Una cantidad conservada es una propiedad o valor que permanece constante a lo largo del tiempo en un sistema incluso cuando ocurren cambios en el sistema. En matemáticas , una cantidad conservada de un sistema dinámico se define formalmente como una función de las variables dependientes , cuyo valor permanece constante a lo largo de cada trayectoria del sistema. [1]
No todos los sistemas tienen cantidades conservadas, y las cantidades conservadas no son únicas, ya que siempre se puede producir otra cantidad aplicando una función adecuada , como sumar una constante, a una cantidad conservada.
Dado que muchas leyes de la física expresan algún tipo de conservación , comúnmente existen cantidades conservadas en los modelos matemáticos de sistemas físicos . Por ejemplo, cualquier modelo de mecánica clásica tendrá la energía mecánica como una cantidad conservada siempre que las fuerzas involucradas sean conservativas .
Para un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
donde negrita indica cantidades vectoriales , una función escalar H ( r ) es una cantidad conservada del sistema si, para todo el tiempo y las condiciones iniciales en algún dominio específico,
Tenga en cuenta que al utilizar la regla de la cadena multivariante ,
para que la definición pueda escribirse como
que contiene información específica del sistema y puede ser útil para encontrar cantidades conservadas o establecer si existe o no una cantidad conservada.
Para un sistema definido por el hamiltoniano , una función f de las coordenadas generalizadas q y los momentos generalizados p tiene evolución temporal
y por tanto se conserva si y sólo si . Aquí se denota el corchete de Poisson .
Supongamos que un sistema está definido por el lagrangiano L con coordenadas generalizadas q . Si L no tiene una dependencia temporal explícita (entonces ), entonces la energía E definida por
se conserva.
Además, si , entonces se dice que q es una coordenada cíclica y el momento generalizado p definido por
se conserva. Esto se puede derivar utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange .
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: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )