Centralizador y normalizador

Tipos especiales de subgrupos que se encuentran en la teoría de grupos

En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el centralizador (también llamado conmutante ^{[1] [2]} ) de un subconjunto S en un grupo G es el conjunto de elementos de G que conmutan con cada elemento de S , o equivalentemente, de modo que la conjugación por deja fijo cada elemento de S. El normalizador de S en G es el conjunto de elementos de G que satisfacen la condición más débil de dejar fijo el conjunto bajo conjugación. El centralizador y el normalizador de S son subgrupos de G. Muchas técnicas en teoría de grupos se basan en el estudio de los centralizadores y normalizadores de subconjuntos adecuados  S. ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(S)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$

Debidamente formuladas, las definiciones también se aplican a los semigrupos .

En la teoría de anillos , el centralizador de un subconjunto de un anillo se define con respecto a la operación de semigrupo (multiplicación) del anillo. El centralizador de un subconjunto de un anillo R es un subanillo de R. Este artículo también trata sobre centralizadores y normalizadores en un álgebra de Lie .

El idealizador en un semigrupo o anillo es otra construcción que está en la misma línea que el centralizador y el normalizador.

Definiciones

Grupo y semigrupo

El centralizador de un subconjunto S del grupo (o semigrupo) G se define como ^[3]

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},}$

donde solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si no hay ninguna ambigüedad sobre el grupo en cuestión, la G puede suprimirse de la notación. Cuando S  = { a } es un conjunto singleton , escribimos C _G ( a ) en lugar de C _G ({ a }). Otra notación menos común para el centralizador es Z( a ), que es paralela a la notación para el centro . Con esta última notación, hay que tener cuidado de evitar la confusión entre el centro de un grupo G , Z( G ), y el centralizador de un elemento g en G , Z( g ).

El normalizador de S en el grupo (o semigrupo) G se define como

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},}$

donde nuevamente solo se aplica la primera definición a los semigrupos. Si el conjunto es un subgrupo de , entonces el normalizador es el subgrupo más grande donde es un subgrupo normal de . Las definiciones de centralizador y normalizador son similares pero no idénticas. Si g está en el centralizador de S y s está en S , entonces debe ser que gs = sg , pero si g está en el normalizador, entonces gs = tg para algún t en S , con t posiblemente diferente de s . Es decir, los elementos del centralizador de S deben conmutar puntualmente con S , pero los elementos del normalizador de S solo necesitan conmutar con S como un conjunto . Las mismas convenciones de notación mencionadas anteriormente para los centralizadores también se aplican a los normalizadores. El normalizador no debe confundirse con el cierre normal . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N_{G}(S)}$ ${\displaystyle G'\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G'}$

Claramente ambos son subgrupos de . ${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}$ ${\displaystyle G}$

Anillo, álgebra sobre un cuerpo, anillo de Lie y álgebra de Lie

Si R es un anillo o un álgebra sobre un cuerpo , y S es un subconjunto de R , entonces el centralizador de S es exactamente el definido para los grupos, con R en el lugar de G.

Si es un álgebra de Lie (o anillo de Lie ) con producto de Lie [ x , y ], entonces el centralizador de un subconjunto S de se define como ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

La definición de centralizadores para anillos de Lie está vinculada a la definición de anillos de la siguiente manera. Si R es un anillo asociativo, entonces a R se le puede dar el producto de corchetes [ x , y ] = xy − yx . Por supuesto, entonces xy = yx si y solo si [ x , y ] = 0 . Si denotamos el conjunto R con el producto de corchetes como L _R , entonces claramente el centralizador de anillo de S en R es igual al centralizador de anillo de Lie de S en L _R .

El normalizador de un subconjunto S de un álgebra de Lie (o anillo de Lie) viene dado por ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Si bien este es el uso estándar del término "normalizador" en el álgebra de Lie, esta construcción es en realidad el idealizador del conjunto S en . Si S es un subgrupo aditivo de , entonces es el subanillo de Lie más grande (o subálgebra de Lie, según sea el caso) en el que S es un ideal de Lie . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$

Ejemplo

Considere el grupo

${\displaystyle G=S_{3}=\{[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]\}}$(el grupo simétrico de permutaciones de 3 elementos).

Tome un subconjunto H del grupo G:

${\displaystyle H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.}$

Nótese que [1, 2, 3] es la permutación identidad en G y conserva el orden de cada elemento y [1, 3, 2] es la permutación que fija el primer elemento e intercambia el segundo y el tercer elemento.

El normalizador de H respecto del grupo G son todos los elementos de G que dan como resultado el conjunto H (potencialmente permutado) cuando se aplica la operación de grupo. Realizando el ejemplo para cada elemento de G:

${\displaystyle [1,2,3]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [1, 2, 3] está en el Normalizador(H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}$

${\displaystyle [1,3,2]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [1, 3, 2] está en el Normalizador(H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[1,3,2],[1,2,3]\}=H}$

${\displaystyle [2,1,3]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [2, 1, 3] no está en el Normalizador(H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[2,1,3],[3,1,2]\}!=H}$

${\displaystyle [2,3,1]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [2, 3, 1] no está en el Normalizador(H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[2,3,1],[3,2,1]\}!=H}$

${\displaystyle [3,1,2]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [3, 1, 2] no está en el Normalizador(H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[3,1,2],[2,1,3]\}!=H}$

${\displaystyle [3,2,1]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [3, 2, 2] no está en el Normalizador(H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[3,2,1],[2,3,1]\}!=H}$

Por lo tanto, el Normalizador(H) con respecto a G es ya que ambos elementos del grupo preservan el conjunto H. ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}}$

Un grupo se considera simple si el normalizador respecto de un subconjunto es siempre la identidad y él mismo. Aquí queda claro que S ₃ no es un grupo simple.

