Adjunto hermítico

Transposición conjugada de un operador en dimensiones infinitas

En matemáticas , específicamente en teoría de operadores , cada operador lineal en un espacio de producto interno define un operador adjunto hermítico (o adjunto ) en ese espacio de acuerdo con la regla ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,}$

¿Dónde está el producto interno en el espacio vectorial ? ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

El adjunto también puede llamarse conjugado hermítico o simplemente hermítico ^[1] en honor a Charles Hermite . A menudo se denota por A ^† en campos como la física , especialmente cuando se usa junto con la notación bra-ket en mecánica cuántica . En dimensiones finitas donde los operadores pueden representarse mediante matrices , el adjunto hermítico viene dado por la transpuesta conjugada (también conocida como transpuesta hermítica).

La definición anterior de un operador adjunto se extiende textualmente a los operadores lineales acotados en espacios de Hilbert . La definición se ha ampliado aún más para incluir operadores ilimitados densamente definidos , cuyo dominio es topológicamente denso en, pero no necesariamente igual a, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$

Definición informal

Consideremos una función lineal entre espacios de Hilbert . Sin ocuparnos de ningún detalle, el operador adjunto es el operador lineal (definido de forma única en la mayoría de los casos) que cumple ${\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}$

${\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}$

donde es el producto interno en el espacio de Hilbert , que es lineal en la primera coordenada y lineal conjugado en la segunda coordenada. Nótese el caso especial donde ambos espacios de Hilbert son idénticos y es un operador en ese espacio de Hilbert. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle A}$

Cuando se intercambia el producto interno por el emparejamiento dual , se puede definir el adjunto, también llamado transposición , de un operador , donde son espacios de Banach con normas correspondientes . Aquí (de nuevo sin considerar ningún tecnicismo), su operador adjunto se define como con ${\displaystyle A:E\to F}$ ${\displaystyle E,F}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}}$ ${\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}$

${\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}$

Es decir, para . ${\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}$ ${\displaystyle f\in F^{*},u\in E}$

La definición anterior en el contexto del espacio de Hilbert es en realidad solo una aplicación del caso del espacio de Banach cuando se identifica un espacio de Hilbert con su dual. Entonces es natural que también podamos obtener el adjunto de un operador , donde es un espacio de Hilbert y es un espacio de Banach. El dual se define entonces como con tal que ${\displaystyle A:H\to E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}$ ${\displaystyle A^{*}f=h_{f}}$

${\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}$

Definición de operadores no acotados entre espacios de Banach

Sean espacios de Banach . Supóngase que y , y supóngase que es un operador lineal (posiblemente ilimitado) que está densamente definido (es decir, es denso en ). Entonces su operador adjunto se define de la siguiente manera. El dominio es ${\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}$ ${\displaystyle A:D(A)\to F}$ ${\displaystyle D(A)\subset E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.}$

Ahora, para arbitrario pero fijo, establecemos con . Por elección de y definición de , f es (uniformemente) continua en como . Entonces, por el teorema de Hahn-Banach , o alternativamente a través de la extensión por continuidad, esto produce una extensión de , llamada , definida en todos los . Este tecnicismo es necesario para obtener más tarde como operador en lugar de Observe también que esto no significa que se pueda extender en todos los , sino que la extensión solo funcionó para elementos específicos . ${\displaystyle g\in D(A^{*})}$ ${\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(u)=g(Au)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D(A^{*})}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}$ ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}$

Ahora, podemos definir el adjunto de como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}.\end{aligned}}}$

La identidad definitoria fundamental es, pues,

${\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}$para ${\displaystyle u\in D(A).}$

Definición de operadores acotados entre espacios de Hilbert

Supóngase que H es un espacio de Hilbert complejo , con producto interno . Considérese un operador lineal continuo A  : H → H (para operadores lineales, la continuidad es equivalente a ser un operador acotado ). Entonces el adjunto de A es el operador lineal continuo A ^∗  : H → H que satisface ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.}$

La existencia y unicidad de este operador se desprende del teorema de representación de Riesz . ^[2]

Esto puede verse como una generalización de la matriz adjunta de una matriz cuadrada que tiene una propiedad similar que involucra el producto interno complejo estándar.

