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Tipo de continuidad de una función de valor complejo

En matemáticas , una función real o compleja f en un espacio euclidiano de dimensión d satisface una condición de Hölder , o es continua de Hölder , cuando hay constantes reales C ≥ 0 , α > 0 , tales que para todo x e y en el dominio de f . De manera más general, la condición se puede formular para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera . El número se denomina exponente de la condición de Hölder. Una función en un intervalo que satisface la condición con α > 1 es constante (ver prueba a continuación). Si α = 1 , entonces la función satisface una condición de Lipschitz . Para cualquier α > 0 , la condición implica que la función es uniformemente continua . La condición recibe su nombre de Otto Hölder . $${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }}$$ ${\displaystyle \alpha }$

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones para funciones definidas en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] de la recta real con a < b :

Continuamente diferenciable ⊂ Lipschitz continua ⊂ -Hölder continua ⊂ uniformemente continua = continua , ${\displaystyle \alpha }$

donde 0 < α ≤ 1 .

Espacios de Hölder

Los espacios de Hölder que consisten en funciones que satisfacen una condición de Hölder son básicos en áreas de análisis funcional relevantes para resolver ecuaciones diferenciales parciales y en sistemas dinámicos . El espacio de Hölder C ^{k , α} (Ω) , donde Ω es un subconjunto abierto de algún espacio euclidiano y k ≥ 0 un entero, consiste en aquellas funciones en Ω que tienen derivadas continuas hasta el orden k y tales que las derivadas parciales k -ésimas son continuas de Hölder con exponente α , donde 0 < α ≤ 1 . Este es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Si el coeficiente de Hölder es finito, entonces se dice que la función f es (uniformemente) continua de Hölder con exponente α en Ω . En este caso, el coeficiente de Hölder sirve como una seminorma . Si el coeficiente de Hölder está simplemente acotado en subconjuntos compactos de Ω , entonces se dice que la función f es localmente continua en Hölder con exponente α en Ω . $${\displaystyle \left|f\right|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega ,x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{\left\|x-y\right\|^{\alpha }}},}$$

Si la función f y sus derivadas hasta el orden k están acotadas en el cierre de Ω, entonces al espacio de Hölder se le puede asignar la norma donde β varía sobre índices múltiples y ${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$ $${\displaystyle \left\|f\right\|_{C^{k,\alpha }}=\left\|f\right\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}}$$ $${\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|.}$$

Estas seminormas y normas se denotan a menudo simplemente como y o también como y para enfatizar la dependencia del dominio de f . Si Ω es abierto y acotado, entonces es un espacio de Banach con respecto a la norma . ${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha }}$ ${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha }}$ ${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha ,\Omega }\;}$ ${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha ,\Omega }}$ ${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}}$

Incorporación compacta de espacios de Hölder

Sea Ω un subconjunto acotado de algún espacio euclidiano (o, más generalmente, cualquier espacio métrico totalmente acotado) y sean 0 < α < β ≤ 1 dos exponentes de Hölder. Entonces, hay una función de inclusión obvia de los espacios de Hölder correspondientes: que es continua ya que, por definición de las normas de Hölder, tenemos: $${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),}$$ $${\displaystyle \forall f\in C^{0,\beta }(\Omega ):\qquad |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.}$$

Además, esta inclusión es compacta, lo que significa que los conjuntos acotados en la norma ‖ · ‖ _0,β son relativamente compactos en la norma ‖ · ‖ _0,α . Esta es una consecuencia directa del teorema de Ascoli-Arzelà . De hecho, sea ( u _n ) una sucesión acotada en C ^0,β (Ω) . Gracias al teorema de Ascoli-Arzelà podemos suponer sin pérdida de generalidad que u _n → u uniformemente, y también podemos suponer u = 0 . Entonces, debido a que $${\displaystyle \left|u_{n}-u\right|_{0,\alpha }=\left|u_{n}\right|_{0,\alpha }\to 0,}$$ $${\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}\left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha }{\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).}$$

Ejemplos

• Si 0 < α ≤ β ≤ 1 entonces todas las funciones continuas de Hölder en un conjunto acotado Ω también son continuas de Hölder. Esto también incluye β = 1 y, por lo tanto, todas las funciones continuas de Lipschitz en un conjunto acotado también son C ^{0, α} continuas de Hölder. ${\displaystyle C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})}$
• La función f ( x ) = x ^β (con β ≤ 1 ) definida en [0, 1] sirve como un ejemplo prototípico de una función que es C ^{0, α} Hölder continua para 0 < α ≤ β , pero no para α > β . Además, si definimos f análogamente en , sería C ^0,α Hölder continua solo para α = β . ${\displaystyle [0,\infty )}$
• Si una función es continua en un intervalo y luego es constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >1,}$ ${\displaystyle f}$

Prueba

Consideremos el caso en el que . Entonces , por lo que el cociente de diferencias converge a cero cuando . Por lo tanto, existe y es cero en todas partes. El teorema del valor medio ahora implica que es constante. QED ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right|\leq C|x-y|^{\alpha -1}}$ ${\displaystyle |x-y|\to 0}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$

Idea alternativa: Fijar y dividir en donde . Entonces como , debido a . Por lo tanto . QED ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=0}^{n}}$ ${\displaystyle x_{k}=x+{\frac {k}{n}}(y-x)}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq |f(x_{0})-f(x_{1})|+|f(x_{1})-f(x_{2})|+\ldots +|f(x_{n-1})-f(x_{n})|\leq \sum _{i=1}^{n}C\left({\frac {|x-y|}{n}}\right)^{\alpha }=C|x-y|^{\alpha }n^{1-\alpha }\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$