El centralizador del grupo G es el conjunto de elementos que dejan inalterados todos los elementos de H. Es evidente que el único elemento de este tipo en S ₃ es el elemento identidad [1, 2, 3].

Propiedades

Semigrupos

Sea el centralizador de en el semigrupo ; es decir Entonces forma un subsemigrupo y ; es decir un conmutante es su propio bicommutante . ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$

Grupos

Fuente: ^[6]

• El centralizador y el normalizador de S son ambos subgrupos de G.
• Claramente, C _G ( S ) ⊆ N _G ( S ) . De hecho, C _G ( S ) es siempre un subgrupo normal de N _G ( S ), siendo el núcleo del homomorfismo N _G ( S ) → Bij( S ) y el grupo N _G ( S )/C _G ( S ) actúa por conjugación como un grupo de biyecciones sobre S . Por ejemplo, el grupo de Weyl de un grupo de Lie compacto G con un toro T se define como W ( G , T ) = N _G ( T )/C _G ( T ) , y especialmente si el toro es maximal (es decir, C _G ( T ) = T ) es una herramienta central en la teoría de grupos de Lie.
• C _G (C _G ( S )) contiene a S , pero C _G ( S ) no necesita contener a S . La contención ocurre exactamente cuando S es abeliano.
• Si H es un subgrupo de G , entonces N _G ( H ) contiene H .
• Si H es un subgrupo de G , entonces el subgrupo más grande de G en el que H es normal es el subgrupo N _G (H).
• Si S es un subconjunto de G tal que todos los elementos de S conmutan entre sí, entonces el subgrupo más grande de G cuyo centro contiene a S es el subgrupo C _G (S).
• Un subgrupo H de un grupo G se llamasubgrupo autonormalizante deGsiN _G ( H ) = H .
• El centro de G es exactamente C _G (G) y G es un grupo abeliano si y sólo si C _G (G) = Z( G ) = G .
• Para conjuntos singleton, C _G ( a ) = N _G ( a ) .
• Por simetría, si S y T son dos subconjuntos de G , T ⊆ C _G ( S ) si y sólo si S ⊆ C _G ( T ) .
• Para un subgrupo H del grupo G , el teorema N/C establece que el grupo factorial N _G ( H )/C _G ( H ) es isomorfo a un subgrupo de Aut( H ), el grupo de automorfismos de H . Puesto que N _G ( G ) = G y C _G ( G ) = Z( G ) , el teorema N/C también implica que G /Z( G ) es isomorfo a Inn( G ), el subgrupo de Aut( G ) que consiste en todos los automorfismos internos de G .
• Si definimos un homomorfismo de grupo T  : G → Inn( G ) por T ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹ , entonces podemos describir N _G ( S ) y C _G ( S ) en términos de la acción de grupo de Inn( G ) sobre G : el estabilizador de S en Inn( G ) es T (N _G ( S )), y el subgrupo de Inn( G ) que fija S puntualmente es T (C _G ( S )).
• Se dice que un subgrupo H de un grupo G es C-cerrado o autobicommutante si H = C _G ( S ) para algún subconjunto S ⊆ G . Si es así, entonces, de hecho, H = C _G (C _G ( H )) .

Anillos y álgebras sobre un cuerpo

Fuente: ^[4]

• Los centralizadores en anillos y en álgebras sobre un cuerpo son subanillos y subálgebras sobre un cuerpo, respectivamente; los centralizadores en anillos de Lie y en álgebras de Lie son subanillos de Lie y subálgebras de Lie, respectivamente.
• El normalizador de S en un anillo de Lie contiene el centralizador de S.
• C _R (C _R ( S )) contiene a S pero no son necesariamente iguales. El teorema del doble centralizador trata de situaciones en las que se da la igualdad.
• Si S es un subgrupo aditivo de un anillo de Lie A , entonces N _A ( S ) es el subanillo de Lie más grande de A en el que S es un ideal de Lie.
• Si S es un subanillo de Lie de un anillo de Lie A , entonces S ⊆ N _A ( S ) .

Véase también

• Conmutador
• Teorema del doble centralizador
• Idealizador
• Multiplicadores y centralizadores (espacios de Banach)
• Subgrupo estabilizador

Notas

1. Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Temas avanzados en álgebra lineal: Tejiendo problemas matriciales a través de la forma de Weyr. Oxford University Press . p. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
2. Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). La teoría de Lie de grupos pro-Lie conectados: una teoría estructural para álgebras pro-Lie, grupos pro-Lie y grupos localmente compactos conectados. Sociedad Matemática Europea . p. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
3. Jacobson (2009), pág. 41
4. Jacobson 1979, pág. 28.
5. Jacobson 1979, pág. 57.
6. Isaacs 2009, Capítulos 1−3.

Referencias

• Isaacs, I. Martin (2009), Álgebra: un curso de posgrado, Graduate Studies in Mathematics , vol. 100 (reimpresión de la edición original de 1994), Providence, RI: American Mathematical Society , doi :10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, Sr.  2472787
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica, vol. 1 (2.ª ed.), Dover Publications , ISBN 978-0-486-47189-1
• Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (republicación de la edición original de 1962), Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4, Sr.  0559927