Familia indexada

Colección de objetos, cada uno asociado con un elemento de algún conjunto de índices

En matemáticas , una familia , o familia indexada , es informalmente una colección de objetos, cada uno asociado con un índice de algún conjunto de índices . Por ejemplo, una familia de números reales , indexada por el conjunto de números enteros , es una colección de números reales, donde una función dada selecciona un número real para cada entero (posiblemente el mismo) como indexación.

De manera más formal, una familia indexada es una función matemática junto con su dominio e imagen (es decir, las familias indexadas y las funciones matemáticas son técnicamente idénticas, solo los puntos de vista son diferentes). A menudo se dice que los elementos del conjunto forman la familia. En esta perspectiva, las familias indexadas se interpretan como colecciones de elementos indexados en lugar de funciones. El conjunto se denomina conjunto índice de la familia y es el conjunto indexado . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$

Las sucesiones son un tipo de familias indexadas por números naturales . En general, el conjunto índice no está restringido a ser contable . Por ejemplo, se podría considerar una familia incontable de subconjuntos de los números naturales indexados por los números reales. ${\displaystyle I}$

Definición formal

Sean y conjuntos y una función tales que donde es un elemento de y la imagen de bajo la función se denota por . Por ejemplo, se denota por El símbolo se utiliza para indicar que es el elemento de indexado por La función establece así una familia de elementos en indexado por que se denota por o simplemente si se supone que el conjunto índice es conocido. A veces se utilizan corchetes angulares o llaves en lugar de paréntesis, aunque el uso de llaves corre el riesgo de confundir las familias indexadas con los conjuntos. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f~:~&I\to X\\&i\mapsto x_{i}=f(i),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f(3)}$ ${\displaystyle x_{3}.}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)}$

Las funciones y las familias indexadas son formalmente equivalentes, ya que cualquier función con un dominio induce una familia y viceversa. Ser un elemento de una familia equivale a estar en el rango de la función correspondiente. Sin embargo, en la práctica, una familia se considera una colección, en lugar de una función. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (f(i))_{i\in I}}$

Cualquier conjunto da lugar a una familia donde está indexado por sí mismo (es decir, es la función identidad). Sin embargo, las familias se diferencian de los conjuntos en que el mismo objeto puede aparecer varias veces con diferentes índices en una familia, mientras que un conjunto es una colección de objetos distintos. Una familia contiene cualquier elemento exactamente una vez si y solo si la función correspondiente es inyectiva . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{t}\right)_{t\in X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Una familia indexada define un conjunto que es la imagen de bajo Dado que no se requiere que la aplicación sea inyectiva , puede existir con tal que Por lo tanto, , donde denota la cardinalidad del conjunto Por ejemplo, la secuencia indexada por los números naturales tiene conjunto imagen Además, el conjunto no lleva información sobre ninguna estructura en Por lo tanto, al usar un conjunto en lugar de la familia, se podría perder algo de información. Por ejemplo, un ordenamiento en el conjunto índice de una familia induce un ordenamiento en la familia, pero ningún ordenamiento en el conjunto imagen correspondiente. ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}.}$ ${\displaystyle |{\mathcal {X}}|\leq |I|}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$ ${\displaystyle \left\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\{-1,1\}.}$ ${\displaystyle \{x_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I.}$

Subfamilia indexada

Una familia indexada es una subfamilia de una familia indexada si y solo si es un subconjunto de y se cumple para todos ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i\in J}}$ ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B_{i}=A_{i}}$ ${\displaystyle i\in J.}$

Ejemplos

Vectores indexados

Por ejemplo, considere la siguiente oración:

Los vectores son linealmente independientes . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

