El tercer problema de Hilbert

Sobre disecciones entre poliedros

Dos poliedros de igual volumen, cortados en dos piezas que pueden volver a ensamblarse para formar cualquiera de los dos poliedros.

El tercero de los problemas matemáticos de la lista de Hilbert , presentado en 1900, fue el primero en ser resuelto. El problema está relacionado con la siguiente pregunta: dados dos poliedros cualesquiera de igual volumen , ¿es siempre posible cortar el primero en un número finito de piezas poliédricas que puedan volver a ensamblarse para obtener el segundo? Basándose en escritos anteriores de Carl Friedrich Gauss , ^[1] David Hilbert conjeturó que esto no siempre es posible. Esto fue confirmado en el año por su alumno Max Dehn , quien demostró que la respuesta en general es "no" mediante la producción de un contraejemplo. ^[2]

La respuesta a la pregunta análoga sobre polígonos en dos dimensiones es "sí" y se conoce desde hace mucho tiempo: este es el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien .

Sin que Hilbert y Dehn lo supieran, el tercer problema de Hilbert también fue propuesto independientemente por Władysław Kretkowski para un concurso de matemáticas de 1882 organizado por la Academia de Artes y Ciencias de Cracovia , y fue resuelto por Ludwik Antoni Birkenmajer con un método diferente al de Dehn. Birkenmajer no publicó el resultado, y el manuscrito original que contenía su solución fue redescubierto años después. ^[3]

Historia y motivación

La fórmula para el volumen de una pirámide ,

${\displaystyle {\frac {{\text{base area}}\times {\text{height}}}{3}},}$

Euclides ya conocía esta fórmula , pero todas sus demostraciones implican algún tipo de proceso límite o cálculo , en particular el método de agotamiento o, en una forma más moderna, el principio de Cavalieri . Se pueden demostrar fórmulas similares en geometría plana con medios más elementales. Gauss lamentó este defecto en dos de sus cartas a Christian Ludwig Gerling , quien demostró que dos tetraedros simétricos son equidescomponibles . ^[3]

Las cartas de Gauss fueron la motivación para Hilbert: ¿es posible demostrar la igualdad de volúmenes mediante métodos elementales de "cortar y pegar"? Porque si no, entonces una demostración elemental del resultado de Euclides también es imposible.

La prueba de Dehn

La prueba de Dehn es un ejemplo en el que se utiliza el álgebra abstracta para demostrar un resultado imposible en geometría . Otros ejemplos son la duplicación del cubo y la trisección del ángulo .

Dos poliedros se llamancongruente con las tijeras si el primero se puede cortar en un número finito de piezas poliédricas que se pueden volver a ensamblar para obtener el segundo. Dos poliedros congruentes con las tijeras tienen el mismo volumen. Hilbert pregunta por la inversa .

Para cada poliedro , Dehn define un valor, ahora conocido como invariante de Dehn , con la propiedad de que, si se corta en pedazos poliédricos , entonces En particular, si dos poliedros son congruentes en tijeras, entonces tienen el mismo invariante de Dehn. Luego demuestra que cada cubo tiene un invariante de Dehn cero mientras que cada tetraedro regular tiene un invariante de Dehn distinto de cero. Por lo tanto, estas dos formas no pueden ser congruentes en tijeras. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\operatorname {D} (P_{1})+\operatorname {D} (P_{2})+\cdots +\operatorname {D} (P_{n}).}$$

El invariante de un poliedro se define en función de las longitudes de sus aristas y los ángulos entre sus caras. Si un poliedro se corta en dos, algunas aristas se cortan en dos y, por lo tanto, las contribuciones correspondientes a los invariantes de Dehn deberían ser aditivas en las longitudes de las aristas. De manera similar, si un poliedro se corta a lo largo de una arista, el ángulo correspondiente se corta en dos. Cortar un poliedro normalmente también introduce nuevas aristas y ángulos; sus contribuciones deben cancelarse. Los ángulos introducidos cuando un corte pasa por una cara suman , y los ángulos introducidos alrededor de una arista interior al poliedro suman . Por lo tanto, el invariante de Dehn se define de tal manera que los múltiplos enteros de los ángulos de dan una contribución neta de cero. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Todos los requisitos anteriores se pueden cumplir definiendo como un elemento del producto tensorial de los números reales (que representan longitudes de aristas) y el espacio cociente (que representa ángulos, con todos los múltiplos racionales de reemplazados por cero). Para algunos propósitos, esta definición se puede hacer usando el producto tensorial de módulos sobre (o equivalentemente de grupos abelianos ), mientras que otros aspectos de este tema hacen uso de una estructura de espacio vectorial sobre los invariantes, obtenida al considerar los dos factores y como espacios vectoriales sobre y tomando el producto tensorial de espacios vectoriales sobre . Esta elección de estructura en la definición no hace una diferencia en si dos invariantes de Dehn, definidos de cualquier manera, son iguales o desiguales. ${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Para cualquier arista de un poliedro , sea su longitud y sea el ángulo diedro de las dos caras de que se encuentran en , medido en radianes y considerado múltiplos racionales módulo de . El invariante de Dehn se define entonces como donde la suma se toma sobre todas las aristas del poliedro . Es una valoración . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \ell (e)}$ ${\displaystyle \theta (e)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes \theta (e)}$$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle P}$

