En matemáticas , un conjunto de unicidad es un concepto relevante para las expansiones trigonométricas que no son necesariamente series de Fourier . Su estudio es una rama relativamente pura del análisis armónico .
Un subconjunto E del círculo se denomina conjunto de unicidad , o conjunto U , si existe alguna expansión trigonométrica
que converge a cero porque es idénticamente cero; es decir, tal que
De lo contrario, E es un conjunto de multiplicidad (a veces llamado un conjunto M o un conjunto Menshov ). Se aplican definiciones análogas en la línea real y en dimensiones superiores. En el último caso, es necesario especificar el orden de suma, por ejemplo, "un conjunto de unicidad con respecto a la suma de bolas".
Para entender la importancia de la definición, es importante salir de la mentalidad de Fourier . En el análisis de Fourier no hay cuestión de unicidad, ya que los coeficientes c ( n ) se derivan integrando la función. Por lo tanto, en el análisis de Fourier el orden de las acciones es
En la teoría de la unicidad, el orden es diferente:
En efecto, suele ser suficientemente interesante (como en la definición anterior) suponer que la suma converge a cero y preguntarse si eso significa que todos los c ( n ) deben ser cero. Como es habitual en el análisis , las preguntas más interesantes surgen cuando se habla de convergencia puntual . De ahí la definición anterior, que surgió cuando se hizo evidente que ni la convergencia en todas partes ni la convergencia en casi todas partes dan una respuesta satisfactoria.
El conjunto vacío es un conjunto unívoco. Esto significa simplemente que si una serie trigonométrica converge a cero en todas partes , entonces es trivial. Esto fue demostrado por Riemann , utilizando una delicada técnica de doble integración formal; y mostrando que la suma resultante tiene algún tipo generalizado de segunda derivada utilizando operadores de Toeplitz . Más tarde, Georg Cantor generalizó las técnicas de Riemann para demostrar que cualquier conjunto numerable y cerrado es un conjunto unívoco, un descubrimiento que lo llevó al desarrollo de la teoría de conjuntos . Paul Cohen , otro innovador en la teoría de conjuntos, comenzó su carrera con una tesis sobre conjuntos unívocos.
A medida que se fue desarrollando la teoría de la integración de Lebesgue , se supuso que cualquier conjunto de medida cero sería un conjunto de unicidad: en una dimensión, el principio de localidad para las series de Fourier muestra que cualquier conjunto de medida positiva es un conjunto de multiplicidad (en dimensiones superiores, esto sigue siendo una cuestión abierta). Esto fue refutado por Dimitrii E. Menshov , quien en 1916 construyó un ejemplo de un conjunto de multiplicidad que tiene medida cero.
Una traducción y dilatación de un conjunto de unicidad es un conjunto de unicidad. Una unión de una familia numerable de conjuntos cerrados de unicidad es un conjunto de unicidad. Existe un ejemplo de dos conjuntos de unicidad cuya unión no es un conjunto de unicidad, pero los conjuntos en este ejemplo no son Borel . Es un problema abierto si la unión de dos conjuntos de unicidad de Borel cualesquiera es un conjunto de unicidad.
Un conjunto cerrado es un conjunto de unicidad si y sólo si existe una distribución S soportada en el conjunto (por lo que en particular debe ser singular) tal que
( aquí se muestran los coeficientes de Fourier). En todos los primeros ejemplos de conjuntos de unicidad, la distribución en cuestión era, de hecho, una medida. Sin embargo, en 1954, Ilya Piatetski-Shapiro construyó un ejemplo de un conjunto de unicidad que no admite ninguna medida con coeficientes de Fourier que tiendan a cero. En otras palabras, la generalización de la distribución es necesaria.
La primera evidencia de que los conjuntos unitarios tienen una estructura compleja provino del estudio de los conjuntos tipo Cantor . Raphaël Salem y Zygmund demostraron que un conjunto tipo Cantor con razón de disección ξ es un conjunto unitario si y solo si 1/ξ es un número de Pisot , es decir, un entero algebraico con la propiedad de que todos sus conjugados (si los hay) son menores que 1. Esta fue la primera demostración de que la propiedad de ser un conjunto unitario tiene que ver con propiedades aritméticas y no solo con algún concepto de tamaño ( Nina Bari había demostrado el caso de ξ racional - el conjunto tipo Cantor es un conjunto unitario si y solo si 1/ξ es un entero - unos años antes).
Desde los años 50 [ aclaración necesaria ] , se ha trabajado mucho en la formalización de esta complejidad. La familia de conjuntos unívocos, considerada como un conjunto dentro del espacio de conjuntos compactos (véase distancia de Hausdorff ), se ubicaba dentro de la jerarquía analítica . Un papel crucial en esta investigación lo desempeña el índice del conjunto, que es un ordinal entre 1 y ω 1 , definido por primera vez por Pyatetskii-Shapiro. Hoy en día, la investigación de conjuntos unívocos es tanto una rama de la teoría descriptiva de conjuntos como del análisis armónico.
