En matemáticas , el producto tensorial de dos campos es su producto tensor como álgebras sobre un subcampo común . Si no se especifica explícitamente ningún subcampo, los dos campos deben tener la misma característica y el subcampo común es su subcampo principal .
El producto tensorial de dos campos es a veces un campo y, a menudo, un producto directo de campos; En algunos casos, puede contener elementos nilpotentes distintos de cero .
El producto tensorial de dos campos expresa en una sola estructura la forma diferente de incrustar los dos campos en un campo de extensión común .
Primero, se define la noción de compositum de campos. Esta construcción ocurre frecuentemente en la teoría de campos . La idea detrás del compositum es hacer que el campo más pequeño contenga otros dos campos. Para definir formalmente el compositum, primero hay que especificar una torre de campos . Sean k un campo y L y K dos extensiones de k . El compositum, denotado KL , se define como donde el lado derecho denota la extensión generada por K y L. Esto supone algún campo que contenga tanto K como L . O se comienza en una situación en la que un campo ambiental es fácil de identificar (por ejemplo, si K y L son ambos subcampos de los números complejos ), o se prueba un resultado que permite colocar tanto K como L (como copias isomorfas ) en algún campo lo suficientemente grande.
En muchos casos se puede identificar K . L como producto tensorial del espacio vectorial , tomado sobre el campo N que es la intersección de K y L. Por ejemplo, si se une √2 al campo racional para obtener K y √3 para obtener L , es cierto que el campo M se obtiene como K. L dentro de los números complejos es ( hasta isomorfismo)
como un espacio vectorial sobre . (Este tipo de resultado puede verificarse, en general, utilizando la teoría de ramificación de la teoría algebraica de números ).
Los subcampos K y L de M son linealmente disjuntos (sobre un subcampo N ) cuando de esta manera el mapa lineal N natural de
a K. L es inyectiva . [1] Naturalmente, este no es siempre el caso, por ejemplo cuando K = L . Cuando los grados son finitos, la inyectividad equivale aquí a la biyectividad . Por lo tanto, cuando K y L son campos de extensión de grado finito linealmente disjuntos sobre N , como ocurre con las extensiones de los racionales antes mencionadas.
Un caso significativo en la teoría de campos ciclotómicos es que para las n - ésimas raíces de la unidad , para n un número compuesto , los subcampos generados por las p k- ésimas raíces de la unidad para potencias primas que dividen a n son linealmente disjuntos para p distintas . [2]
Para obtener una teoría general, es necesario considerar una estructura de anillo en . Se puede definir el producto como (ver Producto tensorial de álgebras ). Esta fórmula es multilineal sobre N en cada variable; y así define una estructura de anillo en el producto tensorial, convirtiéndose en una N -álgebra conmutativa , llamada producto tensorial de campos .
La estructura del anillo se puede analizar considerando todas las formas de incluir tanto K como L en alguna extensión de campo de N. La construcción aquí asume el subcampo común N ; pero no supone a priori que K y L sean subcampos de algún campo M (evitando así las advertencias sobre la construcción de un campo compositum). Siempre que uno incrusta K y L en dicho campo M , digamos usando incrustaciones α de K y β de L , resulta un homomorfismo de anillo γ desde M definido por:
El núcleo de γ será un ideal primo del producto tensorial; y, a la inversa, cualquier ideal primo del producto tensorial dará un homomorfismo de N -álgebras a un dominio integral (dentro de un campo de fracciones ) y, por lo tanto, proporcionará incrustaciones de K y L en algún campo como extensiones de (una copia de) N.
De esta manera se puede analizar la estructura de : en principio puede haber un radical nil distinto de cero (intersección de todos los ideales primos) – y después de tomar el cociente por ese se puede hablar del producto de todas las incorporaciones de K y L en varios M , sobre N .
En el caso de que K y L sean extensiones finitas de N , la situación es particularmente simple ya que el producto tensorial es de dimensión finita como un N -álgebra (y por lo tanto un anillo de Artiniano ). Entonces se puede decir que si R es el radical, se tiene como producto directo de un número finito de campos. Cada uno de estos campos es un representante de una clase de equivalencia de incrustaciones de campos (esencialmente distintos) para K y L en alguna extensión M.
Por ejemplo, si K se genera por la raíz cúbica de 2, entonces es el producto de (una copia de) K y un campo dividido de
de grado 6 sobre . Se puede probar esto calculando la dimensión del producto tensorial como 9 y observando que el campo de división contiene dos (de hecho tres) copias de K y es el compositum de dos de ellas. Por cierto, eso muestra que R = {0} en este caso.
Un ejemplo que conduce a un nilpotente distinto de cero: sea
con K el campo de funciones racionales en el indeterminado T sobre el campo finito con p elementos (ver Polinomio separable : el punto aquí es que P no es separable). Si L es la extensión de campo K ( T 1/ p ) (el campo de división de P ), entonces L / K es un ejemplo de una extensión de campo puramente inseparable . en el elemento
es nilpotente: al tomar su p -ésima potencia se obtiene 0 usando K -linealidad.
En teoría algebraica de números , los productos tensoriales de campos son (implícitamente, a menudo) una herramienta básica. Si K es una extensión de de grado finito n , es siempre un producto de campos isomorfos a o . Los campos de números totalmente reales son aquellos para los cuales sólo existen campos reales : en general hay r 1 campos reales y r 2 complejos, con r 1 + 2 r 2 = n como se ve al contar las dimensiones. Los factores de campo están en correspondencia 1-1 con las incrustaciones reales y los pares de incrustaciones conjugadas complejas , descritas en la literatura clásica.
Esta idea se aplica también a donde p es el cuerpo de números p -ádicos . Este es un producto de extensiones finitas de p , en correspondencia 1–1 con las terminaciones de K para extensiones de la métrica p -ádica en .
Esto da una imagen general y, de hecho, una forma de desarrollar la teoría de Galois (según las líneas explotadas en la teoría de Galois de Grothendieck ). Se puede demostrar que para extensiones separables el radical es siempre {0}; por lo tanto, el caso de la teoría de Galois es semisimple , de productos de campos únicamente.
