaciones entre las partículas, sino que de hecho las convierten en (al menos aparentemente) aleatorias, "cancelando" las correlaciones preexistentes. [ cita necesaria ] La única diferencia entre el experimento C (que desafía la Segunda Ley de la Termodinámica) y el experimento B (que obedece la Segunda Ley de la Termodinámica) es que en el primero las partículas no están correlacionadas al final, mientras que en el segundo las partículas no están correlacionados al principio. [ cita necesaria ]
De hecho, si todos los procesos físicos microscópicos son reversibles (ver discusión a continuación), entonces la Segunda Ley de la Termodinámica puede demostrarse para cualquier sistema aislado de partículas con condiciones iniciales en las que los estados de las partículas no están correlacionados. Para hacer esto, uno debe reconocer la diferencia entre la entropía medida de un sistema, que depende sólo de su macroestado (su volumen, temperatura, etc.), y su entropía de información , [6] que es la cantidad de información (número de computadoras). bits) necesarios para describir el microestado exacto del sistema. La entropía medida es independiente de las correlaciones entre las partículas del sistema, porque no afectan su macroestado, pero la entropía de la información sí depende de ellas, porque las correlaciones reducen la aleatoriedad del sistema y, por tanto, reducen la cantidad de información necesaria para describirlo. [7] Por lo tanto, en ausencia de tales correlaciones, las dos entropías son idénticas, pero por lo demás, la entropía de la información es menor que la entropía medida, y la diferencia puede usarse como una medida de la cantidad de correlaciones.
Ahora bien, según el teorema de Liouville , la inversión temporal de todos los procesos microscópicos implica que la cantidad de información necesaria para describir el microestado exacto de un sistema aislado (su entropía conjunta teórica de la información ) es constante en el tiempo. Esta entropía conjunta es igual a la entropía marginal (entropía suponiendo que no haya correlaciones) más la entropía de correlación (entropía mutua o su información mutua negativa ). Si inicialmente no asumimos correlaciones entre las partículas, entonces esta entropía conjunta es solo la entropía marginal, que es solo la entropía termodinámica inicial del sistema, dividida por la constante de Boltzmann . [ cita necesaria ] Sin embargo, si estas son realmente las condiciones iniciales (y esta es una suposición crucial), entonces tales correlaciones se forman con el tiempo. En otras palabras, hay una entropía mutua decreciente (o una información mutua creciente), y durante un tiempo que no es demasiado largo, las correlaciones (información mutua) entre partículas solo aumentan con el tiempo. Por lo tanto, la entropía termodinámica, que es proporcional a la entropía marginal, también debe aumentar con el tiempo [8] (nótese que "no demasiado" en este contexto es relativo al tiempo necesario, en una versión clásica del sistema, para pasar por todos sus microestados posibles, un tiempo que puede estimarse aproximadamente como , donde es el tiempo entre colisiones de partículas y S es la entropía del sistema. En cualquier caso práctico, este tiempo es enorme en comparación con todo lo demás). Tenga en cuenta que la correlación entre partículas no es una cantidad totalmente objetiva. No se puede medir la entropía mutua, sólo se puede medir su cambio, suponiendo que se pueda medir un microestado. [ cita necesaria ] La termodinámica se restringe al caso en el que no se pueden distinguir microestados, lo que significa que solo se puede medir la entropía marginal, proporcional a la entropía termodinámica, y, en un sentido práctico, siempre aumenta.
Los fenómenos que ocurren de manera diferente según su dirección temporal pueden, en última instancia, vincularse a la segunda ley de la termodinámica [ cita requerida ] , por ejemplo, los cubitos de hielo se derriten en el café caliente en lugar de ensamblarse a partir del café y un bloque que se desliza sobre una superficie rugosa se ralentiza. en lugar de acelerar. La idea de que podemos recordar el pasado y no el futuro se llama "flecha psicológica del tiempo" y tiene profundas conexiones con el demonio de Maxwell y la física de la información; la memoria está vinculada a la segunda ley de la termodinámica si se la ve como una correlación entre las células cerebrales (o bits de computadora) y el mundo exterior: dado que tales correlaciones aumentan con el tiempo, la memoria está vinculada a eventos pasados, en lugar de eventos futuros [ cita necesaria ] .
Las investigaciones actuales se centran principalmente en describir matemáticamente la flecha termodinámica del tiempo, ya sea en sistemas clásicos o cuánticos, y en comprender su origen desde el punto de vista de las condiciones de frontera cosmológicas .