• Hay ejemplos de funciones uniformemente continuas que no son α -Hölder continuas para cualquier α . Por ejemplo, la función definida en [0, 1/2] por f (0) = 0 y por f ( x ) = 1/log( x ) en caso contrario es continua y, por lo tanto, uniformemente continua según el teorema de Heine-Cantor . Sin embargo, no satisface una condición de Hölder de ningún orden.
• La función de Weierstrass se define por: donde es un número entero, y es α -Hölder continua con ^[1] $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos \left(b^{n}\pi x\right),}$$ ${\displaystyle 0<a<1,b}$ ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3\pi }{2}},}$ $${\displaystyle \alpha =-{\frac {\log(a)}{\log(b)}}.}$$
• La función de Cantor es continua en el sentido de Hölder para cualquier exponente y no para ninguno mayor. En el primer caso, la desigualdad de la definición se cumple con la constante C  := 2 . ${\displaystyle \alpha \leq {\tfrac {\log 2}{\log 3}},}$
• Las curvas de Peano desde [0, 1] hasta el cuadrado [0, 1] ² se pueden construir como 1/2-Hölder continuas. Se puede demostrar que cuando la imagen de una función -Hölder continua desde el intervalo unitario hasta el cuadrado no puede llenar el cuadrado. ${\displaystyle \alpha >{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \alpha }$
• Es casi seguro que las trayectorias de muestra del movimiento browniano se encuentran en todas partes a nivel local -Hölder para cada . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha <{\tfrac {1}{2}}}$
• Las funciones que son localmente integrables y cuyas integrales satisfacen una condición de crecimiento apropiada también son continuas de Hölder. Por ejemplo, si hacemos que y u satisface, entonces u es continua de Hölder con exponente α . ^[2] $${\displaystyle u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)\,dy}$$ $${\displaystyle \int _{B_{r}(x)}\left|u(y)-u_{x,r}\right|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha },}$$
• Las funciones cuya oscilación decae a una tasa fija con respecto a la distancia son continuas en el sentido de Hölder con un exponente que está determinado por la tasa de decaimiento. Por ejemplo, si para alguna función u ( x ) satisface para un λ fijo con 0 < λ < 1 y todos los valores de r suficientemente pequeños , entonces u es continua en el sentido de Hölder. $${\displaystyle w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u}$$ $${\displaystyle w\left(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}}\right)\leq \lambda w\left(u,x_{0},r\right)}$$
• Las funciones en el espacio de Sobolev se pueden incorporar al espacio de Hölder apropiado a través de la desigualdad de Morrey si la dimensión espacial es menor que el exponente del espacio de Sobolev. Para ser precisos, si entonces existe una constante C , que depende solo de p y n , tal que: donde Por lo tanto, si u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ) , entonces u es de hecho continua de Hölder de exponente γ , después de posiblemente ser redefinida en un conjunto de medida 0. ${\displaystyle n<p\leq \infty }$ $${\displaystyle \forall u\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n})\cap L^{p}(\mathbf {R} ^{n}):\qquad \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})},}$$ ${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}}.}$

Propiedades

• Un subgrupo aditivo cerrado de un espacio de Hilbert de dimensión infinita H , conectado por arcos continuos de α –Hölder con α > 1/2 , es un subespacio lineal. Hay subgrupos aditivos cerrados de H , no subespacios lineales, conectados por arcos continuos de 1/2–Hölder. Un ejemplo es el subgrupo aditivo L ² ( R , Z ) del espacio de Hilbert L ² ( R , R ) .
• Cualquier función continua α -Hölder f en un espacio métrico X admite una aproximación de Lipschitz mediante una secuencia de funciones ( f _k ) tales que f _k es k -Lipschitz y a la inversa, cualquier secuencia ( f _k ) de funciones de Lipschitz converge a un límite uniforme continuo α -Hölder f . $${\displaystyle \left\|f-f_{k}\right\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).}$$
• Cualquier función α -Hölder f en un subconjunto X de un espacio normado E admite una extensión uniformemente continua a todo el espacio, que es continua en Hölder con la misma constante C y el mismo exponente α . La mayor de estas extensiones es: $${\displaystyle f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.}$$
• La imagen de cualquier bajo una función α -Hölder tiene dimensión de Hausdorff como máximo , donde es la dimensión de Hausdorff de . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\dim _{H}(U)}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \dim _{H}(U)}$ ${\displaystyle U}$
• El espacio no es separable. ${\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha \leq 1}$
• La incrustación no es densa. ${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\subset C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha <\beta \leq 1}$
• Si y satisfacen en el arco suave L las condiciones y respectivamente, entonces las funciones y satisfacen la condición en L , donde . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle H(\mu )}$ ${\displaystyle H(\nu )}$ ${\displaystyle f(t)+g(t)}$ ${\displaystyle f(t)g(t)}$ ${\displaystyle H(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha =\min\{\mu ,\nu \}}$

Véase también

• p -variación

Notas

1. Hardy, GH (1916). "Función no diferenciable de Weierstrass". Transacciones de la American Mathematical Society . 17 (3): 301–325. doi :10.2307/1989005. JSTOR  1989005.
2. Véase, por ejemplo, Han y Lin, Capítulo 3, Sección 1. Este resultado se debió originalmente a Sergio Campanato .

Referencias

• Lawrence C. Evans (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Matemática Estadounidense, Providence. ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Nueva York: Springer. ISBN 3-540-41160-7..
• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas . Nueva York: Courant Institute of Mathematical Sciences . ISBN. 0-9658703-0-8.OCLC 38168365  . Señor 1669352