Terminación de un anillo

En álgebra abstracta , una completitud es cualquiera de varios funtores relacionados en anillos y módulos que dan como resultado anillos y módulos topológicos completos . La completitud es similar a la localización , y juntas se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar anillos conmutativos . Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales, y el lema de Hensel se aplica a ellos. En geometría algebraica , una completitud de un anillo de funciones R en un espacio X se concentra en un entorno formal de un punto de X : heurísticamente, este es un entorno tan pequeño que todas las series de Taylor centradas en el punto son convergentes. Una completitud algebraica se construye de manera análoga a la completitud de un espacio métrico con sucesiones de Cauchy , y concuerda con ella en el caso en que R tiene una métrica dada por un valor absoluto no arquimediano .

Construcción general

Supongamos que E es un grupo abeliano con una filtración descendente .

${\displaystyle E=F^{0}E\supset F^{1}E\supset F^{2}E\supset \cdots \,}$

de subgrupos. Se define entonces la completitud (con respecto a la filtración) como el límite inverso :

${\displaystyle {\widehat {E}}=\varprojlim (E/F^{n}E)=\left\{\left.({\overline {a_{n}}})_{n\geq 0}\in \prod _{n\geq 0}(E/F^{n}E)\;\right|\;a_{i}\equiv a_{j}{\pmod {F^{i}E}}{\text{ for all }}i\leq j\right\}.\,}$

Este es nuevamente un grupo abeliano. Por lo general, E es un grupo abeliano aditivo . Si E tiene una estructura algebraica adicional compatible con la filtración, por ejemplo, E es un anillo filtrado , un módulo filtrado o un espacio vectorial filtrado , entonces su completitud es nuevamente un objeto con la misma estructura que está completo en la topología determinada por la filtración. Esta construcción se puede aplicar tanto a anillos conmutativos como no conmutativos . Como se puede esperar, cuando la intersección de los es igual a cero, esto produce un anillo topológico completo . ${\displaystyle F^{i}E}$

Topología de Krull

En álgebra conmutativa , la filtración en un anillo conmutativo R por las potencias de un ideal propio I determina la topología de Krull (según Wolfgang Krull ) o I - ádica en R. El caso de un ideal maximal es especialmente importante, por ejemplo el ideal maximal distinguido de un anillo de valoración . La base de los entornos abiertos de 0 en R está dada por las potencias In , que están ^anidadas y forman una filtración descendente en R : ${\displaystyle I={\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle F^{0}R=R\supset I\supset I^{2}\supset \cdots ,\quad F^{n}R=I^{n}.}$

(Los vecindarios abiertos de cualquier r ∈ R están dados por los coconjuntos r + I ⁿ .) La completitud ( I -ádica) es el límite inverso de los anillos de factores ,

${\displaystyle {\widehat {R}}_{I}=\varprojlim (R/I^{n})}$

pronunciado "RI hat". El núcleo de la función canónica π desde el anillo hasta su completitud es la intersección de las potencias de I . Por lo tanto, π es inyectiva si y solo si esta intersección se reduce al elemento cero del anillo; por el teorema de intersección de Krull , este es el caso para cualquier anillo noetheriano conmutativo que sea un dominio integral o un anillo local .

Existe una topología relacionada con los módulos R , también llamada topología de Krull o I -ádica. Una base de vecindades abiertas de un módulo M está dada por los conjuntos de la forma

${\displaystyle x+I^{n}M\quad {\text{for }}x\in M.}$

La completitud I -ádica de un módulo R M es el límite inverso de los cocientes

${\displaystyle {\widehat {M}}_{I}=\varprojlim (M/I^{n}M).}$

Este procedimiento convierte cualquier módulo sobre R en un módulo topológico completo sobre . [¡Esto es incorrecto en general! Solo se da el caso si el ideal se genera de manera finita.] ${\displaystyle {\widehat {R}}_{I}}$

Ejemplos

• El anillo de números enteros p -ádicos se obtiene completando el anillo de números enteros en el ideal ( p ). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Sea R = K [ x ₁ ,..., x _n ] el anillo polinómico en n variables sobre un cuerpo K y el ideal maximal generado por las variables. Entonces la completitud es el anillo K [[ x ₁ ,..., x _n ]] de series de potencias formales en n variables sobre K . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}}$

• Dado un anillo noetheriano y un ideal, la compleción -ádica de es una imagen de un anillo de series de potencias formales, específicamente, la imagen de la sobreyección ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{n}),}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{cases}R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]\to {\widehat {R}}_{I}\\x_{i}\mapsto f_{i}\end{cases}}}$

El núcleo es el ideal ${\displaystyle (x_{1}-f_{1},\ldots ,x_{n}-f_{n}).}$

Las compleciones también se pueden utilizar para analizar la estructura local de las singularidades de un esquema . Por ejemplo, los esquemas afines asociados a y la curva plana cúbica nodal tienen singularidades de aspecto similar en el origen al ver sus gráficos (ambos parecen un signo más). Observe que en el segundo caso, cualquier vecindad de Zariski del origen sigue siendo una curva irreducible. Si utilizamos compleciones, entonces estamos viendo una vecindad "suficientemente pequeña" donde el nodo tiene dos componentes. Tomando las localizaciones de estos anillos a lo largo del ideal y completando obtenemos y respectivamente, donde es la raíz cuadrada formal de en Más explícitamente, la serie de potencias: ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x^{2}(1+x))}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]]/(xy)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]]/((y+u)(y-u))}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x^{2}(1+x)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]].}$

${\displaystyle u=x{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n+1}.}$

Como ambos anillos están dados por la intersección de dos ideales generados por un polinomio homogéneo de grado 1, podemos ver algebraicamente que las singularidades "parecen" iguales. Esto se debe a que dicho esquema es la unión de dos subespacios lineales no iguales del plano afín.

Propiedades

• La finalización de un anillo noetheriano con respecto a algún ideal es un anillo noetheriano. ^[2]
• La finalización de un anillo local noetheriano con respecto al ideal máximo único es un anillo local noetheriano. ^[3]
• La compleción es una operación funcional: una función continua f :  R  →  S de anillos topológicos da lugar a una función de sus compleciones, $${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {R}}\to {\widehat {S}}.}$$

Además, si M y N son dos módulos sobre el mismo anillo topológico R y f :  M  →  N es una función de módulo continua, entonces f se extiende de manera única a la función de las completaciones:

${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {M}}\to {\widehat {N}},}$

¿Dónde están los módulos? ${\displaystyle {\widehat {M}},{\widehat {N}}}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}.}$

• La finalización de un anillo noetheriano R es un módulo plano sobre R . ^[4]
• La completitud de un módulo finitamente generado M sobre un anillo noetheriano R se puede obtener por extensión de escalares :

${\displaystyle {\widehat {M}}=M\otimes _{R}{\widehat {R}}.}$

Junto con la propiedad anterior, esto implica que el funtor de completitud en R -módulos finitamente generados es exacto : preserva secuencias cortas exactas . En particular, tomar cocientes de anillos conmuta con completitud, lo que significa que para cualquier R -álgebra de cocientes , existe un isomorfismo. ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle {\widehat {R/I}}\cong {\widehat {R}}/{\widehat {I}}.}$

• Teorema de estructura de Cohen (caso equicaracterístico). Sea R un anillo conmutativo local noetheriano completoy cuerpo de residuos K . Si R contiene un cuerpo, entonces ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle R\simeq K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I}$

para algún n y algún ideal I (Eisenbud, Teorema 7.7).

Véase también

• Esquema formal
• Entero profinito
• Campo compacto localmente
• Anillo Zariski
• Topología lineal
• Anillo cuasi-no mezclado

Citas

1. "Proyecto Stacks — Etiqueta 0316". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 14 de enero de 2017 .
2. Atiyah y Macdonald 1969, teorema 10.26.
3. Atiyah y Macdonald 1969, Proposición 10.16. y Teorema 10.26.
4. Atiyah y Macdonald 1969, Proposición 10.14.

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
• David Eisenbud , Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas , 150. Springer-Verlag, Nueva York, 1995. xvi+785 págs.  ISBN 0-387-94268-8 ; ISBN 0-387-94269-6 MR 1322960  
• Fujiwara, Kazuhiro; Gabber, Ofer ; Kato, Fumiharu (2011). "Sobre las terminaciones de Hausdorff de anillos conmutativos en geometría rígida". Revista de Álgebra . 332 (1): 293–321. doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.02.001 .