Algunas investigaciones actuales en sistemas dinámicos indican una posible "explicación" de la flecha del tiempo. [ cita necesaria ] Hay varias formas de describir la evolución temporal de un sistema dinámico. En el marco clásico, se considera una ecuación diferencial ordinaria , donde el parámetro es explícitamente el tiempo. Por la propia naturaleza de las ecuaciones diferenciales, las soluciones de tales sistemas son inherentemente reversibles en el tiempo. Sin embargo, muchos de los casos interesantes son ergódicos o mixtos , y se sospecha firmemente que la mezcla y la ergodicidad subyacen de alguna manera al mecanismo fundamental de la flecha del tiempo. Si bien la fuerte sospecha puede no ser más que una fugaz sensación de intuición, no se puede negar que, cuando existen múltiples parámetros, el campo de las ecuaciones diferenciales parciales entra en juego. En tales sistemas está en juego la fórmula de Feynman-Kac , que asegura, para casos específicos, una correspondencia uno a uno entre una ecuación diferencial estocástica lineal específica y una ecuación diferencial parcial. Por tanto, cualquier sistema de ecuaciones diferenciales parciales equivale a un sistema aleatorio de un solo parámetro, que no es reversible debido a la correspondencia antes mencionada. [9]
Los sistemas mixtos y ergódicos no tienen soluciones exactas y, por lo tanto, demostrar la irreversibilidad del tiempo en un sentido matemático es (a partir de 2006 [actualizar]) imposible. [ cita necesaria ] El concepto de soluciones "exactas" es antrópico . ¿Significa "exacto" lo mismo que forma cerrada en términos de expresiones ya conocidas, o significa simplemente una única secuencia finita de trazos de un/el utensilio de escritura/un dedo humano? Hay innumerables sistemas conocidos por la humanidad que son abstractos y tienen definiciones recursivas, pero actualmente no existe ninguna notación no autorreferencial. Como resultado de esta complejidad, es natural buscar en otros lugares diferentes ejemplos y perspectivas. Se pueden lograr algunos avances mediante el estudio de modelos de tiempo discreto o ecuaciones en diferencias . Muchos modelos de tiempo discreto, como las funciones iteradas consideradas en los populares programas de dibujo de fractales, no son reversibles en el tiempo, ya que cualquier punto dado "en el presente" puede tener varios "pasados" diferentes asociados: de hecho, el conjunto de todos los pasados se conoce como el conjunto de Julia . Dado que estos sistemas tienen una irreversibilidad inherente, no es apropiado utilizarlos para explicar por qué el tiempo no es reversible.
Hay otros sistemas que son caóticos y también explícitamente reversibles en el tiempo: entre ellos se encuentra el mapa del panadero , que también tiene solución exacta. Una vía de estudio interesante es examinar soluciones a tales sistemas no iterando el sistema dinámico a lo largo del tiempo, sino estudiando el operador de Frobenius-Perron correspondiente o el operador de transferencia para el sistema. Para algunos de estos sistemas, se puede demostrar explícita y matemáticamente que los operadores de transferencia no son de clase de seguimiento . Esto significa que estos operadores no tienen un espectro de valores propios único que sea independiente de la elección de la base. En el caso del mapa del panadero, se puede demostrar que existen varias diagonalizaciones o bases únicas y no equivalentes, cada una con un conjunto diferente de valores propios. Es este fenómeno el que puede ofrecerse como "explicación" de la flecha del tiempo. Es decir, aunque el sistema iterado de tiempo discreto es explícitamente simétrico en el tiempo, el operador de transferencia no lo es. Además, el operador de transferencia se puede diagonalizar de una de dos formas no equivalentes: una que describe la evolución hacia adelante del sistema y otra que describe la evolución hacia atrás.
Hasta 2006, este tipo de ruptura de la simetría temporal se había demostrado sólo para un número muy pequeño de sistemas en tiempo discreto con solución exacta. El operador de transferencia para sistemas más complejos no se ha formulado de manera consistente y su definición precisa está atrapada en una variedad de dificultades sutiles. En particular, no se ha demostrado que tenga una simetría rota para los sistemas ergódicos de tiempo continuo más simples y con solución exacta, como los billares de Hadamard o el flujo de Anosov en el espacio tangente de PSL(2,R) .
La investigación sobre la irreversibilidad en la mecánica cuántica toma varias direcciones diferentes. Una vía es el estudio de los espacios de Hilbert amañados y, en particular, cómo se entremezclan los espectros de valores propios discretos y continuos [ cita requerida ] . Por ejemplo, los números racionales están completamente entremezclados con los números reales y, sin embargo, tienen un conjunto de propiedades único y distinto. Se espera que el estudio de los espacios de Hilbert con una mezcla similar proporcione información sobre la flecha del tiempo.