Más información

A la luz del teorema de Dehn mencionado anteriormente, uno podría preguntarse "¿cuáles poliedros son congruentes con tijeras"? Sydler (1965) demostró que dos poliedros son congruentes con tijeras si y solo si tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn. ^[4] Børge Jessen luego extendió los resultados de Sydler a cuatro dimensiones. ^[5] En 1990, Dupont y Sah proporcionaron una prueba más simple del resultado de Sydler al reinterpretarlo como un teorema sobre la homología de ciertos grupos clásicos . ^[6]

Debrunner demostró en 1980 que el invariante de Dehn de cualquier poliedro con el que se pueda cubrir periódicamente todo el espacio tridimensional es cero. ^[7]

Problema sin resolver en matemáticas :

En geometría esférica o hiperbólica, ¿los poliedros con el mismo volumen e invariante de Dehn deben ser congruentes con las tijeras?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Jessen también planteó la cuestión de si el análogo de los resultados de Jessen seguía siendo válido para la geometría esférica y la geometría hiperbólica . En estas geometrías, el método de Dehn sigue funcionando y demuestra que cuando dos poliedros son congruentes en forma de tijera, sus invariantes de Dehn son iguales. Sin embargo, sigue siendo un problema abierto si los pares de poliedros con el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn, en estas geometrías, son siempre congruentes en forma de tijera. ^[8]

Pregunta original

La pregunta original de Hilbert era más complicada: dados dos tetraedros T ₁ y T ₂ con igual área de base e igual altura (y por lo tanto igual volumen), ¿es siempre posible encontrar un número finito de tetraedros, de modo que cuando estos tetraedros se pegan de alguna manera a T ₁ y también a T ₂ , los poliedros resultantes sean congruentes con tijeras?

El invariante de Dehn también se puede utilizar para obtener una respuesta negativa a esta pregunta más fuerte.

Véase también

• Tetraedro de Hill
• Onorato Nicoletti

Referencias

1. Carl Friedrich Gauss : Werke , vol. 8, págs. 241 y 244
2. Dehn, Max (1901). "Ueber den Rauminhalt". Annalen Matemáticas . 55 (3): 465–478. doi :10.1007/BF01448001. S2CID  120068465.
3. Ciesielska, Danuta; Ciesielski, Krzysztof (29 de mayo de 2018). "Equidescomponibilidad de poliedros: una solución del tercer problema de Hilbert en Cracovia antes de ICM 1900". El inteligente matemático . 40 (2): 55–63. doi : 10.1007/s00283-017-9748-4 . ISSN  0343-6993.
4. Sydler, J.-P. (1965). "Condiciones necesarias y suficientes para la equivalencia de los poliedres del espacio euclidiano en tres dimensiones". Comentario. Matemáticas. Helv. 40 : 43–80. doi :10.1007/bf02564364. S2CID  123317371.
5. Jessen, Borge (1972). "Zur Álgebra del politopo". Nachrichten der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Fachgruppe II: Nachrichten aus der Physik, Astronomie, Geophysik, Technik : 47–53. Señor  0353150. Zbl  0262.52004.
6. Dupont, Johan; Sah, Chih-Han (1990). "Homología de grupos euclidianos de movimientos discretos y congruencias euclidianas de tijera". Acta Math. 164 (1–2): 1–27. doi : 10.1007/BF02392750 .
7. Debrunner, Hans E. (1980). "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln". Arco. Matemáticas. 35 (6): 583–587. doi :10.1007/BF01235384. S2CID  121301319.
8. Dupont, Johan L. (2001), Congruencias de tijeras, homología de grupo y clases características, Nankai Tracts in Mathematics, vol. 1, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, p. 6, doi :10.1142/9789812810335, ISBN 978-981-02-4507-8, MR  1832859, archivado desde el original el 29 de abril de 2016.

Lectura adicional

• Benko, D. (2007). "Un nuevo enfoque para el tercer problema de Hilbert". The American Mathematical Monthly . 114 (8): 665–676. doi :10.1080/00029890.2007.11920458. S2CID  7213930.
• Schwartz, Rich (2010). "Explicación del teorema de Dehn-Sydler" (PDF) .
• Koji, Shiga; Toshikazu Sunada (2005). Un don matemático, III: la interacción entre topología, funciones, geometría y álgebra . Sociedad Matemática Estadounidense.

Enlaces externos

• Prueba del teorema de Dehn en Everything2
• Weisstein, Eric W. "Invariante de Dehn". MathWorld .
• Dehn Invariante en Everything2
• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Invariante de Dehn", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press