Aquí denota una familia de vectores. El -ésimo vector solo tiene sentido con respecto a esta familia, ya que los conjuntos no están ordenados, por lo que no existe un -ésimo vector de un conjunto. Además, la independencia lineal se define como una propiedad de una colección; por lo tanto, es importante si esos vectores son linealmente independientes como conjunto o como familia. Por ejemplo, si consideramos y como el mismo vector, entonces el conjunto de ellos consta de un solo elemento (ya que un conjunto es una colección de elementos distintos no ordenados) y es linealmente independiente, pero la familia contiene el mismo elemento dos veces (ya que están indexados de manera diferente) y es linealmente dependiente (los mismos vectores son linealmente dependientes). ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i\in \{1,\ldots ,n\}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle v_{1}=v_{2}=(1,0)}$

Matrices

Supongamos que un texto dice lo siguiente:

Una matriz cuadrada es invertible, si y sólo si las filas de son linealmente independientes. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Como en el ejemplo anterior, es importante que las filas de sean linealmente independientes como una familia, no como un conjunto. Por ejemplo, considere la matriz El conjunto de las filas consta de un solo elemento como un conjunto está hecho de elementos únicos por lo que es linealmente independiente, pero la matriz no es invertible como el determinante de la matriz es 0. Por otro lado, la familia de las filas contiene dos elementos indexados de manera diferente como la primera fila y la segunda fila por lo que es linealmente dependiente. Por lo tanto, la afirmación es correcta si se refiere a la familia de filas, pero incorrecta si se refiere al conjunto de filas. (La afirmación también es correcta cuando "las filas" se interpreta como una referencia a un multiconjunto , en el que los elementos también se mantienen distintos pero que carece de parte de la estructura de una familia indexada). ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$

Otros ejemplos

Sea el conjunto finito donde es un entero positivo . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots n\},}$ ${\displaystyle n}$

• Un par ordenado (2- tupla ) es una familia indexada por el conjunto de dos elementos, cada elemento del par ordenado está indexado por un elemento del conjunto ${\displaystyle \mathbf {2} =\{1,2\};}$ ${\displaystyle \mathbf {2} .}$
• Una -tupla es una familia indexada por el conjunto ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {n} .}$
• Una secuencia infinita es una familia indexada por los números naturales .
• Una lista es una tupla para una secuencia no especificada o infinita. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$
• Una matriz es una familia indexada por el producto cartesiano cuyos elementos son pares ordenados; por ejemplo, indexando el elemento de la matriz en la 2ª fila y la 5ª columna. ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {m} }$ ${\displaystyle (2,5)}$
• Una red es una familia indexada por un conjunto dirigido .

Operaciones sobre familias indexadas

Los conjuntos de índices se utilizan a menudo en sumas y otras operaciones similares. Por ejemplo, si es una familia de números indexados, la suma de todos esos números se denota por ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}.}$$

Cuando es una familia de conjuntos , la unión de todos esos conjuntos se denota por ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}.}$$

Lo mismo ocurre con las intersecciones y los productos cartesianos .

Uso en la teoría de categorías

El concepto análogo en la teoría de categorías se llama diagrama . Un diagrama es un funtor que da lugar a una familia indexada de objetos en una categoría C , indexada por otra categoría J , y relacionada por morfismos que dependen de dos índices.

Véase también

• Tipo de datos de matriz  : tipo de datos que representa una colección ordenada de elementos (valores o variables)Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Coproducto  – Construcción de teoría de categorías
• Diagrama (teoría de categorías)  : Colección indexada de objetos y morfismos en una categoría
• Unión disjunta  – En matemáticas, operación sobre conjuntos
• Familia de conjuntos  : cualquier colección de conjuntos o subconjuntos de un conjunto.
• Notación de índice  : forma de referirse a elementos de matrices o tensores
• Red (matemáticas)  : una generalización de una secuencia de puntos
• Familia paramétrica  : familia de objetos cuyas definiciones dependen de un conjunto de parámetros.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Secuencia  – Lista ordenada finita o infinita de elementos
• Unión etiquetada  : estructura de datos utilizada para contener un valor que podría adoptar varios tipos diferentes, pero fijos

Referencias

• Sociedad Matemática de Japón , Diccionario Enciclopédico de Matemáticas , 2.ª edición, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Citado como EDM (volumen).