El tercer problema de Hilbert

Sobre disecciones entre poliedros

Dos poliedros de igual volumen, cortados en dos piezas que se pueden volver a ensamblar en cualquiera de los poliedros.

El tercero de la lista de problemas matemáticos de Hilbert , presentado en 1900, fue el primero en resolverse. El problema está relacionado con la siguiente pregunta: dados dos poliedros cualesquiera de igual volumen , ¿siempre es posible cortar el primero en un número finito de piezas poliédricas que puedan volverse a ensamblar para producir el segundo? Basado en escritos anteriores de Carl Friedrich Gauss , ^[1] David Hilbert conjeturó que esto no siempre es posible. Esto lo confirmó un año después su alumno Max Dehn , quien demostró que la respuesta en general es "no" mediante un contraejemplo. ^[2]

La respuesta a la pregunta análoga sobre polígonos en 2 dimensiones es "sí" y se conoce desde hace mucho tiempo; este es el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien .

Sin que Hilbert y Dehn lo supieran, el tercer problema de Hilbert también fue propuesto de forma independiente por Władysław Kretkowski para un concurso de matemáticas de 1882 por la Academia de Artes y Ciencias de Cracovia , y fue resuelto por Ludwik Antoni Birkenmajer con un método diferente al de Dehn. Birkenmajer no publicó el resultado y el manuscrito original que contenía su solución fue redescubierto años después. ^[3]

Historia y motivación

La fórmula para el volumen de una pirámide .

${\displaystyle {\frac {{\text{base area}}\times {\text{height}}}{3}},}$

Euclides lo conocía , pero todas las pruebas de ello implican alguna forma de proceso o cálculo limitante , en particular el método de agotamiento o, en una forma más moderna, el principio de Cavalieri . Se pueden probar fórmulas similares en geometría plana con medios más elementales. Gauss lamentó este defecto en dos de sus cartas a Christian Ludwig Gerling , quien demostró que dos tetraedros simétricos son equidecomponibles . ^[3]

Las cartas de Gauss motivaron a Hilbert: ¿es posible demostrar la igualdad de volumen mediante métodos elementales de "cortar y pegar"? Porque si no, entonces también es imposible una demostración elemental del resultado de Euclides.

La respuesta de Dehn

La prueba de Dehn es un ejemplo en el que se utiliza el álgebra abstracta para demostrar un resultado de imposibilidad en geometría . Otros ejemplos son duplicar el cubo y trisecar el ángulo .

Dos poliedros se llamanTijeras congruentes si la primera se puede cortar en un número finito de piezas poliédricas que se pueden volver a ensamblar para producir la segunda. Dos poliedros cualesquiera congruentes con tijeras tienen el mismo volumen. Hilbert pregunta sobre lo contrario .

Para cada poliedro , Dehn define un valor, ahora conocido como invariante de Dehn , con la propiedad de que, si se corta en pedazos poliédricos , entonces ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n}}$

$${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\operatorname {D} (P_{1})+\operatorname {D} (P_{2})+\cdots +\operatorname {D} (P_{n}).}$$

cubo tiene un invariante de Dehn cero, mientras que cada tetraedro

La invariante de un poliedro se define en función de las longitudes de sus aristas y los ángulos entre sus caras. Si un poliedro se corta en dos, algunas aristas se cortan en dos y, por lo tanto, las contribuciones correspondientes a las invariantes de Dehn deberían ser aditivas en las longitudes de las aristas. De manera similar, si se corta un poliedro a lo largo de una arista, el ángulo correspondiente se corta en dos. Cortar un poliedro normalmente también introduce nuevos bordes y ángulos; sus contribuciones deben cancelarse. Los ángulos introducidos cuando un corte pasa a través de una cara se suman a , y los ángulos introducidos alrededor de un borde interior del poliedro se suman a . Por lo tanto, la invariante de Dehn se define de tal manera que múltiplos enteros de ángulos de dan una contribución neta de cero. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Todos los requisitos anteriores se pueden cumplir definiendo como elemento del tensor el producto de los números reales (que representan longitudes de aristas) y el espacio cociente (que representa ángulos, con todos los múltiplos racionales de reemplazados por cero). Para algunos propósitos, esta definición se puede hacer usando el producto tensorial de módulos sobre (o equivalentemente de grupos abelianos ), mientras que otros aspectos de este tema hacen uso de una estructura de espacio vectorial en las invariantes, obtenida considerando los dos factores y siendo espacios vectoriales y tomando el producto tensorial de espacios vectoriales . Esta elección de estructura en la definición no influye en si dos invariantes de Dehn, definidas de cualquier manera, son iguales o desiguales. ${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Para cualquier arista de un poliedro , sea su longitud y denotemos el ángulo diédrico de las dos caras que se encuentran en , medido en radianes y considerado módulo racional múltiplo de . La invariante de Dehn se define entonces como ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \ell (e)}$ ${\displaystyle \theta (e)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes \theta (e)}$$

valoración ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle P}$

Más información

A la luz del teorema de Dehn anterior, uno podría preguntarse "¿qué poliedros son congruentes con las tijeras"? Sydler (1965) demostró que dos poliedros son congruentes en tijera si y sólo si tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn. ^[4] Børge Jessen amplió posteriormente los resultados de Sydler a cuatro dimensiones. ^[5] En 1990, Dupont y Sah proporcionaron una prueba más simple del resultado de Sydler reinterpretándolo como un teorema sobre la homología de ciertos grupos clásicos . ^[6]

Debrunner demostró en 1980 que el invariante de Dehn de cualquier poliedro con el que se pueda enlosar periódicamente todo el espacio tridimensional es cero. ^[7]

Problema no resuelto en matemáticas :

En geometría esférica o hiperbólica, ¿los poliedros con el mismo volumen e invariante de Dehn deben ser congruentes con las tijeras?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Jessen también planteó la cuestión de si la analogía de los resultados de Jessen seguía siendo válida para la geometría esférica y la geometría hiperbólica . En estas geometrías, el método de Dehn continúa funcionando y muestra que cuando dos poliedros son congruentes en forma de tijera, sus invariantes de Dehn son iguales. Sin embargo, sigue siendo un problema abierto si los pares de poliedros con el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn, en estas geometrías, son siempre congruentes con las tijeras. ^[8]

pregunta original

La pregunta original de Hilbert era más complicada: dados dos tetraedros cualesquiera T ₁ y T ₂ con igual área de base e igual altura (y por lo tanto igual volumen), ¿siempre es posible encontrar un número finito de tetraedros, de modo que cuando estos tetraedros se peguen? de alguna manera a T ₁ y también pegado a T ₂ , ¿los poliedros resultantes son congruentes con las tijeras?

El invariante de Dehn se puede utilizar para dar una respuesta negativa también a esta pregunta más fuerte.

Ver también

• tetraedro de colina
• Onorato Nicoletti

Referencias

1. Carl Friedrich Gauss : Werke , vol. 8, págs. 241 y 244
2. Dehn, Max (1901). "Ueber den Rauminhalt". Annalen Matemáticas . 55 (3): 465–478. doi :10.1007/BF01448001. S2CID  120068465.
3. Ciesielska, Danuta; Ciesielski, Krzysztof (29 de mayo de 2018). "Equidescomponibilidad de poliedros: una solución del tercer problema de Hilbert en Cracovia antes de ICM 1900". El inteligente matemático . 40 (2): 55–63. doi : 10.1007/s00283-017-9748-4 . ISSN  0343-6993.
4. Sydler, J.-P. (1965). "Condiciones necesarias y suficientes para la equivalencia de los poliedres del espacio euclidiano en tres dimensiones". Comentario. Matemáticas. Helv. 40 : 43–80. doi :10.1007/bf02564364. S2CID  123317371.
5. Jessen, Borge (1972). "Zur Álgebra del politopo". Nachrichten der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Fachgruppe II: Nachrichten aus der Physik, Astronomie, Geophysik, Technik : 47–53. Señor  0353150. Zbl  0262.52004.
6. Dupont, Johan; Sah, Chih-Han (1990). "La homología de grupos euclidianos de movimientos hizo congruencias discretas y de tijeras euclidianas". Acta Matemáticas. 164 (1–2): 1–27. doi : 10.1007/BF02392750 .
7. Debrunner, Hans E. (1980). "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln". Arco. Matemáticas. 35 (6): 583–587. doi :10.1007/BF01235384. S2CID  121301319.
8. Dupont, Johan L. (2001), Congruencias de tijeras, homología de grupos y clases características, Nankai Tracts in Mathematics, vol. 1, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, Nueva Jersey, pág. 6, doi :10.1142/9789812810335, ISBN 978-981-02-4507-8, MR  1832859, archivado desde el original el 29 de abril de 2016.

Otras lecturas

• Benko, D. (2007). "Un nuevo enfoque al tercer problema de Hilbert". El Mensual Matemático Estadounidense . 114 (8): 665–676. doi :10.1080/00029890.2007.11920458. S2CID  7213930.
• Schwartz, rico (2010). "Explicación del teorema de Dehn-Sydler" (PDF) .
• Koji, Shiga; Toshikazu Sunada (2005). Un don matemático, III: la interacción entre topología, funciones, geometría y álgebra . Sociedad Matemática Estadounidense.

enlaces externos

• Prueba del teorema de Dehn en Everything2
• Weisstein, Eric W. "Invariante de Dehn". MundoMatemático .
• Invariante de Dehn en Everything2
• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Invariante de Dehn", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press