Propiedades

Las siguientes propiedades del adjunto hermítico de operadores acotados son inmediatas: ^[2]

1. Involutividad : A ^∗∗ = A
2. Si A es invertible, entonces también lo es A ^∗ , con ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. Linealidad conjugada :
   • ( A + B ) ^∗ = A ^∗ + B ^∗
   • ( λA ) ^∗ = λ A ^∗ , donde λ denota el conjugado complejo del número complejo λ
4. " Antidistributividad ": ( AB ) ^∗ = B ^∗ A ^∗

Si definimos la norma del operador de A por

${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}$

entonces

${\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}$^[2]

Además,

${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}$^[2]

Se dice que una norma que satisface esta condición se comporta como un "valor máximo", extrapolando del caso de los operadores autoadjuntos.

El conjunto de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert complejo H junto con la operación adjunta y la norma del operador forman el prototipo de un C*-álgebra .

Adjunto de operadores ilimitados densamente definidos entre espacios de Hilbert

Definición

Sea lineal el producto interno en el primer argumento. Un operador A densamente definido de un espacio de Hilbert complejo H a sí mismo es un operador lineal cuyo dominio D ( A ) es un subespacio lineal denso de H y cuyos valores se encuentran en H . ^[3] Por definición, el dominio D ( A ^∗ ) de su adjunto A ^∗ es el conjunto de todos los y ∈ H para los cuales hay un z ∈ H que satisface ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).}$

Debido a la densidad de y el teorema de representación de Riesz , se define de forma única y, por definición, ^[4] ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A^{*}y=z.}$

Las propiedades 1.–5. se cumplen con cláusulas apropiadas sobre dominios y codominios . ^{[ aclaración necesaria ]} Por ejemplo, la última propiedad ahora establece que ( AB ) ^∗ es una extensión de B ^∗ A ^∗ si A , B y AB son operadores densamente definidos. ^[5]

quer A*=(soy A)⊥

Para cada funcional lineal es idénticamente cero, y por lo tanto ${\displaystyle y\in \ker A^{*},}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$ ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.}$

Por el contrario, el supuesto de que hace que el funcional sea idénticamente cero. Dado que el funcional está obviamente acotado, la definición de asegura que El hecho de que, para cada muestra que dado que es denso. ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle }$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle y\in D(A^{*}).}$ ${\displaystyle x\in D(A),}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0}$ ${\displaystyle A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},}$ ${\displaystyle D(A)}$

Esta propiedad demuestra que es un subespacio topológicamente cerrado incluso cuando no lo es. ${\displaystyle \operatorname {ker} A^{*}}$ ${\displaystyle D(A^{*})}$

Interpretación geométrica

Si y son espacios de Hilbert, entonces es un espacio de Hilbert con el producto interno ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}}$

${\displaystyle {\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},}$

donde y ${\displaystyle a,c\in H_{1}}$ ${\displaystyle b,d\in H_{2}.}$

Sea la aplicación simpléctica , es decir Entonces el gráfico ${\displaystyle J\colon H\oplus H\to H\oplus H}$ ${\displaystyle J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).}$

${\displaystyle G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H}$

de es el complemento ortogonal de ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle JG(A):}$

${\displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.}$

La afirmación se desprende de las equivalencias

${\displaystyle {\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,}$

y

${\displaystyle {\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.}$

Corolarios

A^*está cerrado

Un operador es cerrado si el gráfico está topológicamente cerrado en El gráfico del operador adjunto es el complemento ortogonal de un subespacio y, por lo tanto, es cerrado. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle H\oplus H.}$ ${\displaystyle G(A^{*})}$ ${\displaystyle A^{*}}$

A^*está densamente definido ⇔ A es cerrable

Un operador es cerrable si el cierre topológico del grafo es el grafo de una función. Como es un subespacio lineal (cerrado), la palabra "función" puede reemplazarse por "operador lineal". Por la misma razón, es cerrable si y solo si a menos que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle v=0.}$

El adjunto está definido densamente si y sólo si es cerrable. Esto se deduce del hecho de que, para cada ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v\in H,}$

${\displaystyle v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),}$

lo cual, a su vez, se demuestra mediante la siguiente cadena de equivalencias:

${\displaystyle {\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}}$

A^**= Un^Cláusula

La clausura de un operador es el operador cuyo gráfico es si este gráfico representa una función. Como se indicó anteriormente, la palabra "función" puede reemplazarse por "operador". Además, significa que ${\displaystyle A^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A^{**}=A^{\text{cl}},}$ ${\displaystyle G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).}$

Para probar esto, observe que para cada hecho, ${\displaystyle J^{*}=-J,}$ ${\displaystyle \langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},}$ ${\displaystyle x,y\in H\oplus H.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}}$

En particular, para cada subespacio si y sólo si Por lo tanto, y Sustituyendo obtenemos ${\displaystyle y\in H\oplus H}$ ${\displaystyle V\subseteq H\oplus H,}$ ${\displaystyle y\in (JV)^{\perp }}$ ${\displaystyle Jy\in V^{\perp }.}$ ${\displaystyle J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }}$ ${\displaystyle [J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.}$ ${\displaystyle V=G(A),}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).}$

A^*= (Un^Cláusula)^*

Para un operador cerrable que significa que , de hecho, ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},}$ ${\displaystyle G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).}$

${\displaystyle G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).}$

Contraejemplo donde el adjunto no está densamente definido

Sea donde es la medida lineal. Seleccione una función medible, acotada y no idéntica a cero y elija Definir ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ ${\displaystyle \varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.}$

${\displaystyle A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.}$

De ello se deduce que El subespacio contiene todas las funciones con soporte compacto. Puesto que está densamente definido. Para cada y ${\displaystyle D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi \in D(A)}$ ${\displaystyle \psi \in D(A^{*}),}$

${\displaystyle \langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .}$

Por lo tanto, la definición de operador adjunto requiere que Dado que esto solo es posible si Por esta razón, Por lo tanto, no está definido densamente y es idénticamente cero en Como resultado, no es cerrable y no tiene un segundo adjunto ${\displaystyle A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.}$ ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ ${\displaystyle \langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.}$ ${\displaystyle D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle D(A^{*}).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{**}.}$

Operadores hermíticos

Un operador acotado A  : H → H se llama hermítico o autoadjunto si

${\displaystyle A=A^{*}}$

que es equivalente a

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.}$^[6]

En cierto sentido, estos operadores desempeñan el papel de los números reales (siendo iguales a su propio "conjugado complejo") y forman un espacio vectorial real . Sirven como modelo de observables de valor real en mecánica cuántica . Consulte el artículo sobre operadores autoadjuntos para obtener un tratamiento completo.

Adjuntos de operadores lineales conjugados

Para un operador lineal conjugado, la definición de adjunto debe ajustarse para compensar la conjugación compleja. Un operador adjunto del operador lineal conjugado A en un espacio de Hilbert complejo H es un operador lineal conjugado A ^∗  : H → H con la propiedad:

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.}$

Otros adjuntos

La ecuación

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }$

es formalmente similar a las propiedades definitorias de pares de funtores adjuntos en la teoría de categorías , y de aquí es de donde los funtores adjuntos obtuvieron su nombre.

Véase también

• Conceptos matemáticos
  • Operador hermítico
  • Norma (matemáticas)
  • Transposición de mapas lineales
  • Transposición conjugada
• Aplicaciones físicas
  • Operador (física)
  • †-álgebra

Referencias

1. Miller, David AB (2008). Mecánica cuántica para científicos e ingenieros . Cambridge University Press. pp. 262, 280.
2. Reed y Simon 2003, págs. 186-187; Rudin 1991, §12.9
3. Consulte el operador ilimitado para obtener más detalles.
4. Reed y Simon 2003, pág. 252; Rudin 1991, §13.1
5. Rudin 1991, Tesis 13.2
6. Reed y Simon 2003, págs. 187; Rudin 1991, §12.11

• Brezis, Haim (2011), Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales (primera edición), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
• Reed, Michael; Simon, Barry (2003), Análisis funcional , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .