Paul Joseph Cohen (2 de abril de 1934 – 23 de marzo de 2007) [1] fue un matemático estadounidense. Es más conocido por sus pruebas de que la hipótesis del continuo y el axioma de elección son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , por las que recibió la Medalla Fields . [2]
Cohen nació en Long Branch, Nueva Jersey en 1934, en una familia judía que había inmigrado a los Estados Unidos desde lo que hoy es Polonia ; creció en Brooklyn . [3] [4] Se graduó en 1950, a los 16 años, de Stuyvesant High School en la ciudad de Nueva York . [1] [4]
Cohen estudió después en el Brooklyn College de 1950 a 1953, pero abandonó el instituto sin obtener su licenciatura cuando se enteró de que podía empezar sus estudios de posgrado en la Universidad de Chicago con sólo dos años de universidad. En Chicago , Cohen completó su maestría en matemáticas en 1954 y su doctorado en filosofía en 1958, bajo la supervisión de Antoni Zygmund . El título de su tesis doctoral fue Temas en la teoría de la unicidad de las series trigonométricas . [5] [6]
En 1957, antes de obtener su doctorado, Cohen fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Rochester durante un año. Luego pasó el año académico 1958-59 en el Instituto Tecnológico de Massachusetts antes de pasar 1959-61 como miembro del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Estos fueron años en los que Cohen hizo una serie de avances matemáticos significativos. En Factorización en álgebras de grupo (1959) demostró que cualquier función integrable en un grupo localmente compacto es la convolución de dos de esas funciones, resolviendo un problema planteado por Walter Rudin . En Cohen (1960) hizo un avance significativo al resolver la conjetura de Littlewood. [7]
Cohen fue miembro de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias , [8] de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos , [9] y de la Sociedad Filosófica Estadounidense . [10] El 2 de junio de 1995, Cohen recibió un doctorado honorario de la Facultad de Ciencias y Tecnología de la Universidad de Uppsala , Suecia . [11]
Cohen es conocido por desarrollar una técnica matemática llamada forzamiento , que utilizó para demostrar que ni la hipótesis del continuo (CH) ni el axioma de elección pueden demostrarse a partir de los axiomas estándar de Zermelo-Fraenkel (ZF) de la teoría de conjuntos . En conjunción con el trabajo anterior de Gödel , esto mostró que ambas afirmaciones son lógicamente independientes de los axiomas ZF: estas afirmaciones no pueden probarse ni refutarse a partir de estos axiomas. En este sentido, la hipótesis del continuo es indecidible y es el ejemplo más conocido de una afirmación natural que es independiente de los axiomas ZF estándar de la teoría de conjuntos.
Por su resultado sobre la hipótesis del continuo, Cohen ganó la Medalla Fields en matemáticas en 1966, y también la Medalla Nacional de Ciencias en 1967. [12] La Medalla Fields que ganó Cohen sigue siendo la única Medalla Fields que se otorga por un trabajo en lógica matemática, a partir de 2022.
Además de su trabajo en teoría de conjuntos, Cohen también realizó muchas contribuciones valiosas al análisis. En 1964 recibió el Premio Bôcher Memorial en análisis matemático por su artículo "Sobre una conjetura de Littlewood y medidas idempotentes ", [13] y da su nombre al teorema de factorización de Cohen-Hewitt .
Cohen fue profesor titular de matemáticas en la Universidad de Stanford . Fue conferenciante invitado en el ICM en 1962 en Estocolmo y en 1966 en Moscú.
Angus MacIntyre, de la Universidad Queen Mary de Londres, afirmó lo siguiente sobre Cohen: "Era tremendamente inteligente, y uno habría tenido que ser ingenuo o excepcionalmente altruista para plantearle su 'problema más difícil' al Paul que conocí en los años 60". Continuó comparando a Cohen con Kurt Gödel , diciendo: "No ha ocurrido nada más dramático que su trabajo en la historia de la materia". [14] El propio Gödel escribió una carta a Cohen en 1963, en cuyo borrador se afirmaba: "Permítame repetir que es realmente un placer leer su prueba de la independencia de la hipótesis del cont[inuum]. Creo que en todos los aspectos esenciales ha dado la mejor prueba posible y esto no sucede con frecuencia. Leer su prueba tuvo en mí un efecto tan agradable como ver una obra de teatro realmente buena". [15]
En 1985, mientras estudiaba la hipótesis del continuo, se cita a Cohen diciendo que había "tenido la sensación de que la gente pensaba que el problema era insoluble, ya que no había ninguna nueva forma de construir modelos de teoría de conjuntos. De hecho, pensaban que había que estar un poco loco incluso para pensar en el problema". [16]
Un punto de vista que el autor [Cohen] cree que puede llegar a ser aceptado es que CH es obviamente falso. La razón principal por la que uno acepta el axioma de infinito es probablemente que nos parece absurdo pensar que el proceso de añadir sólo un conjunto a la vez puede agotar todo el universo. Lo mismo ocurre con los axiomas superiores de infinito. Ahora bien, es la cardinalidad del conjunto de ordinales contables, y esta es simplemente una forma especial y la más simple de generar un cardinal superior. El conjunto [el continuo] es, en contraste, generado por un principio totalmente nuevo y más poderoso, a saber, el axioma del conjunto potencia . Es irrazonable esperar que cualquier descripción de un cardinal mayor que intente construir ese cardinal a partir de ideas derivadas del axioma de reemplazo pueda llegar alguna vez a .
Por lo tanto, es mayor que , donde , etc. Este punto de vista considera un conjunto increíblemente rico que nos brinda un nuevo y audaz axioma, al que nunca se podrá llegar mediante un proceso de construcción fragmentado. Tal vez las generaciones futuras vean el problema con más claridad y se expresen con mayor elocuencia.
—Cohen (2008)
Un "producto duradero y poderoso" del trabajo de Cohen sobre la hipótesis del continuo, y que ha sido utilizado por "innumerables matemáticos" [16] , se conoce como "forzamiento" , y se utiliza para construir modelos matemáticos para probar una hipótesis dada en busca de verdad o falsedad.
Poco antes de su muerte, Cohen dio una conferencia describiendo su solución al problema de la hipótesis del continuo en la conferencia del centenario de Gödel de 2006 en Viena . [17]
Cohen y su esposa, Christina (de soltera Karls), tuvieron tres hijos. Cohen murió el 23 de marzo de 2007, en Stanford, California , después de sufrir una enfermedad pulmonar . [18]