Otro enfoque distinto es a través del estudio del caos cuántico mediante el cual se intenta cuantificar sistemas como clásicamente caóticos, ergódicos o mixtos. [ cita necesaria ] Los resultados obtenidos no son diferentes de los que provienen del método del operador de transferencia. Por ejemplo, la cuantización del gas de Boltzmann , es decir, un gas de partículas puntuales duras (elásticas) en una caja rectangular, revela que las funciones propias son fractales que llenan el espacio y ocupan toda la caja, y que los valores propios de energía están muy estrechamente espaciados. y tener un espectro "casi continuo" (para un número finito de partículas en una caja, el espectro debe ser, necesariamente, discreto). Si las condiciones iniciales son tales que todas las partículas están confinadas a un lado de la caja, el sistema evoluciona muy rápidamente hacia uno en el que las partículas llenan toda la caja. Incluso cuando todas las partículas están inicialmente en un lado de la caja, sus funciones de onda, de hecho, impregnan toda la caja: interfieren constructivamente en un lado e interfieren destructivamente en el otro. Luego se argumenta la irreversibilidad señalando que es "casi imposible" que las funciones de onda estén dispuestas "accidentalmente" en algún estado improbable: tales disposiciones son un conjunto de medida cero . Como las funciones propias son fractales, gran parte del lenguaje y la maquinaria de la entropía y la mecánica estadística pueden importarse para discutir y argumentar el caso cuántico. [ cita necesaria ]
Algunos procesos que involucran partículas de alta energía y están gobernados por la fuerza débil (como la desintegración del mesón K ) desafían la simetría entre las direcciones del tiempo. Sin embargo, todos los procesos físicos conocidos conservan una simetría más complicada ( simetría CPT ) y, por tanto, no están relacionados con la segunda ley de la termodinámica ni con la experiencia cotidiana de la flecha del tiempo. Una excepción notable es el colapso de la función de onda en la mecánica cuántica , un proceso irreversible que se considera real (según la interpretación de Copenhague ) o sólo aparente (según la interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica). En cualquier caso, el colapso de la función de onda siempre sigue a la decoherencia cuántica , un proceso que se entiende como resultado de la segunda ley de la termodinámica.
El universo se encontraba en un estado uniforme y de alta densidad en sus primeras etapas, poco después del Big Bang. El gas caliente en el universo primitivo estaba cerca del equilibrio termodinámico (ver Problema del horizonte ); en sistemas donde la gravitación juega un papel importante, este es un estado de baja entropía, debido a la capacidad calorífica negativa de tales sistemas (esto es contrario a los sistemas no gravitacionales donde el equilibrio termodinámico es un estado de máxima entropía). Además, debido a su pequeño volumen en comparación con épocas futuras, la entropía era aún menor a medida que la expansión del gas aumenta su entropía. Por tanto, se puede considerar que el universo primitivo estaba muy ordenado. Tenga en cuenta que la uniformidad de este temprano estado cercano al equilibrio ha sido explicada por la teoría de la inflación cósmica .
Según esta teoría el universo (o, mejor dicho, su parte accesible, un radio de 46 mil millones de años luz alrededor de la Tierra) evolucionó a partir de un volumen diminuto y totalmente uniforme (una porción de un universo mucho mayor), que se expandió enormemente; por eso era muy ordenado. Luego se crearon fluctuaciones mediante procesos cuánticos relacionados con su expansión, de una manera que se suponía era tal que estas fluctuaciones pasaban por la decoherencia cuántica, de modo que dejaban de estar correlacionadas para cualquier uso práctico. Se supone que esto proporciona las condiciones iniciales deseadas necesarias para la Segunda Ley de la Termodinámica; diferentes estados decoherentes finalmente evolucionaron hacia diferentes disposiciones específicas de galaxias y estrellas.
El universo es aparentemente un universo abierto , por lo que su expansión nunca terminará, pero es un experimento mental interesante imaginar qué habría sucedido si el universo hubiera estado cerrado . En tal caso, su expansión se detendría en un momento determinado en un futuro lejano y luego comenzaría a contraerse. Además, un universo cerrado es finito. No está claro qué pasaría con la segunda ley de la termodinámica en tal caso. Se podrían imaginar al menos dos escenarios diferentes, aunque en realidad sólo el primero es plausible, ya que el otro requiere una evolución cósmica muy fluida, al contrario de lo que se observa:
En el primer escenario, el más consensuado, es la diferencia entre el estado inicial y el estado final del universo la responsable de la flecha termodinámica del tiempo. Esto es independiente de la flecha cosmológica del tiempo.
... se demuestra que para que haya una evolución global de la entropía a su valor máximo ... es necesario y suficiente que el sistema tenga una propiedad conocida como exactitud. ... estos criterios sugieren que todas las leyes físicas formuladas actualmente pueden no estar en la base del comportamiento termodinámico que observamos todos los días de nuestras vidas. (página xi)
