Producto tensorial de álgebras

Tensor product of algebras over a field; itself another algebra

En matemáticas , el producto tensorial de dos álgebras sobre un anillo conmutativo R también es una R -álgebra. Esto da el producto tensorial de álgebras . Cuando el anillo es un cuerpo , la aplicación más común de tales productos es describir el producto de representaciones algebraicas .

Definición

Sea R un anillo conmutativo y sean A y B R - álgebras . Como A y B pueden considerarse como R -módulos , su producto tensorial

${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

es también un módulo R. Al producto tensorial se le puede dar la estructura de un anillo definiendo el producto sobre elementos de la forma a  ⊗  b por ^{[1] [2]}

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}$

y luego extendiéndose por linealidad a todos los A ⊗ _R B . Este anillo es un R -álgebra, asociativa y unital con elemento identidad dado por 1 _A  ⊗ 1 _B . ^[3] donde 1 _A y 1 _B son los elementos identidad de A y B . Si A y B son conmutativos, entonces el producto tensorial también es conmutativo.

El producto tensorial convierte la categoría de R -álgebras en una categoría monoidal simétrica . ^{[ cita requerida ]}

Otras propiedades

Existen homomorfismos naturales de A y B a A  ⊗ _R  B dados por ^[4]

${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B}}$

${\displaystyle b\mapsto 1_{A}\otimes b}$

Estas aplicaciones hacen que el producto tensorial sea el coproducto en la categoría de las R -álgebras conmutativas . El producto tensorial no es el coproducto en la categoría de todas las R -álgebras. Allí el coproducto está dado por un producto libre más general de las álgebras . Sin embargo, el producto tensorial de las álgebras no conmutativas puede describirse mediante una propiedad universal similar a la del coproducto:

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}$

donde [-, -] denota el conmutador . El isomorfismo natural se da identificando un morfismo en el lado izquierdo con el par de morfismos en el lado derecho donde y de manera similar . ${\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f(a):=\phi (a\otimes 1)}$ ${\displaystyle g(b):=\phi (1\otimes b)}$

Aplicaciones

El producto tensorial de las álgebras conmutativas es de uso frecuente en geometría algebraica . Para los esquemas afines X , Y , Z con morfismos de X y Z a Y , por lo que X = Spec( A ), Y = Spec( R ) y Z = Spec( B ) para algunos anillos conmutativos A , R , B , el esquema del producto de fibras es el esquema afín correspondiente al producto tensorial de las álgebras:

${\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{R}B).}$

De manera más general, el producto de fibra de los esquemas se define pegando entre sí productos de fibra afines de esta forma.

Ejemplos

• El producto tensorial se puede utilizar como un medio para tomar intersecciones de dos subesquemas en un esquema : considere las -álgebras , , entonces su producto tensorial es , que describe la intersección de las curvas algebraicas f = 0 y g = 0 en el plano afín sobre C . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)}$
• De manera más general, si es un anillo conmutativo y son ideales, entonces , con un isomorfismo único que envía a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,J\subseteq A}$ ${\displaystyle {\frac {A}{I}}\otimes _{A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}}$ ${\displaystyle (a+I)\otimes (b+J)}$ ${\displaystyle (ab+I+J)}$
• Los productos tensoriales se pueden utilizar como un medio para cambiar coeficientes. Por ejemplo, y . ${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)}$
• Los productos tensoriales también se pueden utilizar para obtener productos de esquemas afines sobre un cuerpo. Por ejemplo, es isomorfo al álgebra que corresponde a una superficie afín en si f y g no son cero. ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2}]/(g(y))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{4}}$
• Dadas -álgebras y cuyos anillos subyacentes son anillos conmutativos graduados , el producto tensorial se convierte en un anillo conmutativo graduado al definir para homogéneos , , , y . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a\otimes b)(a'\otimes b')=(-1)^{|b||a'|}aa'\otimes bb'}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b'}$

Véase también

• Extensión de escalares
• Producto tensorial de módulos
• Producto tensorial de campos
• Linealmente disjunto
• Aprendizaje de subespacios multilineales

Notas

1. Kassel (1995), pág. 32.
2. Lang 2002, págs. 629–630.
3. Kassel (1995), pág. 32.
4. Kassel (1995), pág. 32.

Referencias

• Kassel, Christian (1995), Grupos cuánticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 155, Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
• Lang, Serge (2002) [publicado por primera vez en 1993]. Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 21. Springer. ISBN 0-387-95385